1.¨Ubung – Markov Prozesse

1. Übung – Markov Prozesse
1. Seien B1 , B2 . . . disjunkte Ereignisse mit
∪∞
n=1
Bn = Ω.
(a) Zeige, dass P (A|Bn ) = p für alle n ⇒ P (A) = p
(b) Zeige die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen für zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y :
(A) X und Y sind unabhängig
(B) Die bedingte Verteilung von X wenn Y = y ist unabhängig von y.
Hinweis: Zu beweisen sind beide Richtungen ”(A) ⇒ (B)” und ”(B) ⇒ (A)”.
2. Zeichne für jene Matrizen die stochastisch sind die entsprechenden Markov - Diagramme.




2 1 0

1
0 2 1  b) 
a) 3


1 2 0




0, 4 0, 3 0
0 0, 3
0, 2 0, 2 0, 6 0
0
0, 5 0
0 0, 5 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0













c) 



1 0, 5 0, 1 0 1/3
0 0
0
0
0 

0 0, 5 0, 5 0
0 

0 0 0, 4 0, 7 1/3 
0 0
0 0, 3 1/3
3. Sei (Xn )n≥0 Markov (λ, P ). Zeige für n ≥ 1, dass Xn−1 und Xn+1 unabhängig sind
bedingt auf Xn = x.
4. Drei rote und drei blaue Kugeln werden zufällig auf zwei Urnen aufgeteilt (jeweils
3 Kugeln pro Urne). Ein Schritt besteht nun darin, dass zufällig eine Kugel aus
Urne 1 gezogen und in Urne 2 gelegt wird. Anschließend wird zufällig eine Kugel
aus Urne 2 gezogen und in Urne 1 gelegt. Nach einem Schritt befinden sich also
wiederum jeweils 3 Kugeln in jeder Urne. Formuliere diesen Prozess als Markovkette
(Zustandsraum!) und bestimme die Übergangsmatrix.
5. Betrachte den rechts abgebildeten Graphen.
Nimm an ein Teilchen bewegt sich entlang der Kanten des Graphen. Bei jedem Knoten bewegt es sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit entlang einer
der angrenzenden Kanten. (Xn )n≥1
gibt jeweils den Knoten zum Zeitpunkt
n an, in dem sich das Teilchen befindet.
Zeige, dass es sich um eine Markov
- Kette handelt, und bestimme die
Übergangsmatrix.
3
4
2
1
5
8
6
7