Halbleiterbauelemente - Physikalische Grundlagen und Simulation

Halbleiterbauelemente Physikalische Grundlagen und
Simulation
Privat-Dozent Dr. rer. nat. Andreas Schenk
Integrated Systems Laboratory, ETH Zurich
October 23, 2003
Contents
1
Quanten-Transport
1.1 Quanten-Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quanten-Transportgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
17
2
Boltzmann-Gleichung
2.1 “Ableitung” . . . . . . . . . . . .
2.2 Methoden der direkten Lösung . .
2.2.1 Relaxationszeit-Näherung
2.2.2 Monte-Carlo-Methode . .
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22
22
25
25
26
3
Momenten-Methode
3.1 Hydrodynamische Transportgleichungen, Drift-Diffusions-Modell . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Thermodynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
42
4
Numerische Methoden
4.1 Skalierte Gleichungen und Lösungsprozedur . . . .
4.1.1 Die Physikalischen Gleichungen . . . . . .
4.1.2 Randwerte . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Die skalierten (stationären) Gleichungen . .
4.1.4 Wahl der Variablen . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Die Lösungsprozedur . . . . . . . . . . . .
4.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Allgemeine Diskretisierungsverfahren . . .
4.2.2 Anforderung an Diskretisierung . . . . . .
4.2.3 Diskretisierung der Poissongleichung . . .
4.2.4 Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen
4.2.5 Die Diskretisierten Gleichungen . . . . . .
4.3 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Anforderungen an Gitter . . . . . . . . . .
4.3.2 Gitter Adaption . . . . . . . . . . . . . . .
5
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58
59
59
60
Silizium
5.1 Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Fermi-Dirac-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 System mit konstanter Teilchenzahl (“kanonische Verteilung”) . .
5.3.2 System mit variabler Teilchenzahl (“grosskanonische Verteilung”)
5.3.3 Fermi-Dirac-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ladungsträgerdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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i
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Contents
1
6
Streuprozesse
92
6.1 Skk am Beispiel der Streuung an ionisierten Störstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Die wichtigsten Streumechanismen in Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Die Matthiessen-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7
Beweglichkeit kalter und heisser Ladungsträger
7.1 µimp und µac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Modelle für die Beweglichkeit kalter Ladungsträger im bulk
7.3 Beweglichkeit im MOSFET-Kanal . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Beweglichkeit heisser Ladungsträger . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Sättigung der Driftgeschwindigkeit . . . . . . . . .
7.4.2 Empirische Modelle für Bauelemente-Simulation . .
8
9
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104
105
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112
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Strahlungslose Rekombination
8.1 Tiefe Störstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Generations-Rekombinationsraten für Band-Band- und Band-Trap-Übergänge
8.3 Raten-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 SRH-Lebensdauern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Auger-Rekombination
10 Stossionisation
10.1 Ionisations-Schwellenenergien . . . . . . . .
10.2 Stossionisationsrate und -koeffizienten . . . .
10.3 Modelle für die Stossionisationskoeffizienten
10.4 Avalanche-Durchbruch . . . . . . . . . . . .
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131
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11 Metall-Halbleiter (MS)-Kontakt
11.1 Energieniveau-Schema vor Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts
11.2 MS-Kontakt im Gleichgewicht, Schottky- und Bardeen-Modell . . . . . . . . .
11.3 MS-Kontakt im Nichtgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Kontakt-Randbedingungen in der Bauelemente-Simulation . . . . . . . . . . .
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140
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146
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12 Metall-Isolator-Halbleiter (MIS) Struktur
152
12.1 Isolator-Halbleiter (IS)-Übergang im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2 MIS-Struktur bei angelegter Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.3 Ladungstransport durch dünne Oxide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13 Hetero-Übergänge
13.1 Banddiskontinuitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Potentialverlauf nach Einstellung des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Supergitter und Quantum Wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
162
163
165
1 Quanten-Transport
1.1 Quanten-Bauelemente
Definition Transport:
Bewegung von Ladungstr¨agern ( Ströme) in einem Bauelement
oder einer Halbleiterstruktur infolge ¨ausserer Felder.
dissipativer Transport im bulk:
Energieverlust haupts¨achlich im Innern des Bauelements, mittlere
freie Wegl¨ange klein gegen Abmessungen des Bauelements.
ballistischer Transport:
Mittlere freie Wegl¨ange für dissipative und elastische Streuung ist
von der Grössenordnung der Abmessungen des Bauelements.
quanten-ballistischer Transport:
Zus¨atzlich Quantisierungseffekte durch “confinement”
Interferenz-Effekte infolge verschiedener möglicher Wege.
und
kohärenter ballistischer Transport:
Koh¨arenzl¨ange von derselben Grössenordnung wie die Struktur,
Phase der Elektronenwelle bleibt erhalten.
