Zusatzübung zur Signalübertragung

Dr. Diana Fanghänel
1
Sommersemester 2015
8. Übung: Grundlagen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Besprechung am 25.06.2015 in der
Zusatzübung zur Signalübertragung
Grundlagen
Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum (S, A, P ), wobei S eine Menge
von Elementarereignissen ist, A eine Menge von Ereignissen A ⊆ S und P :
A → R>0 ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Desweiteren bezeichne A = S\A die
Komplementärmenge von A ∈ A. Dann gilt u.a.:
(a) P (A) = 1 − P (A)
(b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
1
Aufgabe 1. Von 2 Ereignissen seien die Wahrscheinlichkeiten P (A) = ,
2
2
1
P (B) = und P (A ∩ B) = bekannt.
5
5
Berechnen Sie P (A ∪ B) und P (A ∩ B).
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis B, wenn bekannt ist dass ein Ereignis
A eintritt, ist
P (A ∩ B)
PA (B) = P (B|A) =
.
P (A)
Man spricht von bedingter Wahrscheinlichkeit. Es gilt dann
P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) = P (B) · P (A|B).
Aufgabe 2. Aus einer Menge von Zahlen S = {1, 2, 3, . . . , 100} wird eine Zahl
mit einer Wahrscheinlichkeit P (z) = 1/100 ausgewählt. Wir betrachten nun die
folgenden Ereignisse:
A
B
C
...
...
...
die Zahl ist gerade,
die Zahl ist durch 3 teilbar,
die Zahl ist durch 4 teilbar.
Berechnen Sie alle bedingten Wahrscheinlichkeiten PA (B), PC (B) usw..
1 [email protected]
Seien A1 , . . . , AN disjunkte Mengen mit A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ AN = S. Dann ist
P (B)
= P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + . . . + P (AN ∩ B)
P (B)
= P (A1 )P (B|A1 ) + P (A2 )P (B|A2 ) + . . . + P (AN )P (B|AN ).
Aufgabe 3. Gegeben sei ein diskretes Signal, bei welchem Buchstaben a,b,c und
d mit den Wahrscheinlichkeiten
P (a) = 1/4,
P (b) = 1/3,
P (c) = 1/6,
P (d) = 1/4
übertragen werden sollen. Den Buchstaben werden bei der Quellencodierung
Bitsequenzen zugeordnet:
a → 10,
b → 110,
c → 100,
d → 111.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt die 1 in der binären Informationssequenz
auf ?
Normalverteilung
Die Dichtefunktion einer Normalverteilung in R hat die Form
1
p(x) = √
e
2πσ
−(x − µ)2
2σ 2
mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 . Für normalverteilte stetige Zufallsvariablen X und a < b gilt also
Z b
P (a ≤ X ≤ b) =
p(x)dx
a
und
Z
µ = E(X) =
xp(x) dx
bzw.
σ 2 = E((X − µ)2 ) =
R
Z
(x − µ)2 p(x) dx.
R
2
Sind µ = 0 und σ = 1, so spricht man von einer Standardnormalverteilung.
Für die Standardnormalverteilung können die Wahrscheinlichkeiten mit der QFunktion
Z ∞
2
1
Q(x) = √
e−t /2 dt
2π x
berechnet werden, für welche Tabellenwerte vorliegen.
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Q(x)
0.50000
0.46017
0.42074
0.38209
0.34458
0.30854
0.27425
0.24196
0.21186
0.18406
x
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Q(x)
0.15866
0.13567
0.11507
0.09680
0.08076
0.06681
0.05480
0.04457
0.03593
0.02872
x
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2
Q(x)
0.02275
0.01786
0.01390
0.01072
0.00820
0.00621
0.00466
0.00347
0.00256
0.00187
x
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Q(x)
0.00135
0.00097
0.00069
0.00048
0.00034
0.00023
0.00016
0.00011
0.00007
0.00005
Bei der Standardnormalverteilung gilt also P (X ≥ a) = Q(a) im Fall a ≥ 0. Im
Fall a < 0 ist wegen der Symmetrie P (X ≥ a) = 1 − Q(|a|).
Aufgabe 4. Ermitteln Sie für die Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeiten P (0 ≤ X ≤ 1), P (X ≤ 2) und P (−1 ≤ X ≤ 2).
Wenn eine einfache Normalverteilung vorliegt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 , so gilt für x > µ:
P (X ≥ x)
=
=
−t02
Z ∞ −(t − µ)2
Z ∞
1
1
t0 =(t−µ)/σ
2
√
√
e 2σ
e 2 dt0
dt
=
2πσ x
2πσ (x−µ)/σ
x−µ
Q(
).
σ
Aufgabe 5. Es sei eine Normalverteilung gegeben mit µ = −1 und σ 2 = 4.
Berechnen Sie P (0 ≤ X ≤ 1) und P (X ≤ 0).
Aufgabe 6. Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 0 und
σ 2 = 1. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable Y = aX + b mit a > 0 ebenfalls
normalverteilt ist. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz.
Zufallsvektoren
Werden mehrere Zufallsvariablen beobachtet, so fasst man diese in Zufallsvek→
−
toren X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) zusammen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der
Zufallsvektor in einem Gebiet Ω befindet, wird durch ein Mehrfachintegral berechnet:
Z
→
−
P ( X ∈ Ω) =
p(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .
Ω
Sind die Zufallsvariablen voneinander unabhängig, so gilt für die Dichtefunktion
p(x1 , . . . , xn ) = p1 (x1 ) · p2 (x2 ) · . . . · pn (xn ),
wobei pk (xk ) die Dichtefunktion der Zufallsvariablen xk bezeichne.
Im AWGN-Kanal sind die Rauschkomponenten unabhängig voneinander. Wenn
−
→
−
wir also Signal →
r =−
s→
m + n erhalten, dann ist die bedingte Dichtefunktion
−
p(→
r |−
s→
m ) = p1 (r1 |sm1 ) · . . . · pN (rN |smN ),
−(rk − smk )
1
→
−
−
→
2σ 2
e
die Dichtefunktionen von Normalverwobei pk ( r |sm ) = √
2πσ
teilungen sind. Durch Zusammenfassen erhält man
−
2
−k→
r −−
s→
mk
1
−
2σ 2
p(→
r |−
s→
e
.
m) = √
( 2πσ)n
p p
−
−
Aufgabe 7. Sei →
s = ( Eg , Eg ) ein Signal, welches für alle →
r ≥ 0 korrekt
detektiert wird. Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn σ 2 = N0 /2
Eg
und
= 2 gilt.
N0
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Literatur
1. J. Proakis, M. Salehi, Grundlagen der Kommunikationstechnik, Pearson
2003, Kapitel 4 und 7
2. L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band3,
Vieweg-Teubner, Teil II
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