Blatt 5 Wahrscheinlichkeitstheorie WS 2009/10

Blatt 5
Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2009/10
Aufgabe 23 (Präsenzaufgabe). Gegeben sind die Konstanten a, b ∈ R sowie die reelle
Funktion F mit
a
b ex −e−x
+ 16
für x ∈ (−∞, 0))

4
ex +e−x


a + bx
für x ∈ [0, 12 )
F (x) := 2b 4

für x ∈ [ 12 , 1)

2


2a + πb arctan(x) für x ∈ [1, ∞)
a) Bestimmen Sie a und b so, dass F eine Verteilungsfunktion darstellt und skizzieren Sie
diese.
b) Stellen Sie — mit der Wahl von a und b aus a) — F als Linearkombination aus einer diskreten Verteilungsfunktion (reine Treppenfunktion) und einer stetigen Verteilungsfunktion
dar.
Aufgabe 24 (Votieraufgabe).
a) Gegeben ist die reelle Zufallsvariable X sowie die Funktion f : R → R mit
(
c für x ∈ [0, 1]
f (x) :=
(c ∈ R).
0 sonst
Bestimmen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes E (f (X)) und V ar (f (X)) in Abhängigkeit von c und p := P [0 ≤ X ≤ 1]. Welche Aussage über die Verteilungsfunktion
von f (X) kann man im Fall c = 1 trteffen?
b) Es sei Y eine Bin(n, p)-verteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie E (Y (Y − 1)(Y − 2)).
Aufgabe 25 (Votieraufgabe). Für die Folge (Xn )n∈N reeller Zufallsvariablen auf dem WRaum (Ω, A, P ) zeige man P [limn→∞ Xn = 0] = 1.
a) unter der Voraussetzung
∀
n∈N
1
1
P |Xn | ≥
≤ 2
n
n
b) unter der Voraussetzung
∀
∀
δ>0 n∈N
1
P |Xn | ≥ δ ≤ 2 .
δn
Aufgabe 26 (Votieraufgabe). Sei u ∈ R ein fest gewählter Parameter. Die Dichtefunktion
einer stetig-verteilten reellen Zufallsvariablen Xu sei
fu (x) = 1[x∈[0,u]] cx2
(x ∈ R)
Hierbei nimmt die Indikatorfunktion 1A den Wert 1 an, falls der logische Ausdruck A wahr ist,
sonst den Wert 0.
a) Bestimmen Sie die Konstante c, welche von dem Parameter u abhängt.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Xu .
c) Skizzieren Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion von Xu .
d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Xu .
e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt Xu Werte größer als
2
u an?
3
1
f) Umkehrung zur vorigen Teilaufgabe: Angenommen P (Xu > k) = . Berechnen Sie k.
4
Aufgabe 27 (Die schriftliche Lösung zu dieser Aufgabe ist in den Übungen am
23/24.11.2009 abzugeben). Es sei B ein fester Punkt auf der Einheitskreislinie. Ein Punkt
A wird rein zufällig mit Gleichverteilung auf der Einheitskreislinie ausgewählt, d.h. die reelle
Zufallsvariable X, die den Arcus-Wert von A angibt, ist auf [0, 2π) gleichverteilt: bei Restriktion
auf die σ-Algebra der Borelschen Mengen in [0, 2π) unterscheidet sich PX vom Lebesgue-BorelMaß um den Faktor 1/(2π). Zu ermitteln ist unter Verwendung eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsraumes die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen, die den euklidischen Abstand der
Punkte A und B angibt.
Aufgabe 28 (Programmieraufgabe). Die empirische Verteilungsfunktion Fbn : R → [0, 1] zu
einer Realisierung {x1 , . . . , xn } von Zufallsvariablen {X1 , . . . , Xn } ist gegeben durch
n
1X
Fbn (t) =
1[x ≤t]
n i=1 i
(relative Häufigkeit derjenigen i ∈ {1, . . . , n} mit xi ≤ t). Schreiben Sie eine R-Funktion edf,
welche zu einer gegebenen Stichprobe x = {x1 , . . . , xn } den Graph der empirischen Verteilungsfunktion Fbn ausgibt.
Hinweis: Verwenden Sie die Funktion plot mit dem Parameter type="s".
Vorlesung und Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Übungen: P.. Schnizler, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-6 0711-685-65382, e-mail [email protected]
2