Stochastik (BA) Zusammenfassung der Vorlesung

Stochastik (BA)
Zusammenfassung der Vorlesung
Ulrich Horst
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
2
0
Allgemeine Orientierung
Ziel der Stochastik: Bereitstellung eines mathematischen Modells, mit dem zufällige Phänomene beschrieben und interpretiert werden können. Ein solches Modell ist gegeben durch (Ω, F, P)
1
Kombinatorik
Bei 2 (verschachtelten) Experimenten mit m ∈ N
und n ∈ N möglichen Ausgängen, lässt sich Ω als
m × n Matrix darstellen, deren Einträge die m · n
Versuchsausgänge repräsentieren.
• Assoziativgesetze:
(E ∪ F ) ∪ G = E ∪ (F ∪ G)
(E ∩ F ) ∩ G = E ∩ (F ∩ G)
• Distributivgesetze:
(E ∪ F ) ∩ G =
Sn(E ∩ G) ∪ (F ∩ G)Sn
also auch: ( i=1 Ei ) ∩ G =
i=1 (Ei ∩ G)
(E ∩ F ) ∪ G
=
(E
∪
G)
∩
(F
∪
G)
Tn
Tn
also auch:( i=1 Ei ) ∪ G = i=1 (Ei ∪ G)
• DeMorgansche Regeln:
Tn
Sn
c
(Si=1 Ei ) = Ti=1 Eic
c
n
n
( i=1 Ei ) = i=1 Eic
Wahrscheinlichkeitsaxiome: Die Anforderungen,
die an ein Wahrscheinlichkeitsmaß P gestellt werden
Verallgemeinerung: betrachten wir r ∈ N Experi- lassen sich in 3 Axiomen zusammenfassen:
mernte, wobei der i-te, 1 ≤ i ≤ r Versuch nQ
i Realir
sierungen erlaubt, so ergeben sich insgesamt j=1 nj
• 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ⊆ Ω
Versuchsausgänge.
• P(Ω) = 1
Permutationen: Die Möglichkeiten, n verschiedene
Objekte anzuordnen sind n! := n · (n − 1) · . . . 2 · 1
Kombinationen: Die Möglichkeiten, eine relementige Teilmenge aus einer
Grund n-elementigen
n!
menge zu erzeugen sind nr := (n−r)!·r!
• Für
jede
Folge
E1 , E2 , · · · ⊆ Ω gilt:
P
Verwendung findet der soeben definierte Binomialkoeffizient unter anderem im Binomischen Lehrsatz:
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
, ∀n ∈ N0
r
n
k=0
Anzahl der ganzzahligen Lösungen von Gleichungen:
n−1
• Es gibt
verschiedene Vektoren
r−1
(x1 , x2 , . . . xr ) mit 0 < xi ∈ N, welche
x1 + x2 + · · · + xr = n erfüllen.
n+r−1
• Es gibt
verschiedene Vektoren
r−1
(x1 , x2 , . . . xr ) mit 0 ≤ xi ∈ N, welche
x1 + x2 + · · · + xr = n erfüllen.
• Es gibt n+r−1
Möglichkeiten, eine ungeordner
te Stichprobe der Länge r aus einer Menge vom
Umfang n zu bilden, wenn ‘mit Zurücklegen’
und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen wird.
2
Wahrscheinlichkeitsaxiome
Rechenregeln für Mengen: Für Ereignisse E, F, G
und Ei , i = 1, . . . n gelten:
∞
[
paarweise
!
Ei
=
∞
X
disjunkter
P(Ei )
i=1
i=1
Diese Eigenschaft wird auch σ-Additivität genannt.
Proposition: Es gelten folgende Eigenschaften:
i) P(∅) = 0
ii) Für
jede
Folge
paarweise
disjunkter
E1 , E2 , . . . , En ⊆ Ω gilt:
!
