Hermitesche Polynome, Harmonischer Oszillator, Erzeugungs

Universität des Saarlandes
Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät (NT)
Fachrichtung Physik
Prof. Dr. L. Santen
Dr. C. Arita
E. Maikranz (Mail: [email protected])
Web: http://santen.physik.uni-saarland.de/
Saarbrücken, den 31.05.2017
Blatt 7 zur Theoretischen Physik III, SS2017
(Abgabe bis 07.06.2017, 14.00 Uhr)
Aufgabe 1 Hermitesche Polynome [6 + 3 + 4 = 13 Punkte]
df
d2 f
−2x +(2λ−1)f =
2
dx
dx
0 mit λ = 12 + n (n = 0, 1, 2, . . . ) Lösungen hat, die als endliche Summen geschrieben werden können . Diese
Lösungen sind die Hermiteschen Polynome und können als
Auf dem vergangenen Übungsblatt haben wir gezeigt, dass die Differentialgleichung
n
hn (x) = n!
b2c
X
`=0
mit b n2 c =
n
2
für gerade n, und b n2 c =
a) Zeigen Sie die Relationen
n−1
2
(−1)`
(2x)n−2` ,
`!(n − 2`)!
für ungerade n, geschrieben werden.
i) h0n = 2nhn−1 ,
und
ii) hn+1 = 2xhn − 2nhn−1 .
Bemerkung: Zusammen erhält man die Relation hn+1 = 2xhn − h0n . (∗)
b) Zeigen Sie die alternative Darstellung hn (x) = (−1)n ex
2
dn −x2
e .
dxn
Hinweis: Verwenden Sie Induktion und Gleichung (∗).
c) Zeigen Sie die Orthogonalitätsbeziehungen:
hhn0 , hn i =
√
Z
n
∞
mit hhn0 , hn i =
π 2 n! δn0 n ,
2
hn0 (x)hn (x)e−x dx .
−∞
Hinweis: Verwenden Sie die Darstellung ex
2
dn −x2
dxn e
und Integrieren Sie n mal partiell (n0 ≤ n).
Aufgabe 2 Harmonischer Oszillator [3 + 2 + 3 + 5 = 13 Punkte]
P2
Betrachten Sie die stationäre Schrödinger-Gleichung E|Ei = H|Ei mit Hamilton Operator H =
+
2m
1
∂
mω 2 X 2 , wobei P |ψi = −i~| ∂x
ψi und X|ψi = |xψi gilt.
2
q
y2
~
a) Wir transformieren die Variablen x = mω
y, E = λ~ω und hy|Ei = f (y)e− 2 .
Leiten Sie die Differentialgleichung für f her. Dies ist die selbe wie in Aufgabe 1 (mit x → y).
b) Wir können wegen Aufgabe 1 die Eigenzustände als Hermitesche Polynome ausdrücken.
Demnach gilthy|ni = hy|En i = αn hn (y)e−
Normieren Sie die Eigenzustände.
y2
2
mit zugehörigen Energien En = ~ω(n + 12 ).
c) Berechnen Sie die Matrixelemente von X und P in der Basis der Eigenzustände.
d) Nehmen Sie im Folgenden an das Teilchen sei in Zustand |ni
i) Berechnen Sie i) hXi ,
ii) hP i ,
iii) hX 2 i ,
iv) hP 2 i ,
v) ∆X ,
vi) ∆P .
ii) Überprüfen Sie, dass die Unschärferelation erfüllt ist und bestimmen Sie wann ∆X∆P minimal
ist.
Aufgabe 3 Erzeugungs- und Vernichtungsoperator [2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 2 = 14 Punkte]
Wir führen die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
r
r
r
r
mω
1
mω
1
†
a =
X −i
P , a=
X +i
P ,
2~
2mω~
2~
2mω~
ein.
Bemerkung: Wir nutzen die selbe Notation wie in Aufgabe 2.
a) Drücken Sie H mithilfe des Besetzungszahl Operators N = a† a aus.
b) Wegen a), sind die |ni’s auch Eigenzustände zu N . Bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert.
c) Zeigen Sie folgende Relationen
i) [a, a† ] = 1 ,
ii) [a† , N ] = −a† , und
iii) [a, N ] = a .
d) Zeigen Sie die Relationen a|ni = cn |n − 1i und a† |ni = dn |n + 1i. Bestimmen Sie weiterhin die
Koeffizienten cn ≥ 0 und dn ≥ 0 .
Bemerkung: Daher der Name Erzeugungs- und Vernichtungsoperator.
Hinweis: Sie können annehmen, dass die |ni’s (n = 0, 1, 2, . . . ) eine vollständige Basis von N bilden.
e) Schreiben Sie |ni in Abhängigkeit von |0i und a† .
f) Berechnen Sie dieselben Größen wie in A2-d-i, indem Sie nur die algebraischen Eigenschaften von a†
und a verwenden.