Grundlagen IV - SS 09 Übungsblatt IX (FS,KS,AN,MM)

Grundlagen IV - SS 09 Übungsblatt IX (FS,KS,AN,MM)
Aufgabe 1: Harmonischer Oszillator (4 Punkte)
Ein Teilchen befindet sich in einem Harmonischer Oszillatorpotential. Die Eigenzustände eines harmonischen Oszillators sind durch
r
r
1 mω 1/4
mωx2
mω
ψn (x) =
·
exp
−
·
H
x
(1)
n
2n n! π~
2~
~
gegeben, wobei Hn die Hermite-Polynome sind:
Hn (x) = (−1)n ex
2
dn −x2
e
.
dxn
(2)
(a) Berechnen Sie die Erwartungswert von x̂ und
R ∞ p̂ für die Eigenzustände. (Hinweis: Der Erwartungswert von f (x) berechnet sich als hf (x)i = −∞ ψn∗ (x)f (x)ψn (x)dx. Im Falle, dass f(x) Ableitungen
enthält, dann wirkt diese nur auf ψn (x).).
(b) Berechnen Sie die Ewartungswerte von x̂2 und p̂2 für den Grundzustand. Berechnen Sie außerdem die
Ewartungswerte der potentiellen und kinetischen Energien, und prüfen Sie, dass die Gesamtenergie
E0 = 21 ~ω ist. (Hinweis: Die Gleichung
Z
∞
2
x2 e−αx dx =
−∞
1
2
r
π
,
α3
α>0,
ist vermutlich hilfreich.)
(c) Gegeben sei die Wellenfunktion
1
Ψ(x, 0) = √ (ψ0 (x) + ψ1 (x)) .
2
Diese Wellenfunktion entwickelt sich nun mit der Zeit im harmonischen Oszillatorpotential. Berechnen Sie die Ewartungswert des Operators x̂ von Ψ(x, t) zum Zeitpunkt t.
(d) Zeigen Sie, dass jedes allgemeine Potential V (x) um ein lokales Minimum x0 immer als einen harmonischen Oszillator beschrieben werden kann, wenn die Auslenkung vom Minimum klein ist. (Hinweis:
Nutzen Sie eine Taylor-Entwicklung für V (x) am x0 .)
Aufgabe 2: Wasserstoff (2 Punkte)
Nehmen sie die Radialwellenfunktionen des Wasserstoffs und berechnen sie den mittleren Abstand (|x|)
des Elektrons zum Kern (l = m = 0) in Einheiten des Bohrradius a0 :
(a) für den Grundzustand.
(b) für den ersten angeregten Zustand.
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