¨Ubungen zur Statistischen Mechanik (WS 2012/13) 3.¨Ubung

Prof. Michael Lässig
Donate Weghorn
Übungen zur Statistischen Mechanik
(WS 2012/13)
3. Übung
Abgabetermin: 2.11., vor der Vorlesung
Informationen zur Vorlesung: www.thp.uni-koeln.de/~dweghorn/StatMechWS12
Aufgabe 1: Gesetz adiabatischer Prozesse (7 Punkte)
Die spezifische Wärmekapazität C gibt die Wärmemenge an, die erforderlich ist, um
die Temperatur eines Systems um einen bestimmten Betrag zu erhöhen. Sie ist für
festgehaltenes Volumen bzw. festgehaltenen Druck wie folgt definiert:
CV = T
∂S
∂T
bzw.
CP = T
V
∂S
∂T
.
P
Verwenden Sie in dieser Aufgabe auch folgende der sog. Maxwell-Relationen, welche
Sie später in der Vorlesung noch näher kennenlernen werden:
∂S
∂V
=
T
∂P
∂T
.
V
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass für ein ideales Gas gilt:
CP − CV = N kB .
(b) (3 Punkte) Man definiert γ = CP /CV (wobei γ nur eine Funktion der Temperatur
ist). Beweisen Sie dann für ein ideales Gas die folgende Relation für reversible,
adiabatische Prozesse:
∂P
P
= −γ .
∂V S
V
(c) (2 Punkte) Wenn man annimmt, dass CV konstant ist, kann diese Gleichung
integriert werden, was P V γ = const. ergibt. Zeigen Sie, dass für ein ideales Gas gilt:
P T γ/(1−γ) = const.
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Diese Relation haben Sie bereits in Aufgabe 2 des letzten Übungsblattes bei der
Berechnung des Temperaturgradienten in einer adiabatischen Atmosphäre verwendet.
Aufgabe 2: Elastizitätstheorie (14 Punkte)
Wir betrachten ein elastisches Band mit konstantem Querschnitt als ein thermodynamisches System. Die thermodynamischen Variablen in Energiedarstellung sind
die Entropie S, die Länge L, und die Molzahl n. Der Ausdruck für dU ist:
dU = T dS + f dL + µdn,
wobei f die Spannung im Band und µ das chemische Potential sind.
(a) (1 Punkt) Stellen Sie die Gibbs-Duhem-Gleichung für dieses System auf.
(b) (2 Punkte) Man beobachtet experimentell, dass f proportional zur Temperatur
ist, wenn die Länge L und die Masse m konstant gehalten bleiben. Man nimmt also
an, dass:
U = cnT,
wobei c eine Konstante ist. Außerdem impliziert das Hookesche Gesetz, dass eine
(kleine) Längenänderung proportional zur Spannung ist:
f =φ
L − L0
,
n
wo L0 = nl0 die Gleichgewichtlänge ist.
Zeigen Sie, dass φ proportional zur Temperatur T ist:
φ = bT,
wobei b unabhängig von T ist. Verwenden Sie hierzu die gleiche Maxwell-Relation
wie in Aufgabe 1 mit den Substitutionen P → f und V → L. Im Rest der Aufgabe
nimmt man an, dass b auch unabhängig von L und n ist.
(c) (7 Punkte) Schreiben Sie das Entropiedifferential dS als eine Funktion von U , L
und n. Berechnen Sie das auftretende chemische Potential µ unter Verwendung von
Aufgabenteil (a) und der Euler-Gleichung für die innere Energie. Definieren Sie die
hierbei auftretende Konstante als eine Temperaturskala.
(d) (2 Punkte) Schreiben Sie die Fundamentalgleichung in der Entropiedarstellung
und in der Energiedarstellung, d.h. U = U (S, . . . ) und S = S(U, . . . ), wobei . . . die
anderen extensiven Variablen sind.
(e) (2 Punkte) Berechnen Sie die infinitesimale Längenänderung dL, wenn die Temperatur um dT zunimmt.
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