∑ ∑ ∑ ∑ - Studentenportal

Statistik
quantitativ
[ ist eine Zahl ]
diskret
kontinuierlich / stetig
[ nur Einzelwerte ]
[ Intervall / genau ]
qualitativ
[ist keine Zahl ]
ordinal
[ geordnet ]
Spanne
X max − X min
Mittlere Abweichung
1 n
∑ xi − x
n i=1
1 n
t 2 = ∑ xi − x
n i =1
Mittlere quadratische Abweichung oder Varianz
Standardabweichung der Stichprobe
Empirische Varianz
Empirische Standardabweichung
Varianz
(
)
(
)
2
t=
1 n
∑ xi − x
n i=1
s2 =
1 n
∑ xi − x
n − 1 i =1
s=
1 n
∑ xi − x
n − 1 i =1
2
(
)
(
)
2
2
t 2 = x 2 − ( x) 2
Anordnung
⎛ n ⎞ n = Anzahl Elemente
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ k ⎠ k = Anzahl Plätze
nominal
[ nicht geordnet ]
Binominalkoeffizient
⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k!(n − k )!
⎛ n + 1⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
k
1
k
k
1
+
+
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
k
n
−
k
⎝ ⎠ ⎝
⎠
Wahrscheinlichkeit
Anordnungsproblem
Additionssatz
n!
M ∪ N = M + N -> unvereinbar
Multiplikationssatz
M ×N = M ⋅ N
Abhängigkeiten
P ( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) -> unabhängig
P( E ∩ F )
P( E | F ) =
P( F )
P( A ∩ B) = P( A | B) ⋅ P( B) =P( B | A) ⋅ P( A)
P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
P ( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
P( A) P( B | A)
P( A | B) =
P( B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
Spezialfall - unvereinbar
Spezialfall - unabhängig
Formel von Bayes
Totale Wahrscheinlichkeit
n
P( B) = ∑ P( B | Ai ) P( Ai )
i =1
Ergebnis
Ereignis
Ergebnisraum
Alle Ereignisse
Sicheres Ereignis
unmögliches Ereignis
Elementar Ereignis
Anzahl Ereignisse
Raoul Harlacher
Resulate eines Versuches
Menge von Ergebnissen
{ {a} , {b} , {b,c} }
{a} , {b} , {a,b} , ⊗
{ a,b }
⊗
{a} , {b}
2 n => ⊗ , {a}, {b}, { a,b }
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Diskret
Kontinuierlich
Erwartungswert
∑ f (x ) ⋅ x
i
∞
∫ x ⋅ f ( x) ⋅ dx
i
i
−∞
Varianz
σ = ∑ ( xi − μ ) ⋅ f ( xi )
2
∞
2
σ 2 = ∫ ( xi − μ ) 2 ⋅ f ( xi ) ⋅ dx
i
−∞
Varianz (Var)
Var ( x) = E ( x 2 ) − E ( x ) 2
Massefunktion (h) → unabhängige Zufallsvariab.
h( z ) = ∑ f ( x ) ⋅ g ( z − x )
x
f und g= Wahrscheinlichkeitsmassefunktionen
Allgemeines
μ ( x+ y ) = μ x + μ y
Verteilungsfunktion (H)
∞
H ( z) =
∫ F ( x) ⋅ G( z − x)dx
−∞
F und G = Verteilungsfunktionen
Dichtefunktion (h)
∞
H (z) =
σ ( x+ y ) = σ x 2 + σ y 2
∫ f ( x ) ⋅ ( z − x ) dx
−∞
E (c ⋅ X ) = c ⋅ E ( X )
f und g = Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen
Var (c ⋅ X ) = c 2 ⋅ Var ( X )
Hypergeometrische Verteilung
⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞
⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
⎟
x ⎠⎝ n − x ⎟⎠
⎝
f ( x) =
⎛N⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
M = Anzahl Elemente mit dem Merkmal
N = Umfang der Grundgesamtheit
n = Umfang der Stichprobe
x = Zielmenge
⎛n⎞
bn, p (k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n− k
⎝k ⎠
k = Ereignis tritt genau k Anzahl ein
n = Anzahl Versuche
p = Grundwahrscheinlichkeit
X Sei eine binomialverteilte Zufallsvariable bei n Versuchen
mit der Einzelwahrscheinlichkeit p. Dann ist E ( x) = n ⋅ p
Binomialverteilung
falls
n/N ≤ 0.05 /\ n ≥30
Var = n ⋅ p (1 − p)
Poisson-Verteilung (nur Erwartungswert gegeben)
falls
p < 0.1 /\ n ≥ 30
pμ : x →
μx
x!
μ = Erwartungswert
x = diskrete Zufallsvariable
Sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable mit
Erwartungswert. Dann ist E ( x) = Var ( x) = μ
⋅ e −μ
Gausssche Normalverteilung
falls
0.1 < p < 0.9 < /\ n ≥ 30
oder p beliebig und n ≥ 50
Raoul Harlacher
f :x→
e
1 ⎛ x−μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
σ ⋅ 2π
μ = Erwartungswert
σ = Empirische Varianz (ohne exp2)
σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
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