Quanten-Transport kann man auch nach möglichen Anwendungen in der Nanoelektronik klassifizieren, wobei jeweils typische Quanten-Effekte ausgenutzt
werden:
A) Interferenz-Effekte in niedrig-dimensionalen Strukturen, wie ResonantTunnel-Dioden (resonant tunnel diodes, RTDs) und Resonant-TunnelTransistoren (resonant tunnel transistors, RTTs)
2
1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE
3
B) Coulomb-Blockade in Einzel-Elektron-Transistoren (single electron transistors, SETs) und Quanten-Punkten (quantum dots, QD)
C) Mesoskopischer Transport in Quanten-Wellenleitern (quantum waveguides)
A) Interferenz-Effekte
single barriers
resonant double barrier
quantum well
superlattice
interferencedevices.ID.epsi
99 72 mm
chirp superlattice
camel transistor
B) Quanten-Dr¨ahte und Quanten-Punkte
epitaxial wire
modulation-doped
deep-etched wire
split-gate wire
modulation-doped
shallow-etched wire
confinementdevices.ID.epsi
107 60 mm
quantum dot
n-(Al,Ga)As
GaAs
C) Quanten-Wellenleiter
quantum well
4
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
interference
ring device
tapered quantum
waveguide
stub device
cross-talking
wires
waveguidedevices.ID.epsi
110 26 mm
Quantenmechanik (QM): Ultra-Short Course I
In QM werden Observablen (
E
p
x
Messgrössen) A durch OperatorenÂ beschrieben
Ĥ Hamiltonoperator
p̂ Impulsoperator
x̂ Ortsoperator
und die Zust¨ande eines Systems (die in der klassischen Mechanik durch Angabe
der Koordinaten und
Impulse aller Teilchen eindeutig bestimmt sind) durch
Wellenfunktionen ψ x (mathematisch: Vektoren im Hilbertraum).
p̂2 ∂
1D : Ĥ
V x̂ p̂
i
(1.1)
2m
∂x V x̂ ist der Operator
der potentiellen Energie. Die fundamentale Gleichung zur
Bestimmung von ψ x ist die Schrödinger-Gleichung:
station¨ar : Ĥ ψ x zeitabh¨angig : i Beispiel: freies Elektron (V 0)
In der klassischen Physik ist wegen F
v
const
E ψ x ∂ Φ x t ∂t
ṗ
E
Ĥ Φ x t (1.2)
(1.3)
0
m 2
v
2
in der QM dagegen muss man die Schrödinger-GleichungĤ ψ E ψ lösen. Einsetzen des Hamiltonoperators (es bleibt nur der Operator der kinetischen Energie
in einer Dimension) ergibt die Eigenwertgleichung
∂2 ψ x
2m ∂x2
2
Eψ x (1.4)
1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE
5
oder, mit Einführung der sogenannten Wellenzahl k 2mE ∂2
∂x2
k2 ψ x 0
(1.5)
Die allgemeine (von Null verschiedene) Lösung lautet
ψ x
A eikx
B e
ikx
(1.6)
und beschreibt eine ebene Welle.
Der mathematische Formalismus der QM beschreibt die Wellennatur der
Teilchen.
Beispiel: Potentialtopf mit unendlich hohen W¨anden
V(x)
well1.ID.epsi
45 40 mm
0
V x
∞ für x 0 x d
0 für x im Innern
V x
d
x
Mit diesem Potential erh¨alt man
ψ x
ψ 0
A eikx
ψ d
B e
0
ikx
im Innern
da das Elektron in die unendlich hohen Potentialw¨ande nicht eindringen kann.
