¨Ubung zur Vorlesung Statistik I für Biowissenschaften WS 2015

Übung zur Vorlesung Statistik I für
Biowissenschaften
WS 2015-2016
Übungsblatt 8
7. Dezember 2015
Aufgabe 23 (4 Punkte): Sei
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
der Wahrscheinlichkeitsraum (Laplaceraum), der das Zufallsexperiment des
Würfelns mit einem fairen Würfel beschreibt.
A
Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Augenzahl.
B
Sei
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
der Wahrscheinlichkeitsraum (Laplaceraum), der das Zufallsexperiment
des zweimaligen Würfelns mit einem fairen Würfel beschreibt. Berechnen
Sie den Erwartungswert der Summe und des Produkts der Augenzahlen
beider Würfe.
Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe A und die Unabhängigkeit von erstem und zweitem Wurf.
C
Berechnen Sie die Varianz der Summe beider Augenzahlen.
Hinweis: Benutzen Sie wieder die Unabhängigkeit der beiden Würfe.
D
Berechnen Sie die Varianz des Produkts der beiden Augenzahlen.
Hinweis: Implementieren Sie die Definitionsformel der Varianz für diesen
speziellen Fall in einem R Programm.
Aufgabe 24 (4 Punkte): Berechnen Sie den Erwartungswert der geometrischen Verteilung.
Hinweis: Benutzen Sie die Formeln
∞
X
1
=
qk
1−q
k=0
− 1 < q < 1 (geometrische Reihe),
und
1
=
(1 − q)2
1
1−q
0
=
∞
X
kq k−1
−1<q <1
k=1
Aufgabe 25 (4 Punkte):
A
Sei X eine Zufallsvariable, für die Erwartungswert und Varianz existieren.
Zeigen Sie, dass die zugehörige standardisierte Zufallsvariable
X − E(X)
Z= p
Var(X)
Erwartungswert 0 und Varianz 1 hat.
B
X sei die Körpergröße eines zufällig ausgewählten Mannes in Meter (m).
In welchen physikalischen Einheiten werden E(X), Var(X) und Z gemessen?
Aufgabe 26 (4 Punkte) Seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen, die
alle den gleichen Erwartungswert µ und die gleiche Varianz σ 2 haben. Berechnen Sie
A
Erwartungswert und
B
Varianz
des arithmetischen Mittels
M=
1
(X1 + · · · + Xn ).
n
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[email protected] (Ivo Soares Parchao)
[email protected] (Ben Hillmer)