¨Ubungen zur Statistischen Mechanik (WS 2012/13) 3.¨Ubung

Prof. Michael Lässig
Donate Weghorn
Übungen zur Statistischen Mechanik
(WS 2012/13)
3. Übung
Abgabetermin: 2.11., vor der Vorlesung
Informationen zur Vorlesung: www.thp.uni-koeln.de/~dweghorn/StatMechWS12
Aufgabe 1: Gesetz adiabatischer Prozesse (7 Punkte)
Die spezifische Wärmekapazität C gibt die Wärmemenge an, die erforderlich ist, um
die Temperatur eines Systems um einen bestimmten Betrag zu erhöhen. Sie ist für
festgehaltenes Volumen bzw. festgehaltenen Druck wie folgt definiert:
CV = T
∂S
∂T
bzw.
CP = T
V
∂S
∂T
.
P
Verwenden Sie in dieser Aufgabe auch folgende der sog. Maxwell-Relationen, welche
Sie später in der Vorlesung noch näher kennenlernen werden:
∂S
∂V
=
T
∂P
∂T
.
V
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass für ein ideales Gas gilt:
CP − CV = N kB .
(b) (3 Punkte) Man definiert γ = CP /CV (wobei γ nur eine Funktion der Temperatur
ist). Beweisen Sie dann für ein ideales Gas die folgende Relation für reversible,
adiabatische Prozesse:
∂P
P
= −γ .
∂V S
V
(c) (2 Punkte) Wenn man annimmt, dass CV konstant ist, kann diese Gleichung
integriert werden, was P V γ = const. ergibt. Zeigen Sie, dass für ein ideales Gas gilt:
P T γ/(1−γ) = const.
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Diese Relation haben Sie bereits in Aufgabe 2 des letzten Übungsblattes bei der
Berechnung des Temperaturgradienten in einer adiabatischen Atmosphäre verwendet.
Aufgabe 2: Elastizitätstheorie (14 Punkte)
Wir betrachten ein elastisches Band mit konstantem Querschnitt als ein thermodynamisches System. Die thermodynamischen Variablen in Energiedarstellung sind
die Entropie S, die Länge L, und die Teilchenzahl N . Der Ausdruck für dU ist:
dU = T dS + f dL + µdN,
wobei f die Spannung im Band und µ das chemische Potential sind.
(a) (1 Punkt) Stellen Sie die Gibbs-Duhem-Gleichung für dieses System auf.
(b) (2 Punkte) Man beobachtet experimentell, dass f proportional zur Temperatur
ist, wenn die Länge L und die Masse konstant gehalten bleiben. Man nimmt also
an, dass:
U = cN T,
wobei c eine Konstante ist. Außerdem impliziert das Hookesche Gesetz, dass eine
(kleine) Längenänderung proportional zur Spannung ist:
f =φ
L − L0
,
N
wo L0 die Gleichgewichtlänge ist.
Zeigen Sie, dass φ proportional zur Temperatur T ist:
φ = bT,
wobei b unabhängig von T ist. Verwenden Sie hierzu die gleiche Maxwell-Relation
wie in Aufgabe 1 mit den Substitutionen −P → f und V → (L − L0 ). Im Rest der
Aufgabe nimmt man an, dass b auch unabhängig von L und N ist.
(c) (7 Punkte) Schreiben Sie das Entropiedifferential dS als eine Funktion von U ,
L und N . Berechnen Sie das auftretende chemische Potential µ unter Verwendung
von Aufgabenteil (a) und der Euler-Gleichung für die innere Energie. Definieren Sie
die hierbei auftretende Konstante als eine Temperaturskala.
(d) (2 Punkte) Schreiben Sie die Fundamentalgleichung in der Entropiedarstellung
und in der Energiedarstellung, d.h. U = U (S, . . . ) und S = S(U, . . . ), wobei . . . die
anderen extensiven Variablen sind.
(e) (2 Punkte) Berechnen Sie die infinitesimale Längenänderung dL, wenn die Temperatur um dT zunimmt.
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