Blatt 6

Theoretische Physik
Thermodynamik und statistische Physik (T4)
Prof. Dr. U. Schollwöck
3. Juni 2013
Blatt 6
Sommersemester 2013
Aufgabe 16: Implizites Ableiten
In der Thermodynamik gibt es verschiedene Zustandsgrößen, durch die ein System beschrieben
werden kann, wie die Temperatur T , die Entropie S, die Teilchenzahl N , den Druck P , das Volumen V . Davon reichen bei einfachen Fluiden drei zur Bestimmung der Entropie bzw. eines energieartigen thermodynamischen Potentials aus: U (S, V, N ), F (T, V, N ), H(S, P, N ), G(T, P, N ),
S(U, V, N ). Diese sind im Gleichgewicht extremal, sofern die zugehörigen unabhängigen Variablen kontrolliert werden: dS = 0, dU = 0, usw. Dieses Verschwinden der ersten Variation ist eine
Zusatzinformation, die Beziehungen zwischen den im allgemeinen voneinander unabhängigen
partiellen Ableitungen dieser Funktionen herstellt. Um diese soll es im Folgenden gehen.
Betrachten wir eine allgemeine Funktion f (x, y, z). Ihr Differential lautet:
∂f ∂f ∂f dx +
dy +
dz
df =
∂x yz
∂y xz
∂z xy
Jetzt verlangen wir, daß die erste Variation verschwindet:
df = 0.
Unsere Ausgangsgleichung lautet damit
∂f ∂f ∂f dx +
dy +
dz
0=
∂x yz
∂y xz
∂z xy
Leiten Sie daraus die folgenden vier nützlichen Beziehungen ab:
1. Es soll jetzt noch z = const sein. Dann gilt:
∂f ∂f ∂y 0=
+
·
∂x yz
∂y xz ∂x z,f
oder
∂f ∂y ∂x yz
= − ∂f
∂x z,f
∂y
xz
und die zyklischen Permutationen dieser Formel.
2. Es soll wiederum z = const sein. Dann gilt auch die (einleuchtende) Formel
∂x 1
= ∂y ∂y
z,f
∂x z,f
3. Es gilt:
∂x ∂y ∂z ·
·
= −1
∂y z,f ∂z x,f ∂x y,f
4. Manchmal lassen sich die unabhängigen Variablen x, y und z als Funktionen eines Parameters u ausdrücken: x = x(u), y = y(u) und z = z(u). Dann, gilt falls z = const:
∂y ∂y ∂u z,f
= ∂x .
∂x z,f
∂u z,f
Aufgabe 17: Pfade im Zustandsraum
Ein nicht näber spezifiziertes Gas sei in einem Zylinder mit beweglichem Deckel eingeschlossen.
Man beobachtet, daß bei adiabatischen Wänden eine quasistatische Volumenänderung (langsames Herausziehen oder Hineinschieben) zu einer Druckänderung wie
P 3 V 5 = const (dQ = 0)
führt.
a) In einem P V Diagramm definieren wir 4 Punkte A, B, C, D; A und C bei Volumen 10−3
m3 ; B und D bei Volumen 8 · 10−3 m3 ; A und D bei Druck 105 Pa, B und C bei Druck
105 /32 Pa. Zeichnen Sie das Diagramm und tragen Sie folgende Prozesse ein: auf Geraden
im P V Diagramm von A über D nach B, A über C nach B, und A nach B, sowie von A
nach B auf der Adiabatenkurve P 3 V 5 = const. Wie kann man die Prozesse realisieren?
(Wir können auch gezielt erwärmen und kühlen.) Berechnen Sie für die geraden Pfade
ADB, ACB und AB die quasistatische Arbeit A und den Wärmeübertrag Q. Hinweis:
Mit der vorliegenden Information können wir nur QADB berechnen, aber nicht QAD und
QDB getrennt.
b) Ein kleiner Rotor wird im Zylinder installiert und extern angetrieben. Er dreht sich mit
Winkelgeschwindigkeit ω und übt ein Drehmoment aus. Man beobachtet, daß sich der
Druck des Gases bei konstantem Volumen wie
2ω
dP
=
× Drehmoment
dt
3V
erhöht. Zeigen Sie, daß damit die Energiedifferenz zwischen zwei beliebigen Zuständen
gleichen Volumens bestimmt werden kann. Berechnen Sie UC − UA und UD − UB . Warum
kann dieser Prozeß nur in eine Richtung ablaufen? Hinweis: Dreht sich der Rotor um dθ,
führt er eine Energie dU = Drehmoment × dθ zu.
c) Zeigen Sie, daß zwei beliebige Zustände (Punkte in der P V -Ebene) durch eine Verbindung
von Prozessen aus Adiabaten und Isochoren (wie in b)) verbunden werden können. Wenn
wir UA = 0 setzen, wie lauten UB , UC , UD ?
d) Berechnen Sie mit UAD = UD − UA aus c) die Arbeit AAD und den Wärmeübertrag QAD
im Prozeß A → D aus a), ebenso für D → B und C → A. Sind die Ergebnisse konsistent
mit a)?
Aufgabe 18: Adiabatengleichung
Die Energie eines Systems von einem Mol Teilchen sei durch U = AP 2 V gegeben, mit A > 0
eine positive Konstante. Welche Einheit hat A? Bestimmen Sie die Adiabatengleichung in der
P V -Ebene.