Stochastik I 11. ¨Ubungsserie

Prof. Dr. Uwe Küchler
Dr. Markus Riedle
Dipl. Math. Hagen Gilsing
Dipl. Math. Thomas Knispel
SS 2006
Stochastik I
11. Übungsserie
11.1 (4 Punkte) In der folgenden Abbildung sehen Sie den Schaltplan eines technischen
Systems. Das System funktioniert fehlerfrei, falls eine durchgängige Verbindung von
A nach B existiert. Die verschiedenen Komponenten fallen jeweils mit der eingetragenen Wahrscheinlichkeit unabhängig voneinander aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System funktioniert.
0,3
0,1
0,1
A
0,2
B
0,3
0,5
11.2 (4 Punkte) Auf m Urnen werden rein zufällig r Kugeln verteilt, wobei jede Urne auch
mehrfach belegt werden kann. Als Ergebnis erhält man ein Tupel ω = (ω1 , . . . , ωr )
von Zahlen ωk ∈ {1, . . . , m} für k = 1, . . . , r. Dabei gibt ωk die Nummer derjenigen
Urne an, in die die k-te Kugel zu liegen kommt.
(a) Man gebe die Wahrscheinlichkeit von jedem ω an, wenn die Kugeln nacheinander und unabhängig voneinander jeweils mit Wahrscheinlichkeit pi ∈ [0, 1],
p1 + · · · + pm = 1, in die i-te Urne gelangen.
(b) Für jedes i = 1, . . . , m gebe die Zufallsgröße Ni die Anzahl der Kugeln in
der i-ten Urne an. Bestimmen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten des zufälligen
Vektors (N1 , . . . , Nm ).
11.3 (4 Punkte) Eine Zahl µ heißt Median einer reellwertigen Zufallsgröße X, falls gilt:
P (X 6 µ) >
1
2
und P (X > µ) > 21 .
Man zeige: Jeder Median µ einer integrierbaren reellwertigen Zufallsgröße X minimiert die absolute erwartete Abweichung über , d.h. es ist
R
E(|X − a|) > E(|X − µ|) für alle a ∈
R.
N D
11.4 (6 Punkte) Wird für jedes n ∈ 1 n := {k2−n : 0 ≤ k < 2n } definiert, so ist für
jedes x ∈ n durch die eindeutige Darstellung
D
x=
n
X
ωl 2−l ,
ωl ∈ {0, 1}, l = 1, . . . , n
l=1
eine Folge ωn (x) := (ω1 , . . . , ωn ) gegeben. Für fest gewähltes p ∈ (0, 1) führen wir
für n ∈ 1 und für x ∈ n mit ωn (x) = (ω1 , . . . , ωn )
N
D
µp (n, x) := pω1 +···+ωn (1 − p)n−(ω1 +···+ωn )
ein und definieren
Fp (0) := 0, Fp ((k + 1)2−n ) := Fp (k2−n ) + µp (n, k2−n ),
k ∈ {0, . . . , 2n − 1}.
D
D
(a) Zeigen Sie, dass Fp eine wohldefinierte Funktion auf
:= ∪n>1 n ist, die
streng monoton wachsend ist. Begründen Sie, warum sich Fp zu einer eindeutig
bestimmten Verteilungsfunktion Fp auf fortsetzen lässt.
R
(b) Weisen Sie nach, dass die von Fp erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung λp auf
[0, 1) konzentriert ist und bestimmen Sie λ1/2 .
(c) Wir verwenden die Terminologie der Aufgabe 6.4 und definieren Wahrscheinlichkeitsmaße Pp für p ∈ (0, 1) auf (Ω0 , A ∩ Ω0 ) durch
Pp (A) := λp (T0 (A)),
A ∈ A ∩ Ω0 .
Zeigen Sie, dass die Abbildungen (Xn : n > 1) bezüglich Pp ein unendliches
Bernoullischema mit dem Parameter p bilden.
(d) Beweisen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsmaße λp und λp′ für p 6= p′ zueinander singulär sind, d.h. es existieren zwei Mengen Ap , Ap′ ∈ B[0,1) mit
Ap ∩ Ap′ = ∅ und λp (Ap ) = λp′ (Ap′ ) = 1.
(e) Beweisen Sie, dass die stetige Verteilungsfunktion Fp für p 6= 1/2 keine Dichte
besitzt.
2