Stochastik - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Stochastik
Wintersemester 2010/2011
Übungsblatt 11
Abgabetermin: Donnerstag, 10.02.2011
Aufgabe 38(b) von Blatt 10 wird aus der Wertung genommen.
(1+1+1+2∗ =3+2∗ Punkte)
Aufgabe 40
Gegeben sei eine beliebige Zahl λ > 0 und zwei unabhängige ZV X, Y , die beide exponentialverteilt mit Parameter λ sind.
(a) Berechnen Sie P X ≤
1
λ
.
(b) Berechnen Sie die Dichtefunktion von X + Y mit der Formel (siehe Skript, Seite 50)
Z∞
fX (s) · fY (t − s)ds
f(X+Y ) (t) =
(t ∈ R)
−∞
Beachten Sie, dass der Integrand nur dann 6= 0 ist, wenn s ≥ 0 und t − s ≥ 0 gilt.
Skizzieren oder plotten Sie den Graphen dieser Funktion.
(c) Rechnen Sie nach, dass
R∞
f(X+Y ) (t)dt = 1 gilt.
−∞
(d)∗ Berechnen Sie den Erwartungswert von X + Y mit der Dichtefunktion. Kontrollieren
Sie anschließend das Ergebnis mit den Rechenregeln für den Erwartungswert.
Aufgabe 41
(1.5+1.5+1.5+1.5=6 Punkte)
Bestimmen Sie für die folgenden ZV Z die Erwartungswerte und die Standardabweichungen und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür dass Z näher als
(i) eine halbe Standardabweichung
(ii) eine Standardabweichung
(iii) drei Standardabweichungen
beim Erwartungswert liegt. Berechnen Sie jeweils auch die durch die Tschebyscheffsche
Ungleichung garantierte Unterschranke für diese Wahrscheinlichkeiten.
(a) Z ist die Größe aus Aufgabe 35(a)
(b) Z ist eine binomialverteilte Größe mit n = 20 und p = 0.4
(c) Z ist eine exponentialverteilte ZV.
(d) Z ist eine normalverteilte ZV
Anmerkung: Sie können die Teile (c) und (d) für beliebige Parameter (λ bzw. µ und σ) lösen
oder sich feste Werte dafür vorgeben.
(1+1+1+2∗ =3+2∗ Punkte)
Aufgabe 42
Ein Ereignis eines ZE A habe eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p. Zur Schätzung von p
wird das ZE n-mal (unabhängig voneinander unter gleichen Bedingungen) durchgeführt.
Die ZV H gibt nun an, wie oft A eingetreten ist. Außerdem betrachten wir R = n1 · H.
(a) Wie ist H verteilt? Geben Sie E(H) und σH an. Berechnen Sie damit E(R) und σR .
(b) Zeigen Sie für eine beliebige Zahl ε > 0 die Ungleichung:
1
4nε2
Wenden Sie dazu die Tschebyscheffsche Ungleichung auf die ZV R an und benutzen
Sie die Abschätzung p · (1 − p) ≤ 41 , die Sie leicht nachrechnen können.
P (|R − p| < ε) >
(c) Wie ist n zu wählen, damit (eine zufällige Realisation von) R und p sich (garantiert)
• mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% um weniger als 0.1 unterscheiden.
• mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% um weniger als 0.01 unterscheiden.
(d)∗ Approximieren Sie R durch eine normalverteilte Größe (mit gleichem Erwartungswert
und gleicher Standardabweichung) und folgern Sie daraus die Abschätzung
√
4n · ε − 1
P (|R − p| < ε) > 2 · Φ
Lösen Sie damit erneut Teil (d).
Aufgabe 43
(1.5+(1.5+1.5+1.5)=6 Punkte)
(a) Gegeben sei eine normalverteilte ZV Z mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten:
1
1
P Z ≤µ− σ
P µ− σ ≤Z ≤µ+σ
P (Z ≥ µ + σ)
3
3
(b) Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten approximativ mit der Normalverteilung:
• P (Z ≤ 100) und P (80 ≤ Z ≤ 90), wenn Z eine binomialverteilte Größe mit
n = 500 und p = 0.2 ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme beim 1000-maligen Werfen eines
Würfels zwischen 5900 und 6100 liegt.
• P (1 ≤ Z ≤ 3), wenn Z = Z1 + . . . + Z20 ist, wobei die ZV Zj unabhängig
voneinander sind und alle exponentialverteilt mit Parameter λ = 10 sind.
Aufgabe 44∗
(4∗ Punkte)
Seien Z1 , . . . , Zn unabhängige, identisch verteilte ZV mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ. Berechnen Sie den Erwartungswert der zufälligen Größe

2
n
n
1 X
1X 
S=
Zi −
Zj
n−1
n
i=1
j=1
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material