Aufgaben zur Prüfung DM

TU Ilmenau
Institut für Mathematik,
FG Kombinatorik/Graphentheorie
Prof. Michael Stiebitz
Wintersemester 2016/17
Aufgaben zur Prüfung DM
Aufgabe 1
Fn,k bezeichne die Menge der k-elementigen Teilmengen der Menge {1, ..., n}, welche
keine zwei aufeinanderfolgende Zahlen enthalten.
(a) Man gebe F5,2 an.
(b) Beweisen Sie |Fn,k | =
(
n−k+1
k
)
Aufgabe 2 doppeltes Zählen
Lösen Sie folgende Aufgaben durch doppeltes Zählen:
(a) Es sei X eine n-elementige Grundmenge und es sei F ⊆ Pr (X) eine Menge
von r-elementigen Teilmengen von X mit n ≥ r ≥ 2 und m = |F|. Für x ∈ X
sei d(x) = |{E ∈ F | x ∈ E}|. Man zeige, dass gilt:
∑
d(x) = mr.
x∈X
(b) Man beweise, dass für alle natürliche Zahlen n ≥ 1 gilt:
∑ (n)
k
= n2n−1 .
k
k=1
Hinweis: Man wende doppeltes Zählen auf die Menge S = {(x, A) | x ∈ A ⊆
{1, 2, . . . , n}} an.
Aufgabe 3 Siebformel
Es seien k, n, b ∈ N. Mit Hilfe der Siebformel bestimme man Anzahl der Lösungen
der Gleichung x1 + x2 + · · · + xn = k mit xi ∈ N0 und 0 ≤ xi ≤ b für alle i.
Aufgabe 4
Für die folgenden zwei rekursiv definierten Folgen a = (a1 , a2 , . . .) ∈ CN gebe man
eine explizite Bildungsvorschrift an:
1
(a) a1 = 4, an = 2an−1 + 2n (für n ≥ 2) (Beachte Resonanz)
(b) a1 = 4, a2 = 13, a3 = 29, an = 3an−1 − 3an−2 + an−3 + 1 (für n ≥ 4).
Aufgabe 5
Mit Hilfe der Sätze aus Kapitel III, Abschnitt 4 bestimme man das Wachstum der
folgenden rekursiv definierten Folgen x ∈ RN :
√
(a) x(n) = 2x( n2 ) + 3 n
(b) x(n) = 3x( n4 ) + 2n
Aufgabe 6
Für eine natürliche Zahl n ≥ 1 sei D(n) die Menger aller Teiler a von n mit a ∈ N.
Wir betrachten die geordnete Menge (D(100), |), wobei | die Teilbarkeitsrelation ist.
(a) Man gebe das Hasse-Diagramm HD(D(100), |) an.
(b) Man gebe eine Überdeckung von P durch möglichst wenige Ketten bzw. Antiketten an.
Aufgabe 7
Es sei n ≥ 3 eine Primzahl und es sei Zn der Restklassenring modulo n. Für eine
Element a ∈ Zn mit a ̸= 0 sei La : Zn × Zn → Zn die Matrix mit La (r, c) =
ar + c (mod n). Man beweise, dass die Matrizen La mit a ∈ Zn − {0} genau n − 1
paarweise orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung n bilden.
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