KLAUSUR - Uni Regensburg/Physik

Universität Regensburg, Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. G. Bali, Dr. P. Bruns, S. Predin, Dr. W. Söldner
SS 2014
Theoretische Physik II (Quantenmechanik I)
KLAUSUR
• Zeit: 14.00 – 16.00 Uhr.
• Erlaubte Hilfsmittel: Stifte, unbeschriebene Blätter, 2 Blätter einer Größe bis zu DIN
A4 (auch doppelseitig), beschrieben mit eigenen Notizen.
• Fangen Sie für jede Aufgabe ein jeweils neues Blatt an, da die Klausur nach Aufgaben getrennt korrigiert wird.
• Schreiben Sie auf jedes Blatt, das Sie abgeben wollen, Ihren Namen und die jeweils
behandelte Aufgabe.
• Schreiben Sie zumindest auf das erste Blatt zusätzlich Ihre Matrikelnummer und
geben Sie, falls die FlexNow-Anmeldung nicht geklappt hat, Semester und Studiengang
an.
• Schreiben Sie bitte deutlich. Der Lösungsweg muss klar erkennbar sein.
• Beachten Sie, dass es insgesamt 7 Aufgaben gibt, die sich auf zwei Aufgabenblätter
verteilen.
• Nehmen Sie sich Zeit, alle Aufgaben durchzulesen, bevor Sie eine Entscheidung zur
Bearbeitungsreihenfolge treffen.
• Die jeweils erreichbaren Punkte (von 65+3) sind in eckigen Klammern angegeben.
• Dreivektoren r = ~r sind in den Aufgaben durch Fettschreibung gekennzeichnet.
1. Aufwärmfragen
[8]
a) Warum bezeichnet man die klassische Mechanik als deterministisch?
[1]
b) Was muss man von einem mechanischen System wissen, um dessen Zustand (im Prinzip)
für beliebige Zeiten berechnen zu können?
[2]
c) Was besagt die Heisenberg-Unschärferelation über Erwartungswerte zweier Operatoren
A und B? Was bedeutet dies für die gleichzeitige Messung eines Ortes r und Impulses
p? (Beachten Sie, dass r 6= r = |r| und p 6= p.)
[3]
d) Was folgt aus der Unschärferelation bei zeitlich sukzessiver Messung zuerst von r und
dann von p? Was kann in diesem Fall passieren?
[2]
1
2. Stromdichte
[7]
a) Was hat die Kontinuitätsgleichung
∂
ρ(r, t) + ∇ · j(r, t) = 0 ,
∂t
wobei
ρ(r, t) = |ψ(r, t)|2 ,
j(r, t) =
~
[ψ ∗ (r, t)∇ψ(r, t) − ψ(r, t)∇ψ ∗ (r, t)] ,
2mi
mit der Erhaltung von Wahrscheinlichkeiten zu tun? Was ist ρ(r, t)?
[3]
b) Ein Teilchen in einer Dimension habe die Wellenfunktion
ψ(x, t) = N
ei(kx−ωt)
,
cosh(αx)
wobei N eine geeignet gewählte Normierungskonstante ist. Welches Ergebnis erwarten
Sie für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte? Berechnen Sie diese und vergleichen Sie das
Ergebnis mit Ihrer Erwartung.
[4]
3. Wasserstofferwartungswerte
[10]
Das Wasserstoffpotenzial und die Grundzustandswellenfunktion lauten:
α~c
N 2
r
V (r) = −
, ψ100 (r) = hr|100i = √
exp −
,
r
aB
4π a3/2
B
wobei aB = ~/(αmc) den Bohr-Radius bezeichnet.
a) Berechnen Sie die Normierung N sowie h100|p2 |100i. Hinweis:
Z ∞
dt tx−1 e−t , Γ(n + 1) = n! für n ∈ N0 .
Γ(x) =
[3]
0
b) Es ist En = hn`m|H|n`mi = −α~c/(2n2 aB ). Was sagt das Virialtheorem aus über
hn`m|r−1 |n`mi?
[2]
c) Wie lautet hn`m|p2 |n`mi für beliebige Zustände |n`mi?
Hinweis: Dies hat etwas mit b) zu tun.
[2]
d) Da es sich um stationäre Zustände handelt, ist hn`m|p|n`mi = 0. In Aufgabe 36e)
hatten wir gezeigt, dass
aB p 2 2
n (n + 2) − `2 (` + 1)2 .
∆r =
2
Desweiteren wissen wir, dass p2 = p2r + L2 /r2 und [pr , r] = −i~. Was ist [L2 , r]? Wie
lautet die Unschärferelation zwischen ∆p und ∆r? Rechnen Sie nach, ob diese erfüllt
ist.