Das Verschwinden der Wellenfunktion an den R¨andern des Potentialtopfes führt
auf zwei Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Koeffizienten A und B
A
B
0
A eikd
B e
ikd
0
und damit zur Quantisierungsbedingung für die Wellenzahl k:
sin(kd) = 0
kn
En
nπ
n 1 2
d
2
2
2
2
kn
π n2
2m
2md 2
quantisierter Impuls
quantisierte Energie
6
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
Wegen
B und k kn haben die Wellenfunktionen die Form ψn x A
C sin nπx d . Die Konstante C wird so spezifiziert, dass die (gebundenen)
Zust¨ande auf Eins normiert sind, also
d
0
dx ψn x 2
1
Die Grösse ψn x 2 heisst Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens
im Zustand mit der Quantenzahl n. Die Normierungsbedingung bedeutet damit
nichts weiter, als dass sich das Teilchen mit Sicherheit innerhalb des Potentialtopfes befindet. Die Auswertung der Normierungsbedingung ergibt für die
Wellenfunktionen
ψn x 2
nπ
sin x
d
d
stehende Wellen!
(1.7)
E
n=3
diskretes Energiespektrum!
2d
Wellenl¨ange λn
n
well2.ID.epsi
43 42 mm
n=2
n=1
0
d
x
Was passiert im Falle a) endlich hoher und b) endlich hoher und endlich dicker
Potentialw¨ande?
a) Es gibt nur noch eine endliche Anzahl von gebundenen Zust¨anden. Wird der
Potentialtopf zu flach, kann u.U. überhaupt kein Teilchen mehr gebunden
werden (im Falle asymmetrischer Potentialtöpfe).
b) Das Teilchen kann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aus dem Potentialtopf heraustunneln, d.h. die Lebensdauer des gebundenen Zustandes
wird endlich. Wegen der Heisenbergschen Unschärferelation
∆t ∆E 2
werden die (für unendlich dicke Potentialw¨ande) diskreten Energieniveaus
En zu Resonanzen mit endlicher Linienbreite “verschmiert” (LebensdauerVerbreiterung). Die Maxima der Resonanzen verschieben sich gegenüber
den En zu niedrigeren Energien.
1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE
7
a)
b)
well3.ID.epsi
110 34 mm
Bei den Resonanzenergien wird die Durchdringungswahrscheinlichkeit für die
Doppel-Barriere gross. Je asymmetrischer die Doppel-Barriere, um so mehr wird
die Resonanz ged¨ampft.
Sind die station¨aren Zust¨ande ψ
n x bekannt, kann man sofort die Lösungen der
zeitabh¨angigen Schrödinger-Gleichung angeben:
e
Φn x t i En t
ψn x Einsetzen Probe! Die zeitabh¨angigen Wellenfunktionen oszillieren mit der Frequenz ωn En .
Damit sich eine stehende Welle (bzw. scharfe Resonanz) ausbilden kann, muss
die entsprechende Zeitkonstante tn En klein gegenüber einer charakteristischen mittleren Streuzeit τn sein.
Zahlenbeispiel:
E1 66 meV, 6 6 10 16 eVs tn 10 14 s
Typisches τn bei Raumtemperatur
ist τn 2 10 14 s (für Streuung von Elektronen an Phononen, den Quanten der Gitterschwingungen).
Interferenz-Bauelemente funktionieren nur bei genügend tiefen Temperaturen! (“genügend” ist dabei natürlich relativ und h¨angt von der St¨arke der erreichbaren Energie-Quantisierung ab)
Im folgenden werden die Bauelemente-Gruppen A) und B) an den wichtigsten
Beispielen praktisch erl¨autert.
8
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
A) Resonant-Tunnel-Diode (RTD) and Resonant-Tunnel-Transistor (RTT)
RTDbandscheme.epsi
124 103∆U
mm
Band-Schema einer RTD. Die Potentialbarrieren werden durch Sprünge der Leitungsbandkante zwischen dem breitlückigeren Halbleiter AlAs und dem schmallückigeren
Halbleiter GaAs erzeugt. Die Energie der Zustände im Potentialtopf ist quantisiert. Elektronen aus der hochdotierten Quelle, die alle Energieniveaus zwischen
der Leitungsbandkante und dem Fermi-Niveau besetzen, können nur dann durch
die Doppel-Barriere tunneln, wenn ihre Energien mit der der Resonanzniveaus
übereinstimmen. Dazu muss an der Quelle eine Spannung angelegt werden. Die
notwendige Energie für das Hinzufügen eines (N+1)-ten Elektrons setzt sich aus zwei
Anteilen zusammen: der Additionsenergie A und der Anregungsenergie ∆ε. A wird
gebraucht, um die elektrostatische Abstossung zwischen dem (N