TU München, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik So 2013 Prof. Dr. Silke Rolles Dr. Christian Döbler Blatt 7 Stochastik für Lehramt an Beruflichen Schulen [MA9943] Ausgabe: 27. Mai 2013 Abgabe: 03. Juni 2013 in der Vorlesung Tutoraufgabe 1. Ein mit den Zahlen 1 bis 4 beschrifteter Tetraeder sei so gezinkt, dass für die geworfene Zahl X gelte, dass %(k) := P (X = k) = β · k, k = 1, 2, 3, 4, wobei β > 0 eine Konstante ist. Bestimmen Sie den Wert von β sowie den Erwartungswert und die Varianz von X. Tutoraufgabe 2. Sei p ∈ (0, 1) und X ∼ geometrisch(p). Zeigen Sie, dass die Verteilung von X gedächtnislos ist, in dem Sinne, dass für alle k ∈ N0 und j ∈ N gilt: P (X ≥ k + j|X ≥ k + 1) = P (X ≥ j) Was bedeutet dies, wenn wir mit X die Lebensdauer (zu vollen Tagen aufgerundet) einer Glühbirne modellieren? Hausaufgabe 1. (5 Punkte) Sei X exponential-verteilt zum Parameter α ∈ (0, ∞), das heißt X hat die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = αe−αx 1(0,∞) (x). Zeigen Sie, dass die Verteilung von X gedächtnislos ist, in dem Sinne, dass für alle s, t ≥ 0 gilt, dass P (X > t + s|X > t) = P (X > s) . Eignet sich die Exponentialverteilung zur Modellierung der Lebensdauer eines Menschen? Begründen Sie Ihre Antwort. Hausaufgabe 2. (5 Punkte) Ein mit den Zahlen 1 bis 4 beschrifteter, unverfälschter Tetraeder werde zweimal geworfen. Mit X bezeichnen wir das Minimum der beiden geworfenen Zahlen. Bestimmen Sie die Zähldichte % sowie den Erwartungswert und die Varianz von X. Berechnen Sie ferner P (X ≤ 2). 1 Hausaufgabe 3. (5 Punkte) Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei durch eine zum Parameter α ∈ (0, ∞) Poisson-verteilte Zufallsvariable N gegeben. Aus jedem der Eier schlüpfe, unabhängig von den anderen Eiern, mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) eine Larve. Bestimmen Sie die Zähldichte % sowie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X, die die Anzahl der geschlüpften Larven angibt. Hinweis: Verwenden Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (Satz 2.8) für die Partition Bi := {N = i}, i ∈ N, um für festes k ∈ N0 die Wahrscheinlichkeit P (X = k) zu berechnen. Wieso kennen wir für festes n ∈ N0 die Wahrscheinlichkeiten P (X = k|N = n) = P (X = k|Bn ), k = 0, 1, . . . , n? Hausaufgabe 4. (5 Punkte) Betrachten Sie noch einmal das Rencontre-Problem aus Ergänzungsaufgabe 3, Blatt 3. Es bezeichne X die Anzahl der Frauen, die mit ihrem eigentlichen Partner tanzen. Bestimmen Sie E[X] auf folgende Weise: Definieren Sie für j = 1, . . . , n die Zufallsvariablen ( 1 wenn die j-te Frau mit ihrem eigentlichen Partner tanzt Xj := 0 sonst und verwenden Sie dann die Darstellung X = X1 + X2 + . . . + Xn sowie die Linearität des Erwartungswertes. Bemerkung: Die direkte Berechnung dieses Erwartungswerts über die Zähldichte von X, die in Ergänzungsaufgabe 3 berechnet wurde, ist wesentlich aufwendiger und schwieriger. Ergänzungsaufgabe 11. (a) Seien p ∈ (0, 1) und n ∈ N. Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz einer Binomial(n, p)-verteilten Zufallsvariablen X. Hinweis: Für die Berechnung des Erwartungswerts sind evtl. die Formel k nk = n n−1 sowie der Binomische Lehrsatz hilfreich. Bei der Berechnung k−1 der Varianz kann man die Formel Var(X) = E[X(X − 1)] + E[X] − (E[X])2 und einen ähnlichen Trick wie beim Erwartungswert verwenden. (b) Fußballtorwart Manuel hält im Schnitt 20% aller gegen ihn geschossenen Elfmeter. In einem Finalspiel kommt es zum Elfmeterschießen zwischen seiner und der gegnerischen Mannschaft. Dabei treten 5 gegnerische Schützen gegen Manuel an. Es bezeichne X die Anzahl der von ihm gehaltenen Elfmeter in diesem Elfmeterschießen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält Manuel mehr als 3 der 5 geschossenen Elfmeter? 2 Ergänzungsaufgabe 12. Für eine (diskrete oder stetige) Zufallsvariable X mit Werten in R definiert man ihre Verteilungsfunktion FX : R → [0, 1] durch FX (t) := P (X ≤ t). Es sei X eine zum Parameter α ∈ (0, ∞) exponential-verteilte Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = αe−αx 1(0,∞) (x). (a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX von X. (b) Die Lebensdauer (in Tagen) einer Raumstation sei gegeben durch eine zum Parameter 1 exponential-verteilte Zufallsvariable X. Angenommen, der Anschaffungspreis (in Euro) der Raumstation betrage K. Dann gibt die Zufallsdie Kosten für die Raumstation pro Tag an. Da diese eine variable Y := K X astronomische Größenordnung haben, betrachten wir sie in logarithmierter Form, also die Zufallsvariable Z := log(Y ), wobei log den natürlichen Logarithmus bezeichne. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FZ und eine Dichte der Zufallsvariablen Z. Hinweis: Beachten Sie, dass Z = log(K) − log(X) gilt und formen sie Z ≤ t äquivalent um, so dass auf der linken Seite nur noch die Zufallsvariable X steht. Verwenden Sie dann das Ergebnis von (a). 3