Zusammenfassung der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zusammenfassung der wichtigsten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
14. Januar 2015
Diskrete Verteilungen
Geometrische Verteilung
Warten auf den ersten Erfolg
T ∼ γp mit p ∈ (0, 1) die Erfolgswahrscheinlichkeit.
T ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}, P[T = n] = (1 − p)n p
Beispiel: Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim wiederholten Würfelwurf die erste 6 im
10
Wurf kommt?
Binomialverteilung
Anzahl Erfolge bei unabh. Wdh. / Ziehen mit Rücklegen
S ∼ bn,p mit p ∈ (0, 1) die Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Durchgang
und n die Anzahl der unabhängigen Wiederholungen.
n!
S ∈ {0, 1, . . . , n}, P[S = k] = nk pk (1 − p)n−k = k!(n−k)!
pk (1 − p)n−k
Beispiel: Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit bei 100 Würfen genau 10 mal
eine 6 zu würfeln?
Hypergeometrische Verteilung
Ziehen ohne Rücklegen
X ∼ HypK,N −K,n
mit
K
Anzahl der Objekte mit Merkmal
Anzahl der Objekte mit Merkmal
jekte.
X ∈ {0, 1, . . . K},
P[X = k] = (
K
k
B,
sowie
−K
)(Nn−k
)
N
(n)
n
A
und
N −K
die Anzahl der gezogenen Ob-
Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Skat genau 3 Asse zu
bekommen?
1
Poisson Verteilung
Seltene Ereignisse
X ∼ P oiλ mit λ die mittlere Anzahl der
k
X ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}, P[X = k] = e−λ λk!
eingetretenen Ereignisse.
Beispiel: Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass in New York im Jahr 2015
genau
50 Morde passieren (Mittlere Anzahl an Morden der letzten Jahre: 211
pro Jahr)?
Stetige Verteilungen
Sei X
a ≤ b:
eine Zufallsvariable mit Werten in
P[a ≤ X ≤ b] =
Achtung: in diesem Fall gilt stets
und Dichte
R
Z
f,
dann gilt für alle
b
f (t)dt.
a
P[X = a] = 0 für jedes einzelne a ∈ R.
Normalverteilung
Allgemeine Merkmale
2
X ∼ N0,1 standardnormalverteil. Dann hat X die Dichte f (t) = √12π e−t /2 .
Sei Y = σX + µ. Dann ist Y ∼ Nµ,σ 2 normalverteilt mit Mittelwert µ und
Varianz σ 2 und
Y −µ
∼ N0,1 .
σ
Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte
Person einen IQ kleiner (oder gleich)
110
hat? (µ
= 100, σ = 15)
Exponentialverteilung
Stetige Wartezeit
X ∼ expθ mit 1θ ∈ (0, ∞) der mittleren Wartezeit.
X ∈ [0, ∞). X hat Dichte f (t) = θe−θt .
Beispiel: Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei duchschnittlich einem
Anrufen pro Minute die nächsten drei Minuten kein Anruf eingeht?
Zusammenhang zwischen den Verteilungen
Poisson-Approximation der Binomialverteilung
n =
Anzahl unabhängiger Versuche (sehr groÿ),
Versuch (sehr klein). Setze
λ = np.
Dann ist
bn,p ≈ P oiλ .
2
p =
Erfolgswkt. in einem
Normalapproximation der Binomialverteilung (mit Korrekturterm)
Ist
X ∼ bn,p
mit
np(1 − p)
groÿ (mind. 9), so ist
X − np
p
≈ N0,1 .
np(1 − p
Genauer gilt (Korrekturterm):
k + 0.5 − np
p
np(1 − p)
P[X ≤ k] ≈ Φ
wobei
Φ
!
,
die Verteilungsfkt. der Standardnormalverteilung.
Gesetz der groÿen Zahl
Seien
X1 , X2 , . . . unabhängige und identisch
E[Xi ] = µ und Sn = X1 + . . . + Xn . Dann ist
verteilte Zufallsvariablen mit
mit Wahrscheinlichkeit
1:
Sn
= µ.
n→∞ n
lim
Das bedeutet: Bei hinreichender Wiederholung nähert sich der Mittelwert an
den Erwartungswert an und die Wkt. für eine Abweichung:
Sn
P n − µ > wird immer kleiner.
Zentraler Grenzwertsatz
Seien
X1 , X2 , . . .
unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit
E[Xi ] = µ, Var[Xi ] = σ2 ∈ (0, ∞) und Sn = X1 + . . . + Xn , sowie Sn∗ =
S√
n −µn
. Dann gilt für alle
nσ 2
x ∈ R:
lim
n→∞
P[Sn∗ ≤ x] = Φ(x).
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