Grundlagen der Stochastik

Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Grundlagen der Stochastik
Blatt 11
Aufgabe 1:( 4 + 4 Punkte)
a) Seien X1 , X2 und X3 unabhängige, uniform auf [0, 1] verteilte Zufallsvariablen. Berechnen
Sie die Dichte von X1 + X2 + X3 .
b) Sei Y1 und Y2 zwei unabhängige geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter p1 ∈
(0, 1) und p2 ∈ (0, 1) mit p1 6= p2 , i.e. P[Yi = k] = pi (1 − pi )k für k ∈ N0 und i ∈ {1, 2}.
Zeigen Sie:
p1 p2
(1 − p2 )k+1 − (1 − p1 )k+1 .
P[Y1 + Y2 = k] =
p1 − p2
Hinweis: Lösen Sie b) mithilfe der Erzeugendenfunktionen von Y1 und Y2 .
Aufgabe 2:( 2 + 2 Punkte)
a) Sei (Un )n∈N eine unendliche Folge von Urnen, wobei sich in der Urne Un genau n − 1
weiße und eine schwarze Kugel befindet. Nun ziehen wir aus jeder Urne blind genau eine
Kugel, wobei die Ziehungen unabhängig von einander sind und jede Kugeln einer Urne mit
derselben Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Wir definieren folgende Ereignisse:
• A := Unendlich oft wird eine schwarze Kugel gezogen.“
”
• B := Unendlich oft sind zwei aufeinander folgende Kugeln schwarz.“
”
Bestimmen Sie P[A] und P[B].
b) Wie betrachten nun die Wahrscheinlichkeitsraum (R, B(R), U ), wobei U die Gleichverteilung auf [0, 1] ist. Sei An := [0, n1 ). Zeigen Sie mithilfe der Ereignisse A1 , A2 , ...,, dass die
zweite Aussage von Borel-Cantelli im Allgemeinen nicht richtig ist, wenn die Ereignisse
nicht unabhängig sind.
Aufgabe 3:( 6 Punkte)
Für eine nichtnegative Zufallsvariable X auf (Ω, A, P) mit Verteilung Q := L(X|P) heißt
[0, ∞) 3 λ 7→ ϕX (λ) = EP [e−λX ]
Laplace-Transformation von X (bzw. von Q). Die Laplace-Transformation bestimmt die Verteilung Q eindeutig, i.e. sei Y eine weitere nichtnegative Zufallsvariable mit Verteilung Q̃ = L(X|P),
dann gilt:
ϕX (λ) = ϕY (λ) , ∀λ ∈ [0, ∞) ⇔ Q = Q̃.
a) Seien X und Y zwei unabhängig, nichtnegative Zufallsvariablen. Zeigen Sie
ϕX+Y (λ) = ϕX (λ)ϕY (λ) ∀λ ∈ [0, ∞).
b) Sei X ∼ Γ(a, p). Zeigen Sie, ϕX (λ) =
p
p+λ
a
= 1+
λ −a
.
p
c) Seien X ∼ Γ(a, p) und Y ∼ Γ(b, p) unabhängig. Zeigen Sie X + Y ∼ Γ(a + b, p).
Bitte wenden!
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d) Sei X ∼ P oi(a), a > 0. Zeigen Sie, ϕX (λ) = ea(e
−λ
−1)
.
e) Zeigen Sie P oi(a) ∗ P oi(b) = P oi(a + b).
f) Sei Y = aX + b. Zeigen Sie ϕY (λ) = e−λb ϕX (aλ).
Aufgabe 4:( 2 Punkte)
Sei Z eine Zufallsvariable mit Werten in N0 und sei X1 , X2 , ... eine Folge von i.i.d. Zufallsvariablen
ebenso mit Werten in N0 . Die Folge X1 , X2 , ... und Z seien unabhängig zueinander. Ferner sei
S :=
Z
X
Xi .
i=0
Zeigen Sie, fS (r) = fZ (fX (r)) für r ∈ [0, 1], wobei fS , fZ und fX die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen von S, Z und X1 sind.
Abgabe: Freitag, 22.01.16, 10 Uhr
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