Teilchen im Potentialtopf, Streuung am Stufenpotential, Tunneleffekt

Universität des Saarlandes
Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät (NT)
Fachrichtung Physik
Prof. Dr. L. Santen
Dr. C. Arita
E. Maikranz (Mail: [email protected])
Web: http://santen.physik.uni-saarland.de/
Saarbrücken, den 18.05.2017
Blatt 5 zur Theoretischen Physik III, SS2017
(Abgabe bis 24.05.2017, 14.00 Uhr)
Aufgabe 1 Teilchen im Potentialtopf [8 + 8 = 16 Punkte]
a) Wir betrachten die eindimensionale Schrödinger-Gleichung mit Potential
(
0
0≤x≤L
V (x) =
(∗)
V0 > 0 sonst
Wir betrachten nur gebundene Eigenzustände |Ei (0 < E < V0 ), für die hx|Ei → 0 ( x → ±∞) gilt.
i) Sei ±k (k>0) die Wellenzahl in und ±iκ (κ > 0) die Wellenzahl außerhalb der Mulde. Bestimmen
Sie die allgemeine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in allen drei Bereichen
(x < 0, 0 ≤ x ≤ L und x > L).
ii) Bestimmen Sie mithilfe der Randbedingungen bei x = ±∞, 0 und L die Eigenzustände in Abhängigkeit der Parameter k und κ. Bestimmen Sie außerdem die beiden Gleichungen die k und κ
implizit festlegen.
Hinweise: Sie können von symmetrischen hx|Ei = h(L − x)|Ei und antisymmetrischen hx|Ei =
−h(L − x)|Ei Eigenzuständen ausgehen.
Sie brauchen die Wellenfunktion nicht zu normieren.
iii) Unglücklicherweise können die Gleichungen für k und κ nicht explizit gelöst werden. Daher betrachten wir wann Lösungen existieren:
α) Zeigen Sie, dass es für (k, κ) im symmetrischen Fall immer eine Lösung gibt.
β) Bestimmen Sie eine Bedingung, sodass es für den antisymmetrischen Fall mindestens eine
Lösung (k, κ) gibt.
b) Wir betrachten das Potential (∗) mit V0 = +∞.
i) Zeigen Sie mittels des Grenzwertes V0 → +∞ und den Ergebnissen aus a), dass die Wellenfunktion
für x ≤ 0 und L ≤ x identisch Null ist.
ii) Bestimmen Sie die Eigenwerte En und zugehörigen normierten Eigenzustände hx|En i, welche
durch die natürlichen Zahlen n = 1, 2, . . . indiziert werden.
iii) Wir nehmen an ein Teilchen befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 im Grundzustand, und die linke und
rechte Grenze des Potentials wird zum Zeitpunkt t = 0 instantan verschoben. Das neue Potential
sei
(
0
− L/2 ≤ x ≤ 3L/2
V (x) =
.
+∞ sonst
Bemerkung: Der Anfangszustand des Teilchens ist nach der Verschiebung kein Eigenzustand zum
neuen Hamilton Operator.
α) Zum Zeitpunkt t = 0, ist es möglich die X
neuen Eigenzustände |En0 i in Abhängigkeit der alten
cn hx|En0 i.
Eigenzustände zu entwickeln, e.g. hx|E1 i =
n≥1
Berechnen Sie die Koeffizienten cn .
β) Bestimmen Sie die zeitabhängige Wellenfunktion für t > 0.
Aufgabe 2 Streuung am Stufenpotential [3 + 7 + 4 + 2 = 16 Punkte]
(
0
(x < 0)
Wir betrachten eine von x < 0 kommende Welle die am Potential V =
gestreut wird.
V0 > 0 (x ≥ 0),
a) Bestimmen Sie einen ungebundenen Eigenzustand mit Energie E > V0 .
Hinweis: Sie müssen die linksgerichtete Welle im Bereich x ≥ 0 nicht beachten. Verwenden Sie als
Randbedingungen, dass die Wellenfunktion und ihre Ableitung bei x = 0 stetig sind.
b) Verwenden Sie als einfallende Welle hx|ψ(x, t = 0)i =
(Es gilt hX(t = 0)i = −a < 0.)
4
2
2
√1 eik0 (x+a) e−(x+a) /(2σ )
2
πσ
mit Impuls p0 = ~k0 .
Wir nehmen an, dass für die Anfangsenergie E0 Z> V0 gilt. Berechnen Sie im Grenzwert t → ∞ die
0
Reflektions- und Transmissionskoeffizienten R =
|ψ(x, t)|2 dx und T = 1 − R.
−∞
Hinweis: Sie können beim integrieren die Welle als stark gepeakt um ihren Mittelwert annehmen.
c) Wir betrachten nun die in a) gefundenen Eigenzustände mit Energie E > V0 . Berechnen Sie die
~
∗ − ψ ∗ ∂ ψ ) (A = I,R,T) für die einfallende, reflektierte
(ψA ∂x ψA
Wahrscheinlichkeitsströme jA = 2mi
A x A
und transmittierte Welle. Zeigen Sie, dass R = |jR |/|jI | und T = |jT |/|jI | mit den Resultaten aus b)-i)
übereinstimmen.
d) Zeigen Sie, dass T = 0 gilt, sofern E < V0 angenommen wird.
Aufgabe 3 Tunneleffekt [8 Punkte]
(
0
(x < 0, L < x)
Wir betrachten das Potential V =
und wollen das zu Aufgabe 2 analoge StreuV0 > 0 (0 < x < L)
problem mit Anfangsenergie E0 > 0 lösen. Berechnen Sie also mit der selben Methode wie in 2 c) die
Transmissions- und Reflexionskoeffizienten.
Bemerkung: Selbst für Energien 0 < E0 < V0 verschwindet der Transmissionskoeffizient nicht.