Stochastik II - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. H. Zähle
M.Sc. U. Mayer
Universität des Saarlandes, WS 2016/17
2. November 2016
Stochastik II
1. Übung
Aufgabe 1
(3 Punkte)
Beweis von 1.3.14 (vii). Es seien (Ω, F, P) ein W-Raum, X ∈ L1 (Ω, F, P) und G1 , G2 Unter-σAlgebren von F. Zeigen Sie, dass E[E[X|G1 ]|G2 ] = E[E[X|G2 ]|G1 ] = E[X|G1 ] P-f. s., falls G1 ⊆ G2 .
Aufgabe 2
(3 Punkte)
Beweis von 1.3.16. Es seien (Ω, F, P) ein W-Raum, X ∈ L1 (Ω, F, P) und G eine Unter-σ-Algebra
von F. Zeigen Sie, dass Z ∈ L1 (Ω, G, P) genau dann eine bedingte Erwartung von X gegeben G ist,
wenn E[Zξ] = E[Xξ] für alle beschränkten G-messbaren Zufallsvariablen ξ auf (Ω, F, P) gilt. Eine
Zufallsvariable ξ heißt dabei beschränkt, wenn es eine Konstante c ∈ (0, ∞) gibt mit |ξ| ≤ c.
Aufgabe 3
(6 Punkte)
Es seien X1 , X2 , X3 drei bernoulliverteilte Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen W-Raum, deren
gemeinsames Verhalten wie folgt beschrieben werden kann:
• X1 nimmt mit Wahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] den Wert 1 an.
• Nimmt X1 den Wert 0 an, dann nimmt X2 mit Wahrscheinlichkeit p0 ∈ [0, 1] den Wert 1 an.
Nimmt X1 , den Wert 1 an, dann nimmt X2 mit Wahrscheinlichkeit p1 ∈ [0, 1] den Wert 1 an.
• Nehmen X1 und X2 jeweils den Wert 0 an, dann nimmt X3 mit Wahrscheinlichkeit p00 ∈
[0, 1] den Wert 1 an. Nehmen X1 den Wert 1 und X2 den Wert 0 an, dann nimmt X3 mit
Wahrscheinlichkeit p10 ∈ [0, 1] den Wert 1 an. Nehmen X1 den Wert 0 und X2 den Wert 1
an, dann nimmt X3 mit Wahrscheinlichkeit p01 ∈ [0, 1] den Wert 1 an. Nehmen X1 und X2
jeweils den Wert 1 an, dann nimmt X3 mit Wahrscheinlichkeit p11 ∈ [0, 1] den Wert 1 an.
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben:
(i) Konstruieren Sie mit Satz 3.4.8 ( Existenz mehrstufiger Modelle“) aus der Vorlesung Sto”
chastik I einen W-Raum (Ω, F, P) und Zufallsvariablen X1 , X2 , X3 auf (Ω, F, P) so, dass
X1 , X2 , X3 die oben genannten Eigenschaften erfüllen.
(ii) Zeigen Sie, dass g(X1 , X2 ) eine bedingte Erwartung E[X3 |(X1 , X2 )] von X3 gegeben (X1 , X2 )
ist, wobei die Funktion g : {0; 1}2 → [0, 1] gegeben ist durch die Vorschrift g(x1 , x2 ) := px1 x2 .
Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass E[g(X1 , X2 )1{(X1 ,X2 )=(x1 ,x2 )} ] = E[X3 1{(X1 ,X2 )=(x1 ,x2 )} ]
für alle (x1 , x2 ) ∈ {0; 1}2 . Warum?
(iii) Es sei nun speziell p = 1/2 und p0 = 1/3, p1 = 2/3 sowie p00 = 1/4, p10 = 1/3, p01 = 2/3,
p11 = 3/4. Bestimmen Sie in diesem Fall die bedingte Erwartung E[X3 |span{1, X1 , X2 }] von
X3 gegeben den Unterraum span{1, X1 , X2 } von L2 (Ω, F, P) und vergleichen Sie diese mit
der in (ii) bestimmten bedingten Erwartung E[X3 |(X1 , X2 )] von X3 gegeben (X1 , X2 ).