Zettel 6

Quantenmechanik
Institut für Theoretische Physik
Mateus Araújo, David Gross
Sommersemester 2017
Blatt 6, Abgabe 31.05.2017 um 12:00
1 Unser Lieblingskind, der harmonische Oszillator (10 P)
Der Hamiltonope-
rator des harmonischen Oszillators ist
H=−
m
h̄2 ∂2
+ ω 2 x2 ,
2
2m ∂x
2
und wenn er mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a† und a dargestellet ist,
lautet er
1
†
H = h̄ω a a + 1 ,
2
wobei
1
X
1
X
P
P
†
a= √
und a = √
+i
−i
p0
p0
2 x0
2 x0
für eine gute Auswahl von x0 und p0 .
Um mit solchen Operatoren zu arbeiten, sind die Vertauschungsrelationen [ a, a† ] = 1,
[ a† , a† ] = [ a, a] = 0 nützlich, und die Wirkung von a und a† auf die Eigenzustände von
a† a:
√
√
a|ni = n|n − 1i und a† |ni = n + 1|n + 1i.
a) (1 P) Die kohärenten Zustände |αi sind definiert als Eigenzustände zum Vernichtungsoperator a mit Eigenwert α, d.h. a|αi = α|αi. Ihre Entwicklung nach den
Eingenzuständen |ni des harmonischen Oszillators hat die Form
∞
|αi = C
∑
f n (α)|ni.
n =0
Bestimmen Sie die Entwicklungskoeffizienten f n (α) und den Normierungsfaktor
C. Überprüfen Sie, ob die kohärenten Zustände |αi und | βi für α 6= β orthogonal
sind, indem Sie |h β|αi|2 berechnen. Mit diesem Ergebnis, normieren Sie den
Quantenzustand |αi + | βi.
b) (1 P) Zeigen Sie, dass die Zeitentwicklung des kohärenten Zustandes gegeben ist
durch
| α0 |2 ∞
αn
1
1
|ψ(t)i = e− 2 iωt e− 2 ∑ √ 0 e−iωnt |ni = e− 2 iωt |α(t)i,
n!
n =0
wobei |α(t)i ein kohärenter Zustand mit Eigenwert α(t) = α0 e−iωt ist. Was ist die
Grundzustandsenergie? Ist es wichtig für die Zeitentwicklung?
c) (2 P) Berechnen Sie die zeitabhängigen Erwartungswerte des Ortes und des Impulses für den Zustand |α(t)i. Zeigen Sie damit, dass
d
d
hα(t)| P|α(t)i = −hα(t)| V ( X )|α(t)i
dt
dx
ist, für V ( x ) = 12 mω 2 x2 . Was ist die Aussage von dieser Gleichung? Welche
physikalsche Bedeutung hat der Parameter α ?
Hinweis: Berechnen Sie zuerst a|α(t)i, und erinneren Sie sich daran, dass ( A|ψi)† =
hψ| A† . Diese Gleichung ist das berühmte Ehrenfestsche Theorem, das in der Vorlesung besprochen wird.
1
d) (2 P) Berechnen Sie das Unschärfeprodukt (∆X )(∆P).
Hinweis: Wenn Sie richtig gerechnet haben, sollten Sie das vielleicht überraschende Ergebnis erhalten, dass das Unschärfeprodukt zeitunabhängig ist.
e) (2 P) Betrachten Sie den ausgelenkten Grundzustand des harmonischen Oszillators,
der in Ortsraumdarstellung gegeben ist als
1
−1
h x |0 L i = p √ e 2
x0 π
x− L
x0
2
.
Geben Sie seine Entwicklung in der Basis |ni an und vergleichen Sie dies mit der
oben gefundenen Entwicklung des kohärenten Zustandes |αi.
Hinweise: Der Zustand |0 L i ist der um L translatierte Zustand |0i, d.h. |0 L i =
i
e− h̄ LP |0i. Drücken Sie P durch a† und a aus und verwenden Sie die Baker-CampellHausdorff-Formel
1
e A+ B = e A e B e− 2 [ A,B] ,
gültig für beliebige Operatoren A, B, deren Kommutator [ A, B] die Beziehung
[ A, [ A, B]] = [ B, [ A, B]] = 0 beachtet.
f) (2 P) Da die Zeitentwicklung eines kohärenten Zustandes ein kohärenter Zustand
ist, muss |α(t)i die Differentialgleichung
a|α(t)i = α(t)|α(t)i
erfüllen, und wir können damit seine Ortsraumdarstellung h x |α(t)i finden. Lösen
Sie dann
1
P
X
√
+i
h x |α(t)i = α(t)h x |α(t)i
p0
2 x0
und normieren Sie die Lösung, um zu finden, dass
√ !
r
x0 p0
2
p
2
p
α
(
t
)
p
0
0
0
−
<(
α
(
t
))
2
e h̄
x +
x
exp −
h x |α(t)i = 4
πh̄x0
2x0 h̄
h̄
ist, modulo eine unwichtige globale Phase.
Der Quantenzustand
|cat(t)i = q
1
|α(t)i + | − α(t)i
2
2(1 + e−2|α(t)| )
ist als Schrödingerkatzenzustand bekannt. Skizzieren Sie in 3D das Betragsquadrat
von der Ortsraumdarstellung von |cat(t)i als Funktion von x und t.
2 Die Wignerquasiwahrscheinlichkeitsverteilung (2 Bonus-Punkte) Die Wignerquasiwahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Darstellung von Wellenfunktionen im
üblichen x − p Phasenraum. Es ist sehr nützlich, um die Korrespondenz zwischen
Quanten- und klassischen Systemen zu studieren. Der Wigner Darstellung von einer
Wellenfunktion ψ( x ) ist definiert als
1
W ( x, p) =
πh̄
Z ∞
−∞
dy ψ∗ ( x + y)ψ( x − y)e2ipy/h̄
Skizzieren Sie in 3D die Wigner Darstellung von h x |cat(t)i für t = 0. Beachte: W ( x, p)
ist immer eine reelle Zahl.
2