Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende Prof. Dr. Thomas Augustin, Gero Walter Übungsblatt 5 SoSe 2010 Aufgabe 15 Für die Modellierung des Verlaufs einer Vorlesung werden folgende vier Zustände unterschieden: 0.8 0.4 0.2 a1 : ruhig, normale Vorlesung a1 a2 0.3 a2 : leises Getuschel a3 : lautes Getuschel 1 a4 : Dozent ermahnt Studierende zur Ruhe a4 0.5 0.5 0.3 a3 Der Graph rechts stellt dar, welche Übergänge zwischen den Zuständen möglich sind und mit welcher Wahrscheinlichkeit sie stattfinden. a) Stellen Sie aus den Angaben im Graphen die Übergangsmatrix auf. b) Nehmen Sie an, dass eine 45-Minuten-Vorlesung in 5-Minuten-Abschnitte unterteilt wird, zu denen jeweils ein Zustand gilt. Wie oft muss der Dozent die Studierenden im ungünstigsten Fall ermahnen, wenn die Vorlesung ruhig beginnt? c) Wie groß sind die 2-Schritt-Wahrscheinlichkeiten von a3 auf alle anderen Zustände? Aufgabe 16 Mich interessiert folgendes: Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht mein Mitbewohner morgen abend aus? Ich habe bereits folgendes Verhalten meines Mitbewohners beobachtet und natürlich penibel notiert: • Wenn er keinen Heuschnupfen hat, geht er in 60% der Fälle aus. • Wenn er Heuschnupfen hat, geht er nur in 10% der Fälle aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass er morgen Heuschnupfen hat, liegt bei der momentanen Pollenflug-Situation bei 70%. Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 1 Aufgabe 17 Man betrachtet als Zufallsexperiment den einfachen Würfelwurf mit einem fairen Würfel, d.h. die Augenzahlen 1 bis 6 sind jeweils gleichwahrscheinlich. Das Experiment werde durch die Zufallsvariable X beschrieben. a) Wie lautet der Träger der Verteilung von X? b) Korrigiere folgende falsche Verteilungsfunktion von X: 1 0 1 2 3 4 5 6 c) Wie könnte man die Verteilung von X noch graphisch darstellen? d) Beschreibe verbal folgende Mengen/Ereignisse und gib auch ihre Wahrscheinlichkeiten an! • {X ≤ 3} , {X < 3} , {X ≤ 3.5} , {X < 3.5} , • {2 ≤ X ≤ 5} • {X = 2} ∪ {X = 4} ∪ {X = 6} Aufgabe 18 Ein Zufallsexperiment besteht im Werfen einer Münze mit Ω = { Kopf‘, Zahl‘}. ’ ’ Das Experiment wird durch die Zufallsgröße X beschrieben mit {X = 1} = Kopf‘, P ({X = 1}) = p , ’ {X = 0} = Zahl‘, P ({X = 0}) = 1 − p . ’ Nun werde die Münze unabhängig viermal hintereinander geworfen, wobei der i-te Wurf durch die Zufallsvariable Xi , i = 1, P . . . , 4 beschrieben wird. Die Zufallsvariable Z wird definiert als Z := 4i=1 Xi . a) Interpretiere die Zufallsvariable Z. b) Welche Werte kann Z mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen? c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten P ({Z = 0}), P ({Z = 1}), P ({Z = 4}). 2