Mathematisches Institut der Universität München Helmut

Mathematisches Institut
der Universität München
Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2009/2010
Blatt 6
Übungen zur Vorlesung Mathematische Logik“
”
Aufgabe 21. Man leite die Peirce-Formel ((P → Q) → P ) → P her aus
¬¬P → P und ⊥ → Q.
Aufgabe 22. Es seien T ein Baummodell, t ein Term, A eine Formel und
η Belegung in |T |. Man zeige, daß aus k A[η] und k k 0 folgt k 0 A[η].
Aufgabe 23. Es seien T ein Baummodell, t ein Term, A eine Formel und
η, ξ Belegungen in |T |. Man zeige:
(a) Gilt η(x) = ξ(x) für alle x ∈ vars(t), so ist η(t) = ξ(t).
(b) Gilt η(x) = ξ(x) für alle x ∈ FV(A), so gilt T , k A[η] genau dann,
wenn T , k A[ξ].
Aufgabe 24. Es sei R ein dreistelliges Relationssymbol für den Graphen
der Funktion λy,x (y + 2x ), d.h., Ryxz soll y + 2x = z ausdrücken. In der
Sprache mit R, einer Konstanten 0 und einem einstelligen Funktionssymbol
S fixieren wir die Bedeutung von R durch die Annahmen
Hyp1 := ∀y R(y, 0, Sy),
Hyp2 := ∀y,x,z,z1 (Ryxz → Rzxz1 → R(y, Sx, z1 )).
Sei
A0 (x) := ∀y (∀z (Ryxz → ⊥) → ⊥),
Ai+1 (x) := ∀y∈Ai (∀z∈Ai (Ryxz → ⊥) → ⊥),
wobei ∀y∈Ai B eine Abkürzung ist für ∀y (Ai (y) → B). Die Höhe |M | einer
→, ∀-Herleitung M ist definiert durch |u| := 0, |λu M | := |λx M | := |M | + 1,
|M N | := max(|M |, |N |) + 1, |M r| := |M | + 1. Man zeige
(a) Hyp1 ` A0 (0).
(b) Hyp2 ` ∀x (Ai (x) → Ai (Sx)) mit einer von i unabhängigen Herleitungshöhe.
(c) Hyp1 , Hyp2 ` Ai (0) mit einer konstanten (also von i unabhängigen)
Schranke für die Herleitungshöhe.
2
Lösung. (b). Wir verwenden die Annahmevariablen
d : Ai+2 (x)
(wird zweimal verwendet),
e1 : Ai+1 (y),
e2 : Ai+1 (z),
e3 : Ryxz,
e4 : Ai+1 (z1 ),
e5 : Rzxz1 ,
w : ∀z1 ∈Ai+1 ¬R(y, Sx, z1 ).
Man erhält:
M1
M2
M3
M4
M5
M6
:= Hyp2 yxzz1 e3 e5 : R(y, Sx, z1 )
:= wz1 e4 M1 : ⊥
:= λz1 ,e4 ,e5 M2 : ∀z1 ∈Ai+1 ¬Rzxz1
:= dze2 M3 : ⊥
:= λz,e2 ,e3 M4 : ∀z1 ∈Ai+1 ¬Ryxz
:= dye1 M5 : ⊥
M7 := λx,d,y,e1 ,w M6 : ∀x (Ai+2 (x) → Ai+2 (Sx))
(c). Wir verwenden die Annahmevariablen
d : Ai+1 (x),
e6 : ∀z∈Ai+1 ¬R(x, 0, z).
Man erhält:
M1 (d) : Ai+1 (Sx)
nach (b)
M2 := Hyp1 x : R(x, 0, Sx)
M3 := e6 (Sx)M1 (d)M2 : ⊥
M4 := λx,d,e6 M6 : Ai+2 (0) := ∀x∈Ai+1 (∀z∈Ai+1 ¬Rx0z → ⊥).
Abgabe. Mittwoch, 2. Dezember 2009, in der Vorlesung.