Beispielsammlung zu Modellbildung in der Stochastik

Beispielsammlung
Beispiel 1
Ein Haus hat 10 Stockwerke. Es steigen r = 7 Personen in einen Lift.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 Personen in demselben Stockwerk aussteigen?
Beispiel 2
Auf einer Tanzveranstaltung befinden sich n Ehepaare. Es werden zufällig Tanzpaare zusammengestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Ehepaar zusammen
tanzt?
Beispiel 3 (Ziehen ohne Zurücklegen)
Wir betrachten 2-faches zufälliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit N Kugeln,
von denen R rot sind (2 ≤ R < N ). Wir betrachten folgende Ereignisse:
A : die erste gezogene Kugel ist rot,
B : die zweite gezogene Kugel ist rot,
Ck : es werden k rote Kugeln gezogen (k = 0, 1, 2).
Wie groß sind P (A), P (B) und P (Ck ) für k = 0, 1, 2 ?
Beispiel 4 (Qualitätskontrolle)
In der Tagesproduktion einer Firma ist ein bestimmter Massenartikel N mal produziert
worden. Von diesen N produzierten Artikeln seien R defekt. Zur Kontrolle werden zufällig
n Artikel aus der Tagesproduktion entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
Ak : “es treten genau k defekte Artikel in dieser Stichprobe auf”
für 0 ≤ k ≤ n und k ≤ R ?
Beispiel 5
Zu Beginn der Röntgenreihenuntersuchung zur TBC-Diagnose ergab sich folgende Situation: Bei TBC-Trägern lieferte die Untersuchung in 94% aller Fälle einen positiven Befund
(richtiges Ergebnis). Bei gesunden Personen lieferte die Untersuchung in 1% aller Fälle
einen positiven Befund (falsches Ergebnis). Der Anteil der TBC-Kranken in der Bevölkerung betrug 0, 1%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) eine TBC-Erkrankung bei der Untersuchung nicht erkannt wird?
b) der Teilnehmer gesund ist, obwohl ein positiver Befund vorliegt.
Wie ändern sich die Werte, wenn der Anteil der TBC-Erkrankungen bei 2% liegt?
Beispielsammlung WS 03/04
(Fortsetzung)
Beispiel 6
Jemand hat vergessen, seine Uhr aufzuziehen und diese bleibt stehen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass der große Zeiger zwischen 3 und 6 stehen bleibt?
Beispiel 7
Ein Stab der Länge 1 wird zufällig in zwei Stücke zerbrochen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das grüßere Stück mehr als doppelt so lang ist wie das kleinere
Stück?
Beispiel 8 (Paradoxon von Bertrand)
Man wählt in einem Kreis eine zufällige Sehne. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass diese Sehne länger ist als die Seite des in demselben Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Dreiecks?
(In diesem Beispiel gibt es keine “eindeutige Lösung”, denn die Wahrscheinlichkeit hängt
davon ab, nach welchem Zufallsmechanismus man die Sehne zieht. Die Wahrscheinlichkeit
für ein interessierendes Ereignis A hängt stets vom Modell ab.)
Beispiel 9 (Inverse Stichprobenentnahme)
Man führe eine Folge von unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit den möglichen Ergebnissen 0 und 1 aus. Der Wert p ∈ [0, 1] bezeichne die Erfolgswahrscheinlichkeit für das
Auftreten von 1. (Konkretes Modell: Münzwurf). Die Zufallsvariable X gebe die Nummer
des Experiments an, bei dem zum ersten Male das Ergebnis “1” auftritt. Man bestimme
die Verteilung von X.
Erweiterung: Die Ergebnisse 0 werden als ‘Mißerfolg’ und 1 als ‘Erfolg’ in dem Bernoulliexperiment interpretiert. Sei r ∈ N . Die Zufallsvariable Y gebe die Anzahl der Mißerfolge
an die vorliegen, bis der r-te Erfolg auftritt. Man bestimme die Verteilung von Y .
Beispiel 10
Y bezeichne den Ausgang eines fairen Würfelexperiments. Sei a ∈ R mit 1 ≤ a ≤ 6.
Es wird ein Spiel vereinbart, in dem X = Y − a Mark als Gewinn ausgezahlt wird. Die
Verteilung P X berechnet sich als
6
P
X
1X
=
εi−a
6 i=1
Wie groß sind Erwartungswert E(X) und Varianz V ar(X)? Für welche Werte von a
würden Sie als Spieler an diesem Spiel teilnehmen?
Beispiel 11
Ein schwarzbunter Zuchtbulle besitzt in einem Jahr hundert Nachkommen, die durch Paarung mit schwarzbunten Köhen hervorgegangen sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
unter den 100 Kälbern gerade k rotbunte?
Beispielsammlung WS 03/04
(Fortsetzung)
Beispiel 12
Eine KFZ-Versicherung hat N Kunden, von denen jeder Kunde mit Wahrscheinlichkeit p
einen zufälligen Schaden in einem Kalenderjahr verursacht. Tritt ein Schaden ein, so ist
bekannt, dass die Schadenhöhe (angegeben in Euro) nach einem Wahrscheinlichkeitsmaß
µ auf N verteilt ist. Es bezeichne Y die Gesamtschadensumme aller N Kunden in einem
Jahr. Gesucht ist die Verteilung von Y sowie E(Y ).
Was ergibt sich für die gleiche Fragestellung, wenn die Anzahl N der Kunden ebenfalls
eine Zufallsvariable ist, falls N verteilt gmäß einem Wahrscheinlichkeitsmaß ν auf N?
