3. Übungsblatt - Institut für Mathematik

Institut fuer Mathematik
der Universität Würzburg
Prof. Dr. Manfred von Golitschek
Julia Koch
Wintersemester 2013/14
Würzburg, den 27.11.2013
3. Übung
zur Mathematik für Studierende der Informatik III
Aufgabe 3.1
Wir wollen den „Würfel-Test“ aus Aufgabe 2.3(b) verfeinern und schlagen daher folgendes
Verfahren vor: Wir nehmen an, dass wir einen Laplace-Würfel vorliegen haben, wenn die
Anzahl der 6er in einer Teilmenge A ⊆ {0, . . . , 12} liegt.
(a) Finden Sie eine geeignete zusammenhängende Teilmenge A ⊆ {0, . . . , 12}, so dass
für einen Laplace-Würfel P (A) ≥ 0.95 gilt.
(2 Punkte)
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit würde ein Würfel den von Ihnen in (a) vorgeschlagenen Test bestehen, der bei jedem Wurf mit 60%iger Wahrscheinlichkeit eine 6
würfelt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit einer, der bei jedem Wurf mit 20%iger
Wahrscheinlichkeit eine 6 würfelt?
(2 Punkte)
(c) Geben Sie einen Nicht-Laplace-Würfel (d.h. einen Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeiten für das Würfeln der Zahlen 1, . . . , 6 nicht gleichverteilt sind) an, der den
von Ihnen in (a) aufgestellten Test mit genau der selben Wahrscheinlichkeit wie ein
Laplace-Würfel besteht.
(2 Punkte)
Aufgabe 3.2
Ein Experiment habe drei mögliche Ergebnisse Ω∗ = {A, B, C}, die mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , 1 − p1 − p2 eintreten (p1 > 0, p2 > 0, p1 + p2 < 1). Das Experiment werde
n-mal durchgeführt mit dem Ergebnis
ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ),
ωi ∈ Ω∗ ,
i = 1, . . . , n.
Begründen Sie kurz,
(a) dass die Wahrscheinlichkeit P (ω) für ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) gegeben ist durch P (ω) =
pj1 pk2 (1 − p1 − p2 )n−j−k , falls in ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) das Ergebnis A j-mal, das
Ergebnis B k-mal, das Ergebnis C (n − j − k)-mal auftritt,
(1 Punkt)
(b) dass die Wahrscheinlichkeit, dass nach n Experimenten das Ergebnis A j-mal und
das Ergebis B k-mal, das Ergebnis C (n − j − k)-mal eintritt, gegeben ist durch
n!
pj1 pk2 (1 − p1 − p2 )n−j−k ,
j!k!(n − j − k)!
0 ≤ j + k ≤ n.
(2 Punkte)
(c) Rechnen Sie nach, dass tatsächlich
n−j
n X
X
j=0 k=0
n!
pj1 pk2 (1 − p1 − p2 )n−j−k = 1
j!k!(n − j − k)!
gilt.
Hinweis: Sie sollen hier nicht mit Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen argumentieren!
(2 Punkte)
Aufgabe 3.3
Es sei wie in Aufgabe 3.2
Ω = {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) :
ωi ∈ Ω∗ = {A, B, C},
i = 1, . . . , n} .
Die Zufallsvariablen X : Ω → R und Y : Ω → R seien wie folgt definiert : X(ω) zähle die
Anzahl der Ergebnisse A in ω, Y (ω) zähle die Anzahl der Ergebnisse B in ω.
(a) Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen E(X), V (X), E(Y ), V (Y ), sowie
E(X + Y ) und V (X + Y ).
(2 Punkte)
(b) Sind die Zufallsvariablen X und Y oder X und X + Y stochastisch unabhängig?
(2 Punkte)
Bitte denken Sie daran, sich bis zum 8.12., 18.00 Uhr,
zur Klausur anzumelden!
Abgabe bis Donnerstag, 5.12.2013, 8.30 Uhr, im Briefkasten bei der Teilbibliothek Physik/Informatik.