Einführung in die Statistik für WInf, Inf, Bi, ET etc.

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
T. Harth
A. Rößler
B. Walther
SS 2002
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
15./16.05. 2002
Einführung in die Statistik
für WInf, Inf, Bi, ET etc.
3. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G7
Sei X eine N (3, 4)-verteilte Zufallsvariable.
a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(i) P (X > 1)
(ii) P (0.5 ≤ X ≤ 2.5)
(iii) P (X < −1)
b) Bestimmen Sie den Median von X.
c) Die Zufallsvariable Y sei definiert durch Y = 2X − 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (Y ≤ 0) und das 0.9-Quantil von Y .
Aufgabe G8
Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die Dichte
(
1 für 0 ≤ s, t ≤ 1
f (s, t) =
0 sonst.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F (x, y).
b) Bestimmen Sie die Randverteilungen von X und Y sowie zugehörige Dichten.
c) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X, Y ) und den Korrelationskoeffizienten %(X, Y ).
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X + Y ≤ 12 ).
Aufgabe G9
a) Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit den Verteilungsfunktionen F1 , . . . , Fn .
Man bestimme die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen
Y = max(X1 , . . . , Xn )
und
Z = min(X1 , . . . , Xn ).
b) Ein technisches System bestehe aus den Komponenten K1 , . . . , Kn , die
(i) hintereinandergeschaltet bzw.
(ii) parallelgeschaltet sind.
Im Fall (i) fällt das System aus, sobald mindestens eine Komponente ausgefallen ist,
im Fall (ii) fällt das System aus, sobald alle Komponenten ausgefallen sind. Es wird
angenommen, dass die Lebensdauern der Komponenten (in Stunden) als Realisierungen unabhängiger, mit demselben Paramter λ exponentialverteilter Zufallsvariablen
angesehen werden können. In jedem der beiden Fälle (i) und (ii) bestimme man die
Verteilungsfunktion der Lebensdauer des Systems und berechne unter der Voraussetzung λ = 0.25 und n = 4 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer des
Systems größer als 5 Stunden ist.
(bitte wenden)
Hausübungen
Abgabe am 23./24. Mai
Aufgabe H13
Die Füllmenge einer automatisch abgefüllten Kaffepackung lasse sich durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ = 500[g] und Varianz σ 2 = 4[g 2 ] beschreiben.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Füllung einer zufällig der Produktion entnommenen Kaffeepackung weniger als 495[g] beträgt?
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Füllung einer zufällig der Produktion entnommenen Kaffeepackung mehr als 0.5% vom Erwartungswert abweicht.
Welches Ergebnis liefert die Ungleichung von Tschebyscheff?
c) Welche Mindestfüllmenge darf auf der Verpackung angegeben werden, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Füllmenge unterschritten wird, höchstens 0.01 betragen
soll?
d) Der Hersteller erwägt, die Abfüllmaschine auf eine höhere Abfüllmenge einzustellen, so
dass als Mindestfüllmenge 500[g] angegeben werden darf, wobei die Wahrscheinlichkeit
für das Unterschreiten dieser Füllmenge wiederum höchstens 0.01 betragen soll. Unter
der Annahme, dass sich die Füllmenge nach der Neueinstellung durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ
e und Varianz σ 2 = 4[g 2 ] beschreiben lässt,
bestimme man die mindestens einzustellende Füllmenge µ
e.
Aufgabe H14
Die Zufallsvariable X habe die Verteilungsfunktion


für x ≤ 0
0
1
F (x) = 4 x
für 0 < x < 2


1 −(x−2)
für x ≥ 2
c − 2e
mit einer bestimmten Konstanten c ∈ R. Ohne eine Dichte der Zufallsvariablen X zu
berechnen, bestimme man
a) den Wert von c,
b) die Wahrscheinlichkeit P (1/2 < X ≤ 3),
c) den Erwartungswert von X,
d) die Varianz von X.
Aufgabe H15
Die Zufallsvariablen Xi , i = 1, 2, 3 seien unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert 1 und Varianz 4. Sei
Y1 =
X1 + X2 + X3
3
und
Y2 =
X1 + 2X2 + 3X3
.
6
a) Vergleichen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Y1 und Y2 .
b) Bestimmen Sie die Kovarianz Cov(Y1 , Y2 ) und den Korrelationskoeffizienten %(Y1 , Y2 ).
Aufgabe H16
Folgendes Modell ergibt sich aus der langjährigen Erfahrung der Abteilung für Familie und
Soziales einer Stadtverwaltung: Bei zufälliger Auswahl eines Haushalts mit PKW lässt sich
die gemeinsame Verteilung der Anzahl X der Kinder des Haushalts und der Anzahl Y der
PKW des Haushalts durch folgende Wahrscheinlichkeiten beschreiben:
Anz. der PKW
Anz. der Kinder
0
1
2
3
4
1
2
3
0.06
0.12
0.08
0.06
0.03
0.28
0.13
0.05
0.02
0.01
0.04
0.06
0.03
0.02
0.01
a) Bestimmen Sie die Randverteilungen von X und Y .
b) Bestimmen Sie die Erwartungswerte E(X) und E(Y ) sowie die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass pro Haushalt genau 2 PKW gefahren werden und höchstens zwei Kinder
zum Haushalt zählen.
c) Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y .
d) Sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe H17
Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die Dichte
(
s + t für 0 ≤ s, t ≤ 1
f (s, t) =
0
sonst.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F (x, y), die Randverteilungen FX und FY sowie
die Randdichten fX und fY .
b) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X, Y ). Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
Aufgabe H18
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig. X sei R(0, π)-verteilt und Y sei Ex(2)verteilt.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von (X, Y ).
b) Bestimmen Sie eine Dichte von (X, Y ).
c) Die Zufallsvariable sei definiert durch Z = X · Y . Berechnen Sie E(Z) und V ar(Z).