Höhere Mathematik 3 Vortragsübung 6

I. Köster
Höhere Mathematik 3
Vortragsübung 6
WS 2013/14
Prof. Dr. W. Kimmerle
Vortragsübung am 16.1.2014
Aufgabe V6.1
Seien X, Y : Ω → R Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ). Begründen Sie durch einen Satz oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:
a) σ 2 (X + Y ) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ),
b) σ 2 (X − Y ) = σ 2 (X) − σ 2 (Y ).
Welche der Aussagen gelten, wenn zudem X und Y unabhängig sind?
Aufgabe V6.2
Angenommen, bei Flugreisen betrage die Rücktrittswahrscheinlichkeit 12%. Für einen
Flug mit 335 Plätzen wird die Fluggesellschaft daher mehr als 335 Tickets verkaufen. Die Fluggesellschaft
verkauft 360 Tickets.
a) Wie ist die Anzahl der tatsächlich in dem Flugzeug reisenden Passagiere verteilt? Berechnen Sie den
Mittelwert µ und die Varianz σ 2 . Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen mehr als 335 Reisende
zum Flug?
b) Was sagt die Chebychev–Ungleichung? (grobe Überschlagsrechnung)
c) Was sagt die Normalverteilung? (gute Näherungsrechnung mit Tabelle)
d) Was sagt die Binomialverteilung? (exakt, Rechnung mit einem Computer)
Aufgabe V6.3
Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem n, d.h. n ≥ 100, und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit p (p ≤ 0, 1). Zeigen Sie, dass man mithilfe der Poisson-Verteilung näherungsweise die
Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnen kann:
a) P (X = 0) ≈ e−µ ,
b) P (X = k) ≈ µk P (X = k − 1) ≈
µk −µ
.
k! e
Aufgabe V6.4
Drei faire Würfel werden geworfen. Bezeichne X die Zufallsvariable, die jedem Wurf
die Augensumme zuordnet. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Vergleichen Sie die
Verteilung mit der Normalverteilung.
Aufgabe V6.5
Man würfelt so lange, bis jede der Zahlen 1, . . . , 6 mindestens einmal vorgekommen
ist. Wie groß ist der Erwartungswert der Zahl der benötigten Würfe?