Moderne Theoretische Physik III SS 2015 Blatt 02, 130 Punkte

Karlsruher Institut für Technologie
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Moderne Theoretische Physik III
SS 2015
Blatt 02, 130 Punkte
Besprechung 08.05.2014
Prof. Dr. A. Mirlin
Dr. U. Karahasanovic, Dr. I. Protopopov
Die Abgabe ist jeweils bis spätestens Freitag, 09:00 Uhr in den dafür vorgesehenen
Kasten im Eingangsbereich des Physik-Hochhauses zu tätigen.
1. Anwendung des Funktionaldeterminantenkalküls von Übungsblatt 1 (5 + 10 + 25 = 40
Punkte, schriftlich)
(a) Maxwell-Beziehungen. Zeigen Sie, dass
∂S
∂p
=
∂V T
∂T V
und dass daraus folgt dass
∂(T,S)
∂(p,V )
(1)
= 1.
(b) Zusammenhang zwischen Wärmekapazitäten. Leiten Sie, entsprechend einem Beweis aus der Vorlesung, folgende Gleichung her
2
cp − cV = −T ∂p
∂T
∂p
∂V
V
(2)
T
(c) Gas in einem Behälter.
(5 + 10 + 10 = 25 Punkte für diesen Teil)
In einem Behälter mit einer durchlässigen Trennwand a, wird der Druck auf beiden
Seiten der Trennwand durch entsprechende Bewegung von Kolben konstant gehalten. Den Druck auf der linken Seite bezeichnen wir mit p1 , den auf der rechten Seite
mit p2 , wobei p2 < p1 . Gas aus der linken Seite geht stetig in die rechte Seite über.
Dabei verändern sich der Druck p1 und der Druck p2 nicht. Wir nehmen an, dass
das Gas von jeglichem äußeren Medium thermisch isoliert ist.
(i) Zeigen Sie, dass sich die Enthalpie H im Verlauf dieses Prozesses nicht ändert.
(ii) Nehmen Sie an p2 − p1 = δp p1 , p2 . Bestimmen Sie den entsprechenden
Temperaturunterschied δT zwischen den zwei
Teilen des Behälters.
Hinweis: Sie sollten einen Ausdruck für ∂T
in Abhängigkeit von cp und
∂p
H
thermodynamischer Variablen mit Hilfe einer Zustandsgleichung V = V (T, p)
erhalten.
Nehmen Sie dabei nicht die Zustandsgleichung des idealen Gases an.
(iii) Zeigen Sie, dass in diesem Prozess die Änderung der Entropie positiv ist. Diskutieren Sie dieses Ergebnis.
2. Gummiband
(10 + 20 = 30 Punkte, mündlich)
Für ein elastisches Gummiband der Länge l bei der Temperatur T und unter der Spannung J wurden experimentell folgende Beziehungen gemessen
4 !
∂J
al
l0
(3)
=
1−
∂T l
l0
l
4 !
∂J
aT
l0
=
1+3
.
(4)
∂l T
l0
l
Hier bezeichnet l0 die Länge des ungedehnten Bands, die als temperaturunabhängig
angenommen wird, und a ist eine Konstante.
(a) Bestimmen Sie die Zustandsgleichung des Systems, d.h. finden Sie die Spannung
J(T, l) als Funktion der Temperatur T und der Länge l des Gummibandes.
(b) Nehmen Sie an, dass die spezifische Wärme Cl bei konstanter Länge l temperaturunabhn̈gig ist. Das Band werde nun von einer anfänglichen Länge l0 und Temperatur
T0 auf adiabatische und reversible Weise auf eine finale Länge l1 gedehnt. Berechnen
Sie die finale Temperatur T1 .
Hinweis: die Änderung der inneren Energie U des Gummibandes ist gegeben durch
dU = T dS + Jdl, wobei Jdl die Arbeit bezeichnet die verrichtet wird um das Gummiband um die Strecke dl zu dehnen.
3. Erzeugende Funktionen und Zentraler Grenzwertsatz
(5 + 5 + 5 + 15 = 30
Punkte, mündlich)
Eine Zufallsvariable X sei gegeben durch ein Menge möglicher Werte {x}, die sie annehmen kann und durch eine normierte
Wahrscheinlichkeitsverteilung P (x). Der MitR
telwert ist definiert als hXi = dxP (x)x, und die Varianz σ 2 über σ 2 = hX 2 i − hXi2 .
Die charakteristische Funktion φX (k) ist gegeben durch die Fouriertransformierte der
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Z
(5)
φX (k) = dxP (x)eikx .
(a) Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion die Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilung erzeugt, also
hX n i =
1 dn
φX (k)|k=0 .
in dk n
(6)
(b) Die Kumulanten Cn einer Zufallsvariablen X sind über die charakteristische Funktion φX (k) folgendermaßen definiert
!
X
(ik)n
φX (k) := exp
Cn (X)
.
(7)
n!
n
Verwenden Sie diese Definition für die Kumualanten und zeigen Sie, dass C1 dem
Mittelwert, und die zweite Kumulante C2 der Varianz σ 2 entspricht.
(c) Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariablen X1 und X2 mit charakteristischen
Funktionen φX1 (k) und φX2 (k). Was ist die charakteristische Funktion der Summe
X1 + X2 ?
(d) Nehmen wir nun unabhängige Zufallsvariablen Xi , i = 1, . . . N mit identischen Verteilungsfunktionen P (X) mit
Mittelwert hXi und Varianz σ 2 an. Wir definieren
P
N
X
i
eine Zufallsvariable SN = i=1
. Überprüfen Sie, dass für große N die VerteiN
lungsfunktion von SN eine Gaussverteilung mit Mittelwert hXi und Varianz σ 2 /N
wird.
Hinweis: Es ist nützlich die statistische Unabhängigkeit der Xi zu verwenden und
die charakteristische Funktion ΦSN (k) zu berechnen. Zeigen Sie dann, dass die Kumulanten von SN folgende Gleichung erfüllen
Cm (SN ) = N 1−m Cm (X).
(8)
4. Wahrscheinlichkeiten und Kombinatorik (10 + 10 + 10 = 30 Punkte, mündlich)
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es m Bälle in n Kisten zu legen? Es wird angenommen,
dass alle Bälle identisch sind. Die Kisten sind unterscheidbar.
(b) Wir nehmen an, es gibt k unterschiedlichePVasen und n unterschiedliche Blumen.
Die i-te Vase kann mi Blumen aufnehmen, ki=1 mi = n. Auf wie viele Arten können
wir die Blumen arrangieren?
(c) Ab wie vielen Studenten ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Studenten
am gleichen Tag Geburtstag haben, größer als 1/2 ?