Statistik III - Schätzen und Testen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Dr. Th. Ziebach
B.Sc. L. Holtmann
B.Sc. R. Löser
B.Sc. S. Neumärker
Wintersemester 2013/14
06.01.2013
Blatt 11
Übungen zur Vorlesung
Statistik III - Schätzen und Testen
Aufgabe 33
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilung P Xi = R[0, θ] und
θ > 0, i = 1, . . . , n. Analog zu Aufgabe 12 kann man zeigen, dass der ML-Schätzer für θ durch
Tn = max{X1 , . . . , Xn } gegeben ist.
(a) Bestimmen Sie die Verteilung des Pivots Tn /θ.
(b) Nutzen Sie das Pivot aus (a), um ein (symmetrisches) Konfidenzintervall für θ, zum Niveau
1 − α zu bestimmen.
(c) Für n = 20 wurde max{x1 , . . . , x20 } = 13.3 beobachtet. Berechnen Sie für diese Situation das
Konfidenzintervall aus (b) zum Niveau 0.95.
Aufgabe 34
Betrachten Sie erneut Aufgabe 10 (Übungsblatt 4).
Sei pt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwein erkrankt, welches zuvor mit Impfstoff It geimpft
wurde, t = 1, 2, 3. Bestimmen Sie für jedes pt ein zweiseitiges asymptotisches Konfidenzintervall
zum Niveau 1 − α = 0.95. Wie beurteilen Sie nun die Wirksamkeit der Impfstoffe?
Aufgabe 35
Die Sektkellerei Prickel & Co.Kg füllt ihr Erzeugnis mit Hilfe eines Mechanismus in Flaschen,
der einer Vielzahl kleiner, zufälliger Einflüsse ausgesetzt ist. Nehmen Sie daher an, die Sektmenge
pro Flasche Xi sei für alle abgefüllten bzw. abzufüllenden Flaschen identisch normalverteilt und
X1 , ..., Xn seien stochastisch unabhängig. Zur Überprüfung der Anlage zieht man eine Stichprobe
von vier gefüllten Flaschen und misst deren Sektinhalt in Litern: 0.752; 0.744; 0.756; 0.750
(a) Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Abfüllmenge pro Flasche, wenn sicher wäre, dass deren Standardabweichung 0.005 l beträgt.
(b) Berechnen Sie das Konfidenzintervall aus (a) erneut, wenn auch die Standardabweichung
unbekannt ist. Vergleichen Sie die beiden Konfidenzintervalle und erklären Sie mögliche Unterschiede.
(c) Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung der Abfüllmenge pro
Flasche.
Aufgabe 36
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen und Xi , i = 1, . . . , n habe die
Dichte
fp (x) =
2(p − x)
· 1[0,p] (x),
p2
p > 0.
(a) Zeigen Sie, dass p̃ = 3X n ein Momentenschätzer für p ist.
(b) Entwickeln Sie aus p̃ mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes ein asymptotisches Pivot für p.
Hinweis: Nutzen Sie E(X12 ) = p2 /6.
(c) Leiten Sie aus (b) ein einseitiges asymptotisches Konfidenzintervall für p zum Niveau 1 − α
her, welches die Form [0, B] hat. Bestimmen Sie dazu B passend.
Abgabe: Bis Montag, 13.01.2014, 10 Uhr, in dem zur Übung gehörenden Briefkasten im MatheFoyer: (Mi. 10.15 Uhr, Briefkasten 136), (Fr. 8.30 Uhr, Briefkasten 137), (Fr. 12.15 Uhr, Briefkasten
138)
Homepage zur Vorlesung: http://www.statistik.tu-dortmund.de/iwus-lehre.html