n
n
[
X
P
Ei =
P(Ei )
i=1
i=1
iii) Für jedes Ereignis E gilt: P(E c ) = 1 − P(E)
iv) Für alle E, F gilt: E ⊂ F → P(E) ≤ P(F )
v) Für alle Ereignisse E, F gilt: P(E∪F ) = P(E)+
P(F ) − P(E ∩ F )
vi) Für Ereignisse E1 , E2 , . . . , En gilt:
P(E1 ∪· · ·∪En ) =
n
X
i=1
X
i1 <i2 <i3
P(Ei )−
X
P(Ei1 ∩Ei2 )+
i1 <i2
P(Ei1 ∩Ei2 ∩Ei3 )−. . . (−1)n+1 P(E1 ∩· · ·∩En )
3. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT
Laplace-Experimente: Auf einem endlichen
Grundraum Ω = {1, . . . N } nehmen wir alle Elementarereignisse als gleichwahrscheinlich an, also gilt
wegen σ-Additivität:
P({i}) =
1
,
N
Hüte aus, die nicht die eigenen
sind. Es ergeN
ben sich im ersten
Schritt
und im zweiten
k
1
1
+ 3!
− . . . (−1)N +1 N1 ! )
Schritt (N − k)! 1 − (1 − 2!
Möglichkeiten. Damit ist
|F |
P(F ) =
|Ω|
N
1
1
N +1 1
k · (N − k)! 1 − (1 − 2! + 3! − . . . (−1)
N! )
=
N!
1
1
1
1
=
1 − (1 − + − . . . (−1)N +1 )
k!
2! 3!
N!
1
∼
= e−1
k!
1 ≤ i ≤ N.
Dann gilt für ein Ereignis E ⊂ Ω:
P(E) =
X
P({i}) =
i∈E
3
|E|
|Ω|
Hier bedeutet |E| die Mächtigkeit von E.
Beispiel Hut-Problem Die N Hüte von N Personen werden gemischt und jeder zieht zufällig einen. bei großen N für k ∈ N. Diese Zahlen approximieren
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
die Poissonverteilung zum Parameter λ = 1, die wir
a) keiner der Besucher seinen eigenen Hut erhält?
später kennenlernen werden.
b) genau k Besucher ihre eigenen Hüte erhalten?
L: a) Ω = {(i1 , . . . , iN ) : 1 ≤ ij ≤ N, ij 6= ik ,fürj 6=
k} Ereigniss Ej : Besucher Nr. j erhält Hut Nr. ij = j
(seinen eigenen) werde dann beschrieben durch Ej =
{(i1 , . . . , iN ) ∈ Ω : ij = j}1 ≤ j ≤ N berechnet wird
c
) = 1 − P(E1 ∩ · · · ∩ EN ) mithilfe
P(E1c ∩ · · · ∩ EN
der Formel aus Prop. vi). Für n ≤ N seien gegeben
1 ≤ j1 < . . . jn ≤ N Dann ist Ej1 ∩ · · · ∩ Ejn =
{(i1 , . . . , iN ) ∈ Ω : ij1 = j1 , . . . , ijn = jn } mit
|E ∩···∩E |
P(Ej1 ∩ · · · ∩ Ejn ) = j1 |Ω| jn = (NN−n)!
!
Mit Prop. vi) folgt dann,
N
[
(N − 1)!
P( Ei ) = N ·
N!
i=1
(N − 2)!
N!
(N − 3)!
+ |{(j1 , j2 , j3 ) : 1 ≤ j1 < j2 < j3 ≤ N }| ·
N!
N +1 1
− · · · + (−1)
N!
N
N
(N − 2)!
(N − 3)!
=1−
·
+
·
2
N!
3
N!
1
− · · · + (−1)N +1
N!
1
1
1
= 1 − (1 − + − . . . (−1)N +1 )
2! 3!
N!
≈ e−1
− |{(j1 , j2 ) : 1 ≤ j1 < j2 ≤ N }| ·
für N groß.
b) Ereignis F: Genau k Personen erhalten ihre eigenen Hüte
In Schritt 1 wählen wir k Personen aus, die
ihre eigenen Hüte bekommen und in Schritt 2
wählen wir für die restlichen N − k Personen
3
Bedingte Wahrscheinlichkeit
und Unabhängigkeit
Für Ereignisse E, F gilt:
P(E) = P(E|F ) · P(F ) + P(E|F c ) · P(F c )
Unabhängige Ereignisse: Die Ereignisse E und F
heißen unabhängig, falls gilt P(E|F ) = P(E) Dies ist
äquivalent zu P(E ∩ F ) = P(E) · P(F ).
Propositon: Sind die Ereignisse E und F unabhängig, so sind es auch E und F c .