[3]
2
4. Oszillator mit Wand
[5]
Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Energieeigenwerte für ein Teilchen im eindimensionalen Potenzial
1
2 2 , x≤0
2 mω x
.
V (x) =
∞
, x>0
Hinweis: Für V keine Wand (x) = 21 mω 2 x2 lauten die Eigenfunktionen
r
mω 1/4 exp − mω x2 mω
keine Wand
2~
√
Hn
ψn
(x) =
x ,
~π
~
2n n!
wobei Hn (t) die Hermite-Polynome sind. Für gerade n beinhalten diese nur gerade Potenzen
von t, für ungerade n nur ungerade Potenzen. Wie lauten die zugehörigen Eigenwerte? Was
hat dies mit dem zu lösenden Problem zu tun?
5. Wasserstoffatom: Quantenzahlen
[10]
Wir betrachten die folgende (nicht-stationäre) Wellenfunktion:
i
1 h
φ(r) = √ 2ψ100 (r) + iψ43−2 (r) − 2eiπ/4 ψ320 (r) .
9
Wir haben dabei die Notation ψn`m (r) = hr|n`mi für die Eigenzustände des HamiltonOperators des Wasserstoffproblems benutzt. n ist die Hauptquantenzahl, ` die Nebenquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl. Wir bezeichnen die Grundzustandsenergie als
E1 = mc2 α2 /2.
a) Berechnen Sie für den Zustand |φi den Erwartungswert der Energie hHiφ .
[2]
b) Berechnen Sie den Erwartungswert des Drehimpulsquadrates hL2 iφ .
[2]
c) Berechnen Sie den Erwartungswert der Drehimpulskomponente hLz iφ .
[2]
d) Berechnen Sie den Erwartungswert des Paritätsoperators P.
[2]
e) Weshalb sind obige Erwartungswerte zeitlich konstant? Geben Sie ein Beispiel an eines
Operators, dessen Erwartungswert sich zeitlich verändern wird.
[2]
3
6. Zweiniveausystem
[15]
Die Zeitentwicklung eines Systems mit Zuständen |ψi ∈ H = C2 werde bestimmt durch den
Hamiltonoperator:
2 −i
H=
~ω .
i 2
0
|ψ(t = 0)i =
.
Das System befinde sich zur Zeit t = 0 im Zustand:
i
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte E1 und E2 sowie die (normierten) Eigenzustände |1i und
|2i dieses Systems.
[3]
b) Geben Sie die Zeitentwicklung des Zustandes |ψ(t)i an.
[3]
c) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten pn (t), das System bei einer Energiemessung zur
Zeit t1 ≥ 0 im Eigenzustand |ni anzutreffen (n ∈ {1, 2})?
[2]
d) Wie groß sind Erwartungswert hEiψ und Variation ∆ψ E der Energie?
[2]
e) Berechnen Sie den Erwartungswert von
~
Sz =
2
1 0
0 −1
.
Ist dieser zeitlich konstant?
[3]
f) Wir nehmen an, dass der zur Zeit t1 gemessene Energieeigenwert E1 war. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit werden wir bei einer zweiten Energiemessung zur Zeit t2 > t1 das
System im Zustand |2i vorfinden?
[2]
7. Störungstheorie: Kristallfeldoperator
[10+3]
Der Hamilton-Operator
H 0 = AL2z + B L2x + L2y
beschreibt ein elektrisches Feld in einem Kristall.
a) Wie lauten die Eigenwerte und Eigenfunktionen von H 0 ?
[3]
b) Wir addieren nun einen Störterm: H = H 0 + λH 0 , wobei H 0 = Lx . Berechnen Sie die
Energieeigenwerte in erster Ordnung Störungstheorie.
[2]
p
1
Hinweis: Lx = 2 (L+ + L− ), L± Y`m = `(` + 1) − m(m ± 1) ~Y`m±1 .
c) Berechnen Sie nun die Energien in zweiter Ordnung Störungstheorie.
[3]
d) In dem isotropen Spezialfall A = B können wir die Koordinatenachsen beliebig drehen/benennen. Zum Beispiel kann man dann H 0 = Lz wählen und das Problem exakt
lösen. Wie lauten die Energieeigenwerte in diesem Spezialfall?
[2]
e) Das Ergebnis aus d) scheint dem aus b) zu widersprechen. Was ist für den in d) behandelten Spezialfall zu beachten? Können sie das exakte Ergebnis auch störungstheoretisch
mit H 0 = Lx reproduzieren?
[+3]
4