Blatt 6 - Institut für Mathematische Stochastik

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Dipl.-Math. Martin Radloff
INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK
Wintersemester 2014/15
19. November 2014, 17:10
Übungen zur Vorlesung
„Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“
Blatt 6† — Lehramt
Abgabe am Freitag, den 28.11.2014, zur Übung oder bis 10:45 Uhr G18-405
Besprechung am Donnerstag, den 04.12.2014
Aufgabe 27 (4 Punkte)
Seien X1 , ..., Xn stochastisch unabhängige, identisch verteilte reelle Zufallsvariablen jeweils
mit Verteilungsfunktion F .
a) Leiten Sie die Verteilungsfunktionen des Minimums X(1) := min{X1 , ..., Xn } sowie
des Maximums X(n) := max{X1 , ..., Xn } her.
b) Seien die Zufallsvariablen exponential-λ-verteilt. Zeigen Sie, dass X(1) wiederum
exponentialverteilt ist.
Aufgabe 28 (keine Abgabe)
Sei X eine stetig verteilte reelle Zufallsvariable, d.h., die Verteilung von X soll eine stetige
Verteilungsfunktion besitzen, und es sei X ≥ 0. Es gelte P (X > t) > 0 für alle t ≥ 0. Sei
zudem die Verteilung von X gedächtnisslos, d.h.
P (X > t + s | X > s) = P (X > t)
für alle s, t ≥ 0.
Zeigen Sie: Dann ist X exponentialverteilt.
Hinweis: Zeigen Sie, dass P (X > s) = P (X > 1)s für alle natürlichen, für alle rationalen
und schließlich für alle reellen Zahlen s > 0 gilt.
Aufgabe 29 (4 Punkte)
An einer Universität gibt es nur zwei Studiengänge. Wir betrachten die Menge aller Studienbewerbungen nach Abschluss des Zulassungsverfahrens. Interessant sind folgende Ereignisse (Teilmengen):
W : weibliche Bewerbungen,
Z: erfolgreiche Bewerbungen (Zulassungen),
M : männliche Bewerbungen,
Si : Bewerbungen für Studiengang i (i = 1, 2).
Eine gleichzeitige Bewerbung für beide Studiengänge ist nicht möglich.
Nun ist bekannt: Für Studiengang 1 bewerben sich 90% der männlichen Bewerber, aber
nur 20% der Bewerberinnen. Die Zulassungsquote für Studiengang 1 beträgt bei den Frauen 90% und bei den Männern 80%. Studiengang 2 weist eine Zulassungsquote von 30%
bei den Frauen und 20% bei den Männern auf.
Bestimmen Sie die Zulassungsquoten für Frauen bzw. Männer ohne Berücksichtigung des
Studienganges. Was fällt Ihnen bei dem Ergebnis auf?
†
http://www.imst3.ovgu.de/-p-190
1
Aufgabe 30 (4 Punkte)
a) Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Wertebereich N ∪ {0}. Zeigen Sie
∞
X
E(X) =
P (X ≥ k).
k=1
b) Sei nun X geometrisch verteilt mit Parameter p. Bestimmen Sie E(X).
Aufgabe 31 (5 Punkte)
Sei X (Standard)-Cauchy-verteilt, d.h. die Verteilung von X besitze die LebesgueDichte
1
1
f (x) = ·
, x ∈ R.
π 1 + x2
a) Geben Sie die Verteilung von X1 an.
Hinweis: Finden Sie die Verteilungsfunktion von X1 . Was ist bei X(ω) = 0?
b) Zeigen Sie, dass E(X) nicht existiert, d.h. dass X nicht quasi-P-integrierbar ist.
Aufgabe 32 (keine Abgabe)
n
S
T
Seien A1 , . . . , An ⊆ Ω, A :=
Ai und CI :=
Ai für alle ∅ =
6 I ⊆ {1, . . . , n}. Zeigen Sie
i=1
i∈I
die Identität:
1A =
n
X
(−1)k+1
k=1
X
1C I
I⊆{1,...,n}
|I|=k
Beweisen Sie damit die Siebformel von Poincaré und Sylvester:
!
!
n
n
[
X
X
\
P
Ai =
(−1)k+1
P
Ai .
i=1
k=1
I⊆{1,...,n}
|I|=k
2
i∈I