GRUNDLAGEN

MATHEMATIK
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Aufgabensammlung mit vollständigen Lösungen
GRUNDLAGEN
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Musteraufgaben in Mathematik
www.neo-lernhilfen.at
Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch verboten ist - § 42 Absatz(6) der Urheberrechtsgesetznovelle 2003:
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„Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und
Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“
c 2011-2015, neo Lernhilfen OG, Steindorf 38, 8141 Zwaring/Pöls, AUSTRIA
Alle Rechte vorbehalten.
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Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das der Übersetzung,
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Sie der Meinung sein, das Urheberrechte verletzt worden sind, dann ersuchen wir Sie sich mit uns in Verbindung
zu setzen.
E-Mail: [email protected]
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Version: 2015-03-10 20:59
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GRUNDLAGEN
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Musteraufgaben in Mathematik
Schuljahr 2015/15
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2015-03-10
Verantwortlich für den Inhalt:
Dipl.-Ing. Edgar Neuherz, Graz 2015
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Inhaltsverzeichnis
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1
2
2
2
2
2
2
3
3
Lösungen
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Zahlenmengen . . . . . . . . . .
2.2 Rechnen mit Termen . . . . . . . . . .
2.2.1 Multiplikation von Binomen . . .
2.3 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Trapez . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Analytische Geometrie des Raumes . . .
2.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum
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5
6
6
6
6
7
7
9
9
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2
Aufgaben
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Zahlenmengen . . . . . . . . . .
1.2 Rechnen mit Termen . . . . . . . . . .
1.2.1 Multiplikation von Binomen . . .
1.3 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Trapez . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Analytische Geometrie des Raumes . . .
1.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum
M
1
pla
r
ex
em
te
r
us
M
1
Aufgaben
1.1 Grundlagen
1.1.1 Zahlenmengen
Gegeben sind folgende Mengen:
1
2015-03-10
N
Z
Q
R
...
...
...
...
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
I . . . Menge der irrationalen Zahlen
P . . . Menge der Primzahlen
C . . . Menge der Komplexen Zahlen
1 Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmen-
2 Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmen-
gen zu:
gen zu:
P N Z Q I
R C
P N Z Q I
R C
30,11
93
37
58
19
√
49
60,1
√
17
13
√
−46
√
11
ex
em
−2
17
6
√
Zahl
pla
r
Zahl
√
−50
−85
18
4
1.2 Rechnen mit Termen
te
r
1.2.1 Multiplikation von Binomen
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
2
2015-03-10
4 (−9x − 4) · (9x − 5)
us
3 (x − 4) · (x + 9)
1.3 Vierecke
3
2015-03-10
M
1.3.1 Trapez
Gegeben ist ein Trapez mit nachfolgenden Daten. Die Werte für a, b, c, d, e, f , h, A und U sind zu
vervollständigen und zu berechnen!
2
5 a = 81,0 mm, b = 49,8 mm,
6 a = 74,0 mm, b = 41,3 mm,
c = 31,0 mm, d = 57,7 mm.
d = 57,7 mm, f = 51,5 mm.
1.4 Analytische Geometrie des Raumes
1.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum
Bestimmen Sie die Vektoren von A nach B und von B nach C.
7 A = 2 6 4 , B =
C = −1 −2 1
6 0 −4 ,
4
8 A = 3 −3
,B=
−2
C= 542
z
z
2015-03-10
−1 1 6 ,
B
A
C
C
y
x
A
y
pla
r
B
M
us
te
r
ex
em
x
3
4
pla
r
ex
em
te
r
us
M
pla
r
ex
em
te
r
us
M
2
Lösungen
2.1 Grundlagen
2.1.1 Zahlenmengen
Gegeben sind folgende Mengen:
1
2015-03-10
N
Z
Q
R
