12 - Institut für Theoretische Physik

Theoretische Physik III für Lehramt
Universität Heidelberg, Sommersemester 2012
Priv.–Doz. Dr. T. Weigand
Übungsblatt 12
Abgabe am 11.07 in der Übungsstunde.
Harmonischer Oszillator im Ortsraum
Aufgabe 1: Der Grundzustand des harmonischen Oszillators |0i wird durch den Absteigeoperator a annihiliert,
a|0i = 0 .
(1)
Diese Gleichung bietet eine Möglichkeit zur Bestimmung des Grundzustands in einer
bestimmten Darstellung. Ist der Grundzustand bekannt, kann jeder angeregte Zustand
|ni mittels
1
|ni = √ (a† )n |0i
(2)
n!
aus dem Grundzustand berechnet werden.
• (1 Punkt) Multiplizieren Sie Gl. (1) von links mit hx| und leiten Sie eine Differentialgleichung für die Wellenfunktion des Grundzustandes ψ0 (x) = hx|0i her, indem
Sie den Operator a als Kombination aus
q Orts-und Impulsoperator ausdrücken.
d
Antwort: (x + x02 dx
)ψ0 (x) = 0 mit x0 =
~
mω .
• (2 Punkte) Bestimmen Sie ψ0 (x) und normieren Sie die Wellenfunktion auf eins.
• (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion ψn (x) = hx|ni durch


!
 x2 
x
ψn (x) = Cn exp − 2  Hn
x0
2x0
q
~
und Hn die hermitegegeben ist, wobei Cn eine Normierungskonstante, x0 = mω
schen Polynome
d n
Hn (ξ) = exp ξ 2 /2 ξ − dξ
exp −ξ 2 /2
sind.
Hinweis: Finden Sie zunächst die Differentialgleichung, welche ψn (x) = hx|ni erfüllt,
indem Sie (2) ausnutzen.
2
Unschärfe der Fock-Zustände
Aufgabe 2:
• (1 Punkt) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert des Orts- und des Impulsoperators
für einen Energie-Eigenzustand |ni verschwindet,
hX̂i|ni = 0 = hPˆ i|ni .
• (1 Punkt) Zeigen Sie, dass der Grundzustand |0i die Unschärferelation saturiert,
(∆X̂)2|0i (∆Pˆ )2|0i
~
=
2
!2
.
Wieso überrascht dies angesichts ihres Ergebnisses aus Aufgabe 1 für ψ0 (x) nicht?
Kohärenter Zustand im harmonischen Oszillator
Aufgabe 3 Die normierten Fock-Zustände des eindimensionalen harmonischen Oszillators seien |ni, n ∈ N.
• (1 Punkt) Ein Teilchen befinde sich zum Zeitpunkt t = t0 im Zustand |ni. Bestimmen
Sie den Zustand des Teilchens zu einem späteren Zeitpunkt t.
Für eine komplexe Konstante λ definieren wir nun einen kohärenten Zustand als
1 2
|λ; cohi = e− 2|λ| exp λa† |0i,
† k
P
λa
∞
wobei das Exponential von λa† als die Reihe exp λa† = k=0 k! zu verstehen ist.
• (1 Punkt) Zeigen Sie, dass |λ; cohi normiert ist.
Hinweis: Für zwei Operatoren A und B, die jeweils mit ihrem Kommutator vertauschen, d.h. [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, gilt
eA eB = eB eA e[A,B] .
• (2 Punkte) Zeigen Sie dass |λ; cohi ein Eigenzustand von a ist und bestimmen Sie
den zugehörigen Eigenwert.
• (2 Punkte) Berechnen Sie die Erwartungswerte hX̂icoh := hλ; coh|X̂|λ; cohi und hPˆ icoh .
3
• (2 Punkte) Nehmen Sie an, dass der harmonische Oszillator zur Zeit t = 0 in einem
kohärenten Zustand |λ0 ; cohi ist. Zeigen Sie, dass der Zustand zum Zeitpunkt t die
Form
e−iωt/2 |λ(t); cohi mit λ(t) = λ0 e−iωt
hat.
• (1 Punkte) Bestimmen Sie den zeitabhängigen Erwartungswert hλ(t); coh|X̂|λ(t); cohi
wenn λ(0) ∈ R. Vergleichen Sie das zeitliche Verhalten des kohärenten Zustands mit
der klassischen Schwingung eines Teilchens in einem harmonischen Potential.
Drehimpulskommutatoren
Aufgabe 4 (2 Punkte) Seien Ji die Drehimpulsoperatoren und sei W ein Operator, so dass
[W , Jx ] = [W , Jy ] = 0 .
Bestimmen Sie [W , Jz ] und [W , J 2 ].
Spin–1/2 Teilchen
Aufgabe 5 (2 Punkte) Seien Sx , Sy , Sz Drehimpulsoperatoren und betrachten Sie einen
Zustand in der sogenannten Spin 1/2-Darstellung in der Sz –Basis {|1/2, +1/2i, |1/2, −1/2i}.
Zeigen Sie, dass folgende Relationen gelten:
~
Sx |1/2, +1/2i = |1/2, −1/2i ,
2
~
Sy |1/2, +1/2i = i |1/2, −1/2i ,
2
~
Sx |1/2, −1/2i = |1/2, +1/2i,
2
~
Sy |1/2, −1/2i = −i |1/2, +1/2i .
2