Roter und schwarzer Würfel

Roter und schwarzer Würfel
Ein roter und ein schwarzer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion der folgenden
Zufallsvariablen und stellen Sie die Funktionen grafisch dar:
Y = Differenz der Augenzahl des roten minus der des schwarzen Würfels
Z = Maximum, d.h. die jeweils größere Augenzahl der beiden Würfel. (Bei gleichen
Zahlen ist das Maximum gleich dieser Zahl.)
Lösung
Sei R die Zufallsvariable, die das Wurfergebnis des roten Würfels liefert und S
diejenige des schwarzen Würfels. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von
R und S ist in der folgenden Tabelle angegeben:
Roter
Würfel 1
1
1/36
2
1/36
3
1/36
4
1/36
5
1/36
6
1/36
2
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
Schwarzer Würfel
3
4
5
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
6
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
Zunächst sind die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion der
Zufallsvariablen Y = R − S zu bestimmen. Dazu beachten wir, dass Y auf den
Diagonalen immer den gleichen Wert hat. So ist auf der Hauptdiagonalen der Tabelle
Y stets null. Auszählen der möglichen Fälle ergibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion
von Y :
y
f ( y)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
sonst
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
0
Mit F ( y ) =
∑
yi ≤ y
f ( yi ) ergibt sich die dazugehörige Verteilungsfunktion F ( y ) :
y
F ( y)
y < -5
-5 ≤ y < -4
-4 ≤ y < -3
-3 ≤ y < -2
-2 ≤ y < -1
-1 ≤ y < 0
0≤y<1
1≤y<2
2≤y<3
3≤y<4
4≤y<5
y≥5
0
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
Für die Bestimmung der Verteilung von Z = max{R, S } benutzen wir wieder die
Tabelle mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion von R und S . Durch
Auszählen erhalten wir:
z
f ( z)
1
2
3
4
5
6
sonst
1/36
3/36
5/36
7/36
9/36
11/36
0
Mit F ( z ) =
∑ f ( zi )
zi ≤ z
z
z<1
1≤z<2
2≤z<3
3≤z<4
4≤z<5
5≤z<6
z≥6
F ( z)
0
1/36
4/36
9/36
16/36
25/36
1
ergibt sich die dazugehörige Verteilungsfunktion F ( z ) :
Im Einzelnen sollen folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden:
Die Wahrscheinlichkeit, dass
i) Z den Wert 1 annimmt;
ii) Z größer als 4 ist;
iii) Y negativ ist;
iv) Y mindestens 1 ist;
v) Y einen Wert zwischen -2 und 2 annimmt (Grenzen eingeschlossen).
Diese Wahrscheinlichkeiten sind leicht an den Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktionen der verschiedenen Zufallsvariablen abzulesen. Zur
Schreibvereinfachung bezeichnen hierbei fY ( y ) und FY ( y ) die Wahrscheinlichkeitsund Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y und f Z ( z ), FZ ( z ) die der
Zufallsvariablen Z .
i)
ii)
iii)
iv)
v)
1
1
P ( Z = 1) = f Z (1) =
36
36
5 
4 
P ( Z > 4) = f Z (5) + f Z (6) =
 = 1- FZ (4) = 1- 
9 
9 
15
P (Y < 0) = FY (-1) =
36
15
P (Y ≥ 1) = 1- FY (0) =
36
30
6
24
P (-2 ≤ Y ≤ 2) = FY (2) - FY (-3) =
=
36
36
36
P ( Z = 1) = f Z (1) =