J. W. GOETHE UNIVERSIT ¨AT WS 2016

J. W. GOETHE UNIVERSITÄT
N. KISTLER
WS 2016-17
BLATT 1
EXTREMWERTTHEORIE
Aufgabe 1.
[2+2 Pkte.]
Seien X1 , X2 , . . . u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F . Es sei wie in der Vorlesung
Mn = max{X1 , . . . , Xn } und mn = min{X1 , . . . , Xn }.
a) Bestimmen Sie die Verteilung von mn .
b) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilungskfuntion von mn und Mn , also die Wahrscheinlichkeit P (mn ≤ x, Mn ≤ y) für x, y ∈ R.
Aufgabe 2.
[9 Pkte.]
Zeigen Sie: jede der drei Extremwertverteilungen Gumbel, Frechet, oder Weibull liegen in ihrem
Max-Anziehungsbereich. Hinweis: Es seien X1 , X2 , . . . u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F , wobei F entweder Gumbel, Frechet oder Weibull. Zeigen Sie dass es Folgen (an )n
und (bn )n gibt, sodass die Verteilungsfunktion von a−1
n (Mn − bn ) ebenfalls gleich F ist.
Aufgabe 3.
[3 Pkte.]
Zwei Verteilungen F und G heissen ”vom selben Typ” falls es ein c > 0 und d ∈ R gibt, sodass
G(t) = F ((t − d)/c) für alle t ∈ R. Zeigen Sie, dass dies eine Aequivalenzrelation ist.
Aufgabe 4.
[4 Pkte.]
Es seien N, X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen. Die Z.V. N sei Poisson-verteilt mit
Parameter λ > 0 und die X 0 s seien expo(1). Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von
def
MN = max{X1 , . . . , XN }.