Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen

Technische Universität München
Zentrum Mathematik, M1
Prof. Dr. Boris Vexler
Dipl.-Math. Alana Kirchner
7. Übung zu „Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen“ (WS 2009/10)
Aufgabe 7.1:
Man beweise die notwendigen Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung:
Sei Q ein Banachraum, Qad ⊂ Q eine nichtleere, konvexe Teilmenge und j : Q → R. Sei q eine
lokale Lösung von
min j(q)
s.t. q ∈ Qad
q∈Q
in der j zweimal stetig Gâteaux-differenzierbar ist.
Dann gilt:
(a) j 0 (q)(p − q) ≥ 0 ∀p ∈ Qad
(b) j 00 (q)(p − q, p − q) ≥ 0 ∀p ∈ Qad mit j 0 (q)(p − q) = 0
Aufgabe 7.2:
Man zeige folgende Aussage:
Sei Ω ⊂ Rn ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, Q = L2 (Ω) und Qad ⊂ Q eine konvexe, in L∞ (Ω)
beschränkte Teilmenge. Sei j : L∞ (Ω) → R zweimal stetig Fréchet-differenzierbar und ein q ∈ Qad
erfülle die Bedingungen
(i) j 0 (q)(p − q) ≥ 0 ∀p ∈ Qad
(ii) ∃γ > 0 : j 00 (q)(p, p) ≥ γkpk2Q ∀p ∈ Q
(iii) Für alle M > 0 existiert eine von q, p, δq, τ q unabhängige Konstante L(M ), so dass gilt
|j 00 (q)(δq, τ q) − j 00 (p)(δq, τ q)| ≤ L(M )kp − qkL∞ (Ω) kδqkL2 (Ω) kτ qkL2 (Ω)
für alle q, p, δq, τ q ∈ L∞ (Ω) mit kqkL∞ (Ω) + kp − qkL∞ (Ω) ≤ M .
Dann ist q ein lokales Minimum von j auf Qad . Außerdem existieren positive Zahlen und σ, so
dass
j(p) ≥ j(q) + σkp − qk2Q
∀p ∈ Qad mit kp − qkL∞ (Ω) ≤ .
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Aufgabe 7.3: Sei Ω ⊂ Rn ein beschränktes Lipschitz-Gebiet. Man betrachte folgendes Optimalsteuerungsproblem:
min
(q,u)∈Q×V
s.t.
1
α
J(q, u) = ku − 1k2L2 (Ω) + kqk2L2 (∂Ω)
2
2
3
−∆u + eu
∂n u + βu
=
=
f
q
in
auf
Ω
∂Ω
wobei Q = L2 (∂Ω), V = H 1 (Ω), f ∈ L2 (Ω), β ∈ L∞ (∂Ω), β > 0 fast überall in ∂Ω.
(a) Man gebe die schwache Formulierung der Zustandsgleichung an.
(b) Man berechne die partiellen Ableitungen von J und der Semilinearform a.
(c) Man stelle die Adjungiertengleichung in schwacher und in starker Form auf.
(d) Man stelle die Tangentengleichung in schwacher und in starker Form auf.
(e) Man gebe die Adjungierten-basierte Darstellung der Ableitung des reduzierten Kostenfunktionals j an.
(f) Man gebe die Tangenten-basierte Darstellung der Ableitung des reduzierten Kostenfunktionals j an.
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