Blatt 4 - Mathematische Physik

TUM, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
WS 2013/14
Prof. Dr. Silke Rolles
Thomas Höfelsauer
Felizitas Weidner
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Übungsblatt 4
Tutoraufgaben:
Aufgabe T4.1
Für den Grundraum Ω = {0, 1}n aller Bitfolgen der Länge n möchte man entscheiden,
ob eine konkrete Bitfolge (ω1 , . . . , ωn ) zufällig zustandegekommen ist, indem man die
Gruppen von aufeinanderfolgenden Nullen und Einsen (sogenannte Runs) betrachtet.
Als Kenngröße betrachten wir die Anzahl der Runs
R = |{k ∈ {2, . . . , n} : ωk−1 6= ωk }| + 1.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Bitfolge genau l ∈ {1, . . . , n}
Runs auftreten. Welche Verteilung versteckt sich hier?
Aufgabe T4.2
Aus einer Urne mit Kugeln der Aufschrift 1, . . . , N wird n mal gezogen und es sei X die
höchste gezogene Nummer. Definieren Sie X als Zufallsvariable auf einem geeigneten
Wahrscheinlichkeitsraum und bestimmen Sie ihre Verteilung, falls
(i) mit Zurücklegen
(ii) ohne Zurücklegen
gezogen wird.
Aufgabe T4.3* (Zusatzaufgabe)
Sei X eine reelle Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Zeigen
Sie, dass k, l ∈ R existieren, so dass P(X ≥ k) ≥ 21 sowie P(X ≤ l) ≥ 12 .
Hausaufgaben:
Aufgabe H4.1
(i) Seien (Ωi , Fi ) für i ∈ {1, 2, 3} Ereignisräume und seien X1 : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 )
und X2 : (Ω2 , F2 ) → (Ω3 , F3 ) Zufallsvariablen.
Zeigen Sie, dass X2 ◦ X1 : (Ω1 , F1 ) → (Ω3 , F3 ) eine Zufallsvariable ist.
(ii) Seien X, Y reelle Zufallsvariablen auf einem Ereignisraum (Ω, F). Zeigen Sie:
(a) (X, Y ) : (Ω, F) → (R2 , B(R2 )), ω 7→ (X(ω), Y (ω)) ist eine Zufallsvariable.
(b) X + Y , X · Y und min{X, Y } sind reelle Zufallsvariablen.
(c) Y (sin X)2 + (cos X)eX+Y ist eine reelle Zufallsvariable.
Hinweis: Sie dürfen folgende Aussage verwenden: Eine Abbildung (Ω, F) → (Rd , B(Rd ))
ist bereits dann eine Zufallsvariable, wenn X −1 (A) ∈ F für jede Menge A der Form
A = (−∞, a1 ] × . . . × (−∞, ad ] mit a1 , . . . , ad ∈ R gilt.
Aufgabe H4.2
Sei (pn )n∈N eine Folge in [0, 1] mit npn → α für eine Konstante α > 0. Weiter sei (Xn )n∈N
eine Folge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), wobei Xn
Binomial(n, pn )-verteilt ist.
Zeigen Sie, dass für jedes k ∈ N0 der Limes limn→∞ P(Xn = k) existiert und bestimmen
Sie diesen.
Aufgabe H4.3
Sei X eine reelle Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = c·(1+x)e−x 1[0,∞) (x),
x ∈ R, mit einer Konstante c ∈ R.
(i) Bestimmen Sie die Konstante c.
(ii) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F von X.
(iii) Skizzieren Sie die Dichte f und die Verteilungsfunktion F .
(iv) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X = 2), P(1 ≤ X ≤ 2) und P(X < 5).
Veranschaulichen Sie diese Wahrscheinlichkeiten in Ihrer Skizze der Dichte f .
Aufgabe H4.4
Das Bertrandsche Paradoxon: In einem Kreis mit Radius 1 werde rein zufällig eine Sehne
gezogen. Betrachten Sie dazu die Fälle:
(i) Der Sehnenmittelpunkt ist auf der Einheitskreisscheibe gleichverteilt.
(ii) Der Winkel, unter dem die Sehne vom Kreismittelpunkt erscheint, ist auf [0, π]
gleichverteilt.
(iii) Der Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt ist auf [0, 1] gleichverteilt.
Präzisieren Sie jeweils den zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist die Sehne länger als die Seiten des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?
Bezeichne weiter X den Abstand der zufälligen Sehne vom Kreismittelpunkt. Bestimmen
Sie in allen drei Fällen die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X.
b
Abgabe der Hausaufgaben: Am Freitag, den 13. Dezember 2013, bis 12 Uhr im
Briefkasten „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie“ im Untergeschoss des MIGebäudes