10. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2015 Aufgabe

10. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2015
Aufgabe 35: Variationsrechnung für den 2-D Oszillator.
(6 Punkte)
a) Berechnen Sie durch Optimierung des reellen Parameters α die beste Versuchswellenfunktion der Form
ψ(x) = c e−αr
für den Grundzustand des harmonischen Oszillators in zwei Dimensionen mit (~ =
m = ω = 1)
1
1
H0 = (p2x + p2y ) + (x2 + y 2 ) .
2
2
b) Die exakte Lösung erhalten Sie, wenn Sie das Problem als zwei unabhängige harmonische Oszillatoren in den Richtungen x und y betrachten: Ĥ = Ĥx + Ĥy mit
Ĥj = 21 P̂j2 + 21 Q̂2j . Wegen [Ĥx , Ĥy ] = 0 können Sie die Wellenfunktion als Produkt
ansetzen: ψ(x) = ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ). Vergleichen Sie die exakte Grundzustandsenergie mit
dem Ergebnis der obigen Rechnung. Hinweis: Benutzen Sie
2
Z ∞
∂
∂2
1 ∂
∂ψ
+
ψ(r) =
r
und
y n e−y dy = n!
∂x2 ∂y 2
r ∂r
∂r
0
Aufgabe 36: Störungsrechung im Potenzialtopf
(6 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m sei in einer Dimension in folgendem unendlich tiefen Potenzialtopf
gebunden:

∞ x < 0 und x > L
V (x) =
λx 0 ≤ x ≤ L
a) Skizzieren Sie dieses Potential und geben Sie den Hamiltonoperator an.
b) Geben Sie alle Energien und Eigenzustände des ungestörten Systems (d.h.λ = 0) an.
c) Berechnen Sie die Energiekorrektur erster Ordnung in λ zu allen Energien En .
d) Geben Sie die Korrektur der Eigenenergien in der Ordnung λ2 und die der Eigenfunktionen in der Ordnung λ an. Es reicht aus in Teil (d) das Ergebnis in Form von
Integralen anzugeben, die nicht ausgewertet werden müssen.
e) Wird durch die Störung die Unschärfe ∆x größer oder kleiner? (Kurzes qualitatives
Argument ohne Rechnung).
Hinweise: Die Wellenfunktionen müssen nicht normiert werden, d.h. die Normierungskonstante kann stehen bleiben. Weiters kann die Beziehung 2 sin2 y = 1 − cos(2y) hilfreich sein.
Aufgabe 37: 2D harmonischer Oszillator mit Störung
(7 Punkte)
Gegeben ist ein zweidimensionaler harmonischer Oszillator (mit ~ = m = ω = 1)
H0 =
1
1 2
(px + p2y ) + (x2 + y 2 ) .
2
2
(a) Wie lauten die Eigenfunktionen und Eigenenergien der drei niedrigsten Eigenzustände
(Normierung!)? Welche Entartungen liegen vor?
(b) Betrachten Sie nun eine Störung des Systems durch
g
H1 = xy(x2 + y 2 ) ,
2
mit g 1. Berechnen Sie in erster Ordnung Störungstheorie den Effekt von H1 auf
die Energien der Zustände in a), beachten Sie dabei die Entartungen! Zeigen Sie, dass
(0)
sich im Limes g → 0 wieder die Energien des ungestörten Problems Ei ergeben.
Hinweis: Bestimmen Sie aus den Symmetrieeigenschaften der Matrixelemente in kartesischen
Koordinaten diejenigen, die von Null verschieden sind. Um diese auszurechnen, wechseln Sie
zu Polarkoordinaten.
R 2π
R∞
2
Nützliche Integrale sind 0 dφ sin2 φ cos2 φ = π/4 und 0 dr r7 e−r = 3.