¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
WS 2010/2011
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. G. Christoph
Dr. B. Leneke
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Blatt 7* - Abgabe bis Donnerstag, 25.11.2010, 14:00 Uhr (G 18 - 158)
34. (4 + 1 +1 P)
Seien X1 , ...Xn stochastisch unabhängige, identisch verteilte reelle Zufallsvariablen jeweils mit Verteilungsfunktion F .
a) Leiten Sie die Verteilungsfunktionen des Minimums X(1) := min {X1 , ..., Xn }
sowie des Maximums X(n) := max {X1 , ..., Xn } her.
b) Geben Sie unter der Annahme, dass die Xi stetige Zufallsvariablen mit
Lebesgue-Dichte f sind, die zu X(1) und X(n) gehörigen Lebesgue-Dichten
an.
c) Seien die Zufallsvariablen X1 , ..., Xn exponential-(λ)-verteilt. Zeigen Sie,
dass X(1) wiederum exponentialverteilt ist.
35. (4 P)
In einem dreidimensionalen Raum seien Teilchen homogen verteilt. Die zufällige Anzahl von Teilchen in einem Gebiet mit dem Volumen V unterliege einer
Poissonverteilung mit dem Parameter λV . Bestimmen Sie die Verteilungs- und
Dichtefunktion des zufälligen Abstandes von einem beliebigen (festen) Punkt
des Raumes zum nächstliegenden Teilchen im Raum.
36. (2 +2 P)
a) Sei X ∼ N (0, 1). Bestimmen Sie die Verteilung und Dichte von X 2 .
b) Die (Standard) Cauchy-Verteilung besitzt die Lebesgue-Dichte
1 1 , −∞ < x < ∞
f (x) = π
1 + x2
Geben Sie die Verteilung von Y1 an, wobei Y eine Cauchy-verteilte Zufallsvariable darstellt.
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37. (2 +2 + 2 P)
Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her, deren Dicke X normalverteilt ist
mit den Parametern µ = 10 mm und σ = 0.02 mm. Eine Platte sei normgerecht, wenn ihre Dicke höchstens um einen Wert c vom Sollwert 10 mm
abweicht.
a) Es sei c = 0.04 mm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Platte normgerecht?
b) Auf sechs unabhängig voneinander arbeitenden Maschinen des gleichen
Typs wird je eine Platte hergestellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass höchstens eine dieser Platten nicht normgerecht ist.
c) Wie groß ist der Toleranzparameter c mindestens zu wählen, damit die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Platte normgerecht ist, mindestens 0.99 beträgt?
38. (4 P) Zusatzaufgabe
Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FX und
U ∼ U [0, 1].Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Sei FX−1 (u) := inf {x : FX (x) ≥ u}, dann besitzt FX−1 (U ) die Verteilungsfunktion FX .
b) Sei X zudem stetig, dann folgt FX (X) ∼ U [0, 1].
* Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/wtheorie ws1011.html
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