¨Ubungsblatt 3 zur Vorlesung ”Einführung in die Statistik”

Übungsblatt 3 zur Vorlesung
”Einführung in die Statistik”
Wahrscheinlichkeit P
Herausgabe des Übungsblattes: Woche 40, Abgabe der Lösungen: Woche 41 (bis Freitag, 16.15 Uhr), Besprechung: Woche 42
Must
Aufgabe 16 [Unabhängigkeit von Ereignissen]
Vergleichen Sie diese Aufgabe mit Aufgabe 13. A und B seien derart, dass P [A ∩ B] = P [A]P [B], d.h.
die Ereignisse A und B seien unabhängig voneinander. Zeigen Sie, dass dann auch Ac und B unabhängig
voneinander sind (analog natürlich A und B c ).
Aufgabe 17 [Unabhängigkeit von Ereignissen]
Von den 240 HörerInnen einer Vorlesung studieren 127 Biologie, 66 Geographie und 47 andere Fächer.
Eine Person wird zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit studiert diese Biologie und ist ein
Sonntagskind? (Welche plausiblen Annahmen müssen Sie treffen?)
Standard
Aufgabe 18 [bedingte Wahrscheinlichkeiten] [1+1+1 Punkte]
A, B und C seien 3 Ereignisse mit P [A] > 0, P [A ∩ B] > 0. Beweisen Sie, dass gilt:
P [A ∩ B ∩ C] = P [A]P [B|A]P [C|A ∩ B].
Wie lautet eine entsprechende Formel für n Mengen? Beweisen Sie die allgemeine Formel mit Hilfe der
Induktionsmethode. Wo wurde diese Formel in der Mittelschule (Gymnasium) benutzt?
Aufgabe 19 [bedingte Wahrscheinlichkeiten] [2 Punkte]
Aus der Menge der Zahlen {31, 32, . . . , 50} wird eine Zahl zufällig ausgewählt. Wir betrachten die folgenden
Ereignisse: A: ”die Zahl ist ungerade”, B: ”die Zahl ist durch 7 teilbar”, C: ”die Zahl ist eine Primzahl”.
Berechnen Sie die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten:
a) P [A|B], b) P [B|Ac ], c) P [C|A], d) P [A|C].
Ein Resultat ist in einem gewissen Sinn speziell. Geben Sie eine Erklärung.
Aufgabe 20 [FTW] [3 Punkte]
An einer Hochschule findet eine schriftliche Prüfung statt. Nur die Hälfte der Prüflinge beachten dabei die
Lösungshinweise. Nach der Korrektur werden die Geprüften in vier Kategorien eingeteilt: I : sehr gut; II:
gut; III: genügend; IV: ungenügend. Es sind 18 der Personen in Gruppe I, 18 in Gruppe II, 21 in Gruppe III
1
und 14 in Gruppe IV. Von den Personen, die die Lösungshinweise nicht beachtet haben, sind 10
der Personen
1
2
3
in Gruppe I, 5 in Gruppe II, 5 in Gruppe III und 10 in Gruppe IV. Eine geprüfte Person wird nun zufällig
ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
a) dass sie in der Kategorie II klassiert ist, wenn sie angibt, die Lösungshinweise beachtet zu haben?
b) dass sie die Lösungshinweise beachtet hat, wenn sie in der Kategorie II klassiert ist?
Hinweis: FTW gilt auch für eine endliche Partition (gehen Sie dazu kurz den Beweis durch)!!!
Aufgabe 21 [FTW mit bedingten Wahrscheinlichkeiten: bFTW] [3 Punkte]
(vgl. Lemma 1.7) B1 , B2 , . . . sei eine Partition von Ω (die Bi ’s sind disjunkt und ∪∞
i=1 Bi = Ω; zudem
seinen die Bi ’s Ereignisse, also in der Sigma-Algebra). Weiter haben wir ein C ⊂ Ω und es gelte für alle
i ≥ 1 : P [C ∩ Bi ] > 0. Zeigen Sie, dann gilt für jedes A ∈ A:
P [A|C] =
∞
X
P [A|C ∩ Bi ]P [Bi |C].
i=1
Honours
Aufgabe 22 [Lemma 1.8, 2 Teil] [2 Punkte]
Sei B1 , B2 , . . . eine absteigende Folge von Ereignissen, d.h. B1 ⊇ B2 ⊇ B3 . . .. Wir definieren in dem Fall
B := lim Bi := ∩i≥1 Bi .
i→∞
Zeigen Sie: dann gilt P [B] = limi→∞ P [Bi ].
Aufgabe 23 [Ereignisse, ohne Bezug zu P ] [2 Punkte]
Konstruieren Sie eine (einfache!) Folge von Ereignissen An , n ∈ N mit
[
\
n∈N
i≥n
Ai = ∅ und
\
[
n∈N
i≥n
Ai 6= ∅.