Betrachten Sie die Situation aus Aufgabe 7, bei der
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Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende Dr. Carolin Strobl, Gero Walter Übungsblatt 3 SoSe 2009 Aufgabe 8 (Fortsetzung von Aufgabe 7) Betrachten Sie die Situation aus Aufgabe 7, bei der eine Bank ein Verfahren zur Kreditwürdigkeitsprüfung einsetzt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kreditprüfung eines Kunden positiv ausfällt. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein als positiv eingestufter Kunde auch tatsächlich ein guter“ Kunde ist. ” c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kreditnehmer, bei dem das Prüfverfahren zu einem negativen Ergebnis kommt, tatsächlich ein schlechter Kunde“ ist. ” Aufgabe 9 Wir betrachten den Lernfortschritt von Schülern, die eine Lateinvokabel üben. Es gibt drei Lernzustände: a1 : Raten, d.h. Vokabel noch nicht gelernt a2 : Zwischenzustand, d.h. manchmal fällt einem die Vokabel ein a3 : Gelernt, d.h. Vokabel sitzt sicher Optimistische Annahme: es ist kein Vergessen möglich, wenn die Vokabel einmal sicher gelernt wurde. Gegeben ist folgende Übergangsmatrix: a1 i a2 a3 a1 0.5 0.3 ? i+1 a2 0.4 ? ? a3 ? 0.3 ? a) Füllen Sie die Lücken in der Übergangsmatrix auf. b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in zwei Lernschritten vom Zustand Raten“ in den Zustand Gelernt“ überzugehen? ” ” 1 Aufgabe 10 Markovmodell für Kriminelle Vereinfachend werde angenommen, es gebe zu jedem Zeitpunkt i drei Zustände für Kriminelle: a1 : ehrlich sein a2 : ein Verbrechen begehen a3 : verhaftet und zu einer Geldstrafe verurteilt werden Nach der Verurteilung kann man nicht gleich wieder verhaftet werden, ohne vorher ein neues Verbrechen zu begehen. (Das kann man allerdings bereits zum nächsten Zeitpunkt wieder tun, da keine Gefängnisstrafe abgesessen werden muss...) a) Ist das Markovmodell (insbesondere ein einstufiges Markovmodell) hier gerechtfertigt? b) Skizzieren Sie mögliche Übergänge zwischen den Zuständen. c) Welchen Wert hat die Übergangswahrscheinlichkeit P (Ai+1,3 | Ai,3 )? d) Interpretieren Sie inhaltlich die Übergangswahrscheinlichkeiten P (Ai+1,2 | Ai,2 ) und P (Ai+1,2 | Ai,3 )! Angenommen, die Wahrscheinlichkeiten seien bekannt und es gelte P (Ai+1,2 | Ai,2 ) < P (Ai+1,2 |Ai,3 ), wie würden Sie die abschreckende Wirkung von Geldstrafen beurteilen? Aufgabe 11 Deine beste Freundin ruft Dich völlig aufgelöst an. Sie hat einen Hepatitis-Test gemacht, und das Ergebnis war positiv. Über den Hepatitis-Test hat das Labor folgende Informationen veröffentlicht: • Bei 9 750 von 10 000 getesteten kranken Personen ergab der Test ein positives Ergebnis. Die Sensitivität des Tests beträgt also 97.5%. • Bei 9 300 von 10 000 getesteten nicht kranken Personen ergab der Test ein negatives Ergebnis. Die Spezifität des Tests beträgt also 93%. Aus der medizinischen Fachliteratur ist bekannt, dass die Prävalenz von Hepatitis in Europa 0,3% beträgt. a) Kannst Du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Deine Freundin wirklich Hepatitis hat, direkt an diesen Zahlen ablesen? b) Wie hoch ist bei ihrem positiven Testergebnis die Wahrscheinlichkeit, dass sie wirklich Hepatitis hat? 2 Aufgabe 12 Für die Modellierung des Verlaufs einer Vorlesung werden folgende vier Zustände unterschieden: 0.8 0.4 0.2 a1 : ruhig, normale Vorlesung a1 a2 0.3 a2 : leises Getuschel a3 : lautes Getuschel 1 a4 : Dozent ermahnt Studierende zur Ruhe a4 0.5 0.5 0.3 a3 Der Graph rechts stellt dar, welche Übergänge zwischen den Zuständen möglich sind und mit welcher Wahrscheinlichkeit sie stattfinden. a) Stellen Sie aus den Angaben im Graphen die Übergangsmatrix auf. b) Nehmen Sie an, dass eine 45-Minuten-Vorlesung in 5-Minuten-Abschnitte unterteilt wird, zu denen jeweils ein Zustand gilt. Wie oft muss der Dozent die Studierenden im ungünstigsten Fall ermahnen, wenn die Vorlesung ruhig beginnt? c) Wie groß sind die 2-Schritt-Wahrscheinlichkeiten von a3 auf alle anderen Zustände? 3
