Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3
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Aufgabe 1
Wir können das Mischen so verstehen, daß wir zunächst die überigen 51 Karten
permutieren und anschließend das Pik-Ass an eine beliebige Position geschoben
wird. Von den 52 möglichen Positionen ist genau eine günstig, nämlich diejenige
1
hinter dem ersten der drei übrigen Asse. Folglich ist 52
die Wahrscheinlichkeit,
daß Pik-Ass unmittelbar hinter dem ersten Ass liegt. Das gleiche gilt auch für
Kreuz-2, die Argumentation ist identisch.
Aufgabe 2
K N −K
a) Es gibt N
n Möglichkeiten, n Fische zu fangen und k
n−k Möglichkeiten,
davon genau k markierte Fische zu fangen. Da das Fangen der Fische
durch ein Laplace-Experiment modelliert werden kann, ist
K N −K
pN (k) =
k
n−k
N
n
die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den n gefangen Fischen genau k
markierte befinden.
b) Wir betrachten pN (k) nun als eine von N ∈ N abhängige Funktion. Es
gilt
−K
)
(Kk )(Nn−k
N
(N − K)(N − n)
pN (k)
(n)
= K N −K−1 =
≥1
( k )( n−k )
pN −1 (k)
(N − K − (n − k))N
N −1
( n )
genau dann, wenn
(N − K)(N − n) ≥ (N − K − (n − k))N
bzw. äquivalent N ≤ n K
k . Folglich nimmt die Funktion N 7→ pN (k) ihr
K
Maximum bei N̂ = [n k ] an.
Aufgabe 3
Seien
Ω = {(i, j) | i, j ∈ {1, . . . , 6}}
S = {(i, j) ∈ Ω | i = 6, j ∈ {1, . . . , 6}}
Ek = {(i, j) ∈ Ω | i · j = k}
(k = 1, . . . , 36)
Dann ist P[S | Ek ] die bedingt Wahrscheinlichkeit, dass der erste Würfel eine 6
zeigt, wenn das Produkt der Würfel k ist. Es gilt (abzählen!)
1/36 k = 1, 9, 16, 25, 36
2/36 k = 2, 3, 5, 8, 10, 15, 18, 20, 24, 30
P[Ek ] = 3/36 k = 4
4/36 k = 6, 12
0
sonst
1
Für P[Ek ] = 0 gilt per Definition P[S | Ek ] = 0; für
1/36
1
4/36 = 4
1/36
P[S ∩ Ek ] 2/36 = 21
P[S | Ek ] =
= 1/36
1/36 = 1
P[Ek ]
0
P[Ek ] 6= 0 gilt
k = 6, 12
k = 18, 24, 30
k = 36
sonst
Aufgabe 4
a) Es gilt
P[A] = P[A ∩ B] + P[A ∩ B C ] = P[A]P[B] + P[A ∩ B C ]
und damit
P[A ∩ B C ] = P[A] − P [A]P[B] = P [A](1 − P [B]) = P [A]P [B C ]
d.h. A und B C sind unabhängig. Setzen wir nun Ā := B C und B̄ := A,
so folgt wegen Unabhängigkeit von Ā und B̄ C sofort die Unabhängigkeit
von AC und B C .
b) A und AC sind unabhängig, falls P[A]P[AC ] = P [A ∩ AC ] = P [∅] = 0.
Also sind A und AC genau dann unabhängig, wenn P [A] ∈ {0, 1}.
2
