Übungsblatt 11

Übungsblatt 11
Optik und Wellenmechanik (Physik311) WS 2015/2016
Abgabe: Freitag, 29.01.2016.
1 Gauÿ-Strahl (6 Punkte)
Ein Argon-Ionen-Laser emittiert bei einer Wellenlänge von 514 nm eine Strahlungsleistung
von 10 W. Der Radius der Strahltaille des Gauÿ-Strahls, die sich auf dem Ausgangsspiegel des
Resonators bendet, beträgt 0,5 mm.
(a) Wie groÿ ist die Intensität im Zentrum der Strahltaille des Gauÿ-Strahls?
(b) Wie groÿ sind Strahldivergenz und Rayleigh-Länge?
(c) Welchen Durchmesser hat der Laserstrahl nach einer Entfernung von 1 km angenommen?
(d) Wie groÿ sind Strahldivergenz und Strahldurchmesser nach 1 km, wenn der Radius der
Strahltaille zunächst auf 1 cm vergröÿert wird?
2 Laser-Entfernungsmessung des Mondes (4 Punkte)
Im Rahmen verschiedener Mondmissionen wurden Reektoren auf der Mondoberäche installiert. Dadurch ist es möglich, aus der Lichtlaufzeit von Laserstrahlen verschiedenste Informationen über den Abstand des Mondes von der Erde, die Mondrotation und vieles andere zu
gewinnen. Technisch ist dieses Projekt sehr anspruchsvoll. Sie sollen im Folgenden mit Hilfe
von Gauÿ-Strahlen eine obere Grenze für die auf der Erde empfangbare Rückreexion abschätzen.
(a) Nehmen Sie an, dass mit einem Teleskop (Durchmesser d = 60 cm) ein Laserstrahl (genähert als Gauÿ'sche Grundmode mit Strahlradius w0 = d/2, Wellenlänge λ = 1 µm) von der
Erde zum Mond geschickt wird. Dort wird er von einem kreisförmigen Reektor (Durchmesser
ebenfalls 60 cm) zur Erde zurückreektiert und mit demselben Teleskop auf der Erde wieder
empfangen. Berechnen Sie, welcher Anteil der ausgesendeten Gesamtleistung (unter ansonsten
idealen Bedingungen) auf der Erde detektiert werden könnte.
(b) Schätzen Sie ab, welche Messgenauigkeit sich für die Entfernung Erde-Mond alleine daraus ergibt, dass aufgrund der verwendeten Pulsdauer des Lasers und der geringen Zahl der
empfangbaren Photonen die Laufzeitmessung eine Unsicherheit von 200 ps besitzt.
Hinweise: Runden Sie der Einfachheit halber alle (Zwischen-)Ergebnisse auf eine geltende
Stelle. Nähern Sie aus diesem Grund auch die Entfernung Erde-Mond zu ≈ 300 000 km.
Nehmen Sie weiter vereinfachend an, dass sich die gesamte Leistung auf dem Mond gleichmäÿig
auf eine Kreisäche mit dem dortigen Strahlradius verteilt.
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Planck'sche Strahlungsformel (5 Punkte)
Für die spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung (d. h. die Energie pro m3 und Frequenzintervall dν ) gab es bis zum Jahre 1900 nur Teilnäherungen für sehr kleine Frequenzen
(hν kB T, kB : Boltzmannkonstante, T : Temperatur der Wände des Hohlraums) und für
sehr groÿe Frequenzen (hν kB T ). Diese Teilnäherungen waren bekannt als Rayleigh-JeansGesetz bzw. Wiensches Strahlungsgesetz. Planck gelang es dann, die beiden Grenzfälle mit
seiner Strahlungsformel zu interpolieren:
u(ν, T )dν =
mit c: Lichtgeschwindigkeit
8π h
c3 e
ν3
hν
kB T
−1
dν
(a) Leiten Sie aus dieser Formel die auf die Wellenlänge bezogene spektrale Energiedichte
u(λ, T )dλ ab.
ν ,ν
λ ,λ
Hinweis: Berechnen Sie die in einem Frequenzintervall [ 1
2 ] bzw. Wellenlängenintervall [ 1
2 ] enthaltene Ener-
giedichte.
(b) Durch Nullsetzen der Ableitungen berechnet man das Maximum der Verteilung u(ν, T )
numerisch zu νmax = 2, 82kB T /h, während das Maximum der Verteilung u(λ, T ) zu λmax =
hc/(4, 97kB T ) bestimmt wird. Vergleichen Sie diese Ergebnisse und kommentieren Sie das
Resultat. Bei welchen Wellenlängen liegen die beiden Maxima für Sonnenlicht (T = 5770K)?
4 Gleichgewichtsstrahlungstemperatur der Erde (4 Punkte)
Welche Gleichgewichtstemperatur ergibt sich für die Erde (RErde = 6400 km) im Strahlungsgleichgewicht mit der Sonne (Temperatur T = 5770 K, Radius RSonne = 7 × 108 m, Abstand
aErde = 1, 5 × 1011 m) unter der Annahme schwarzer Körper mit homogener Oberächentemperatur?
5 Wärmestrahlung eines Menschen (5 Punkte)
Für eine einfache Abschätzung nehmen wir an, dass ein Mensch eine eektiv nach auÿen strahlende Körperoberäche von A = 1 m2 mit gleichmäÿiger Hauttemperatur besitzt und dass alle
Oberächen ideale thermische Schwarzkörperstrahler sind.
a) Wie groÿ wäre die thermisch abgestrahlte Leistung P bei einer Hauttemperatur von 27 ◦ C
in einer Umgebung die sich am absoluten Nullpunkt bendet?
b) Wie groÿ ist die durch Strahlung abgegebene Nettoleistung bei einer Hauttemperatur von
27 ◦ C in Umgebung von 27 ◦ C? Begründen Sie.
c) Schätzen Sie nun die Netto-Strahlungsleistung P bei einer um ∆T = 10 ◦ C höheren Hauttemperatur von 37 ◦ C in einer Umgebung von 27 ◦ C ab. Welche Energie wird somit am Tag
abgestrahlt in Einheiten eines Whoppers (Whopper: 2560 kJ).
Hinweis: Verwenden Sie eine lineare Näherung
für kleine
∆T .
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