Beispiel 13
Eine Versicherung schließt mit 1000 Kunden einer bestimmten Altersgruppe eine Lebensversicherung ab. p = 0.002 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person der Kundengruppe im folgenden Jahr stirbt.
Problem: Man bestimme approximativ die Verteilung der Anzahl der Toten des nächsten
Jahres.
Beispiel 14
Durch eine Befragung soll der Prozentsatz der Raucher in der Bevölkerung ermittelt
werden. Dazu werden n = 10000 Personen zufällig ausgewählt und befragt (Doppelbefragungen seien zugelassen). Der Prozentsatz der Raucher innerhalb der Stichprobe wird als
Schätzwert gewählt.
Frage: Kann man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 35/36 behaupten, dass der
Schätzwert um weniger als 3% vom wahren Wert abweicht?
Beispiel 15
Wie oft muss man eine faire Münze werfen, damit die relative Häufigkeit für das Ergebnis
“Zahl” mindestens mit 95%-iger Sicherheit zwischen 0.48 und 0.52 liegt?
Beispiel 16
Die Herstellung eines bestimmten Produkts ergibt mit Wahrscheinlichkeit p = 0.1 einen
defekten Artikel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Produktion von
n = 10000 Produkten nicht mehr als 1030 defekte Artikel auftreten?
Beispiel 17
Um die unbekannte Anzahl N der Fische in einem See zu schätzen, werden r Fische gefangen, durch einen Fleck markiert und wieder im Teich ausgesetzt. Nach einigen Tagen
werden n Fische gefangen, darunter x markierte. Für welches N = N̂ (x) ∈ N ist die
Wahrscheinlichkeit h(x, N ), dass unter den n gefangenen Fischen sich genau x markierte
befinden, am größten?
Ist N̂ (x) eindeutig bestimmt?
(Hinweis: Man untersuche den Quotienten h(x, N )/h(x, N + 1))
Man gebe im Fall r = 1000, n = 2000, x = 200, N̂ (x) mit obiger Optimalitätseigenschaft
numerisch an.
Beispiel 18
Ein schwarzbunter Zuchtbulle besitzt in einem Jahrgang 100 Nachkommen, die aus Paarungen mit schwarzbunten Kühen hervorgegangen sind. Unter den Nachkommen befinden sich sieben rotbunte Tiere, also besitzt der Bulle das rezessive Farbmerkmal “rot”.
Schätzen Sie mit Hilfe der ML-Methode den Prozentsatz p der Muttertiere in der Population, die das rezessive Merkmal “rotbunt” tragen.
Beispiel 19
In einer Stadt sind die Taxis von 1, . . . , N durchnummeriert. Zufällig begegnen uns Taxis
mit den Nummern x1 , . . . , xn . Man schätze den unbekannten Parameter N .
Beispiel 20
Seien X1 , ..., Xn unabhängige B(1, p)-verteilte Zufallsvariablen mit 0 ≤ p ≤ 1. Man bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer p̂ für den unbekannten Parameter p.
Beispiel 21
Seien X1 , ..., Xn unabhängige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen. Man bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer (µ̂, σ̂ 2 ) für den unbekannten Parameter (µ, σ 2 ).
Beispiel 22
Gegeben sei eine Urne mit N = 5 Kugeln (rote und schwarze), aus der n = 10 mal zufällig
mit Zurücklegen gezogen wird. Es werde vorausgesetzt, dass 3 der Kugeln von der einen
Farbe und 2 der Kugeln von der anderen Farbe sind, aber es sei nicht bekannt, welcher
der beiden möglichen Fälle vorliegt. Gesucht ist ein “gutes Entscheidungsverfahren”, welches für jedes konkrete Ergebnis der 10 Ziehungen eine Entscheidung zwischen den beiden
Fällen angibt.
Beispiel 23
Die Keimfähigkeit eines Saatgutes betrage p · 100% mit unbekanntem p ∈]0, 1[. Es wird
davon ausgegangen, dass bei p ≤ 0.75 die zu erwartenden Ernteverluste untolerierbar
hoch sind.
Um die Qualität des Saatgutes zu testen, werden n = 200 Körner gepflanzt. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der gekeimten Körner (die nach angemessener Zeit
ermittelt werden).
Man diskutiere Entscheidungsverfahren (Tests), die eine Entscheidung über die Verwendung des Saatgutes herbeiführen können.
Beispiel 24
Sie haben den Verdacht, dass bei einem vorliegenden Würfel die Sechs nicht mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auftritt. Sie haben aber keine Vermutung darüber, ob Abweichungen
der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit für das “Ergebnis 6” nach oben oder unten vorliegen.
Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Sechsen, die in einer Versuchsreihe von
n = 180 unabhängigen Würfelwurfexperimenten mit dem Würfel auftreten.
Geben Sie einen Test an, der Ihre Vermutung zum Niveau α = 0.05 statistisch absichern
soll. Welches Ergebnis erhalten Sie für die Realisierung k = 42 von X?
Beispiel 25
In einer landwirtschaftlichen Versuchsanstalt erhielten 4 von 9 Tieren eine zusätzliche
Grünfuttermischung, die übrigen 5 Tiere erhielten lediglich das übliche proteinhaltige
Marktfutter. Nach 6 Monaten wurde für alle Tiere die Gewichtszunahme in kg festgestellt.
Frage: Führt die Grünfutterzugabe signifikant zum Niveau 0.1 zu größerer Gewichtszunahme?
Konkrete Daten:
i
1
2
3
4
5
m = 4 xi 16.7 14.3 19.8 15.1
n = 5 yi 19.5 11.5 14.7 12.1 13.8