...
...
...
...
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
I . . . Menge der irrationalen Zahlen
P . . . Menge der Primzahlen
C . . . Menge der Komplexen Zahlen
2 Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmen-
1 Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmen-
gen zu:
gen zu:
P N Z Q I
Zahl
R C
R C
30,11
93
37
58
19
√
49
60,1
√
17
13
√
−46
√
11
ex
em
−2
17
6
√
P N Z Q I
pla
r
Zahl
√
−50
−85
4
18
2.2 Rechnen mit Termen
te
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2.2.1 Multiplikation von Binomen
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
2
2015-03-10
us
3 (x − 4) · (x + 9)
Produkt zweier Binome:
2
1
x + (−4) ) · ( x + 9
M
3
1
2
3
4
z }| { z }| { z }| { z }| {
= x · x + 9 · x + (−4) · x + (−4) · 9 =
= x 2 + 9 · x − 4 · x − 36 =
4
= x 2 + 9x − 4x − 36 = x 2 + 5x − 36
4 (−9x − 4) · (9x − 5)
Produkt zweier2 Binome:
1
1
−9x + (−4) ) · ( 9x + (−5)
3
4
2
3
= − 81x 2 + 45 · x − 36 · x + 20 =
= −81x 2 + 45x − 36x + 20 = −81x 2 + 9x + 20
6
4
z
}|
{ z
}|
{ z
}|
{ z
}|
{
= (−9)x · 9x + (−9) · (−5) · x + (−4) · 9 · x + (−4) · (−5) =
2.3 Vierecke
2.3.1 Trapez
Gegeben ist ein Trapez mit nachfolgenden Daten. Die Werte für a, b, c, d, e, f , h, A und U sind zu
vervollständigen und zu berechnen!
3
2015-03-10
5 a = 81,0 mm, b = 49,8 mm,
c = 31,0 mm, d = 57,7 mm.
D
c
C
d
b
e
b
f
(a − c)
α
c
A
h aus Heronsche Flächenformel
h
β
ex
em
a
pla
r
γ
δ
B
z = a − c = 81,0 − 31,0 = 50,0 mm
U∆
b+d +z
49,8 + 57,7 + 50,0
U∆ = b + d + z ⇒ s =
=
=
= 78,8 mm
2
2
2
p
p
A∆ = s · (s − b) · (s − d) · (s − z) = 78,8 · (78,8 − 49,8) · (78,8 − 57,7) · (78,8 − 50,0) = 1175,0 mm2
z ·h
2
⇒
h=
Diagonalen e, f
⇒
x=
p
d 2 − h2 = 57,72 − 47,02 = 33,5 mm
q
p
e = h2 + (c + x)2 = 47,02 + (31,0 + 33,5)2 = 79,8 mm
p
us
d 2 = h2 + x 2
2 · A∆
2 · 1175,0
=
= 47,0 mm
z
50,0
te
r
A∆ =
e 2 = h2 + (c + x)2
c =a−x −y
⇒
M
f 2 = h2 + (c + y )2
⇒
y = a − c − x = 81,0 − 31,0 − 33,5 = 16,5 mm
q
p
⇒ f = h2 + (c + y )2 = 47,02 + (31,0 + 16,5)2 = 66,8 mm
Flächenformel
A=
a+c
81,0 + 31,0
·h =
· 47,0 = 2632,0 mm2
2
2
Umfang
U = a + b + c + d = 81,0 + 49,8 + 31,0 + 57,7 = 220,0 mm
7
6 a = 74,0 mm, b = 41,3 mm,
d = 57,7 mm, f = 51,5 mm.
D
c
C
γ
δ
d
b h
e
f
β
pla
r
α
a
A
B
h aus Heronsche Flächenformel
A∆ =
a·h
2
⇒
h=
ex
em
a+d +f
74,0 + 57,7 + 51,5
U∆
=
=
= 91,6 mm
U∆ = a + d + f
⇒ s=
2
2
2
p
p
A∆ = s · (s − a) · (s − d) · (s − f ) = 91,6 · (91,6 − 74,0) · (91,6 − 57,7) · (91,6 − 51,5) = 1480,0 mm2
2 · A∆
2 · 1480,0
=
= 40,0 mm
a
74,0
Hilfsvariablen x, y und Seite c
p
p
d 2 = h2 + x 2 ⇒ x = d 2 − h2 = 57,72 − 40,02 = 41,6 mm
p
p
b2 = h2 + y 2 ⇒ y = b2 − h2 = 41,32 − 40,02 = 10,4 mm
Diagonale e
te
r
c = a − x − y = 74,0 − 41,6 − 10,4 = 22,0 mm
⇒
e=
p
h2 + (c + x)2 =
q
40,02 + (22,0 + 41,6)2 = 75,1 mm
us
e 2 = h2 + (c + x)2
Flächenformel
A=
74,0 + 22,0
a+c
·h =
· 40,0 = 1920,0 mm2
2
2
M
Umfang
U = a + b + c + d = 74,0 + 41,3 + 22,0 + 57,7 = 195,0 mm
8
2.4 Analytische Geometrie des Raumes
2.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum
Bestimmen Sie die Vektoren von A nach B und von B nach C.
7 A = 2 6 4 , B = 6 0 −4 ,
8 A = 3 −3
,B=
−2
C = −1 −2 1
C= 542
z
z
# »
# » AB
BC
x
4
2015-03-10
−1 1 6 ,
# »
AB
# »
BC
y
# »
AB = B − A
 
   
2
4
6
=  0 − 6 = −6
4
−8
−4
# »
Der Vektor BC berechenet sich sich genauso wie
in der Ebene (Spitze C minus Schaft B):
# »
AB = B − A
   
 
3
−1
−4
=  1 − −3 =  4
−2
6
8
# »
Der Vektor BC berechenet sich sich genauso wie
in der Ebene (Spitze C minus Schaft B):
# »
BC = C − B
   
 
5
−1
6
= 4 −  1 =  3
6
2
−4
M
us
te
r
# »
BC = C − B
   
 
−1
6
−7
= −2 −  0 = −2
1
−4
5
# »
Der Vektor AB berechenet sich sich genauso wie
in der Ebene (Spitze B minus Schaft A):
ex
em
# »
Der Vektor AB berechenet sich sich genauso wie
in der Ebene (Spitze B minus Schaft A):
y
pla
r
x
9
10
pla
r
ex
em
te
r
us
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