Übungsblatt 6.

Einführung in die Statistik
Herbstsemester 2016
Prof. Dr. H. Harbrecht
Übungsblatt 6.
zu bearbeiten bis Freitag, 4. November 2016, 12 Uhr.
Aufgabe 1 (Erwartungswert | 4 Punkte).
Betrachten Sie das folgende Glücksspiel: zu Beginn zahlen Sie dem Veranstalter einen
einmaligen Einsatz von c Franken. Der Veranstalter wirft nun so lange mit einer fairen
Münze, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Sei k die Anzahl der dazu notwendigen
Versuche. Der Veranstalter zahlt Ihnen nun 2k−1 Franken aus.
a) Was ist der faire Wert des Einsatzes c, d.h. bestimmen Sie c so, dass der erwartete
Gewinn des Spieles für beide Parteien 0 ist. Empfinden Sie das Ergebnis als intuitiv
oder überraschend?
b) Nehmen sie an, der Veranstalter heisst Bill Gates. Er haftet dabei mit seinem
Gesamtvermögen von v = 81 000 000 000 Franken, d.h. er muss Ihnen statt 2k−1
jeweils nur min{2k−1 , v} zahlen. Was ist nun der faire Einsatz, wenn man die Obergrenze der Zahlungsfähigkeit von Herrn Gates in Betracht zieht?
Aufgabe 2 (Verteilung | 4 Punkte).
Gegeben Sei eine Zufallsgrösse X mit der Verteilungsfunktion


0,
für x < 3;



k(x), für 3 ≤ x < 5;
F (x) =

0.8,
für 5 ≤ x < 7;



1,
für 7 ≤ x;
und den Eigenschaften P (X ∈ {2, 3.2, 4, 7}) = 1 und P (X = 4) = 0.3. Bestimmen Sie:
a) k(x) für x ∈ [3, 5),
b) die Wahrscheinlichkeitsfunktion P (X = k),
c) den Erwartungswert E(X),
d) die Varianz V (X).
Aufgabe 3 (Mittlere absolute Abweichung | 4 Punkte).
Sei X eine Zufallsgrösse, für welche E(|X|) existiert. Die mittlere absolute Abweichung
von X ist dann definiert als
eX := E |X − E(X)| .
a) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert E |X − E(X)| existiert, wenn der Erwartungswert E(|X|) existiert.
b) Geben Sie ein Beispiel einer diskreten Zufallsgrösse X, für welche E(|X|) und
E(X 2 ) existieren, an, so dass sie
p
eX 6= σX := V (X)
erfüllt.
c) Betrachten Sie die Zufallsgrösse X mit Wertebereich {2k : k = 1, 2, . . .} die durch
P (X = 2k ) = 3 · 4−k
definiert ist. Zeigen Sie, dass E(|X|) existiert, und, dass E(X 2 ) nicht existiert.
Geben Sie weiter eX an.
Aufgabe 4 (Tschebyscheffsche Ungleichung | 4 Punkte).
a) Eine Whisky-Brennerei brennt jede Woche eine gewisse Menge Jungwhisky, dieser
wird dann in X Fässer gefüllt um eine 16-jährige Fassreifung zu erfahren. Aufgrund
von Schwankungen in den Brau- und Brennprozessen ist X eine Zufallsgrösse auf
den natürlichen Zahlen mit dem Erwartungswert E(X) = 100 und der Varianz
V (X) = 20.
Geben Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche n
Fässer gefüllt werden, wobei n ∈ [90, 110].
b) Sei X eine Zufallsgrösse, für welche E(X 2 ) existiert, dann gilt
0 ≤ P (|X − E(X)| ≥ k) ≤
V (X)
k2
(nach der Tschebyscheffschen Ungleichung).
p
Zeigen Sie, dass diese Schranken für k > V (X) scharf sind, d.h. es existieren
Zufallsgrössen X1 , X2 mit
E(X1 ) = E(X2 ) = E(X) und V (X1 ) = V (X2 ) = V (X),
so dass
0 = P (|X1 − E(X1 )| ≥ k) und P (|X2 − E(X2 )| ≥ k) =
V (X)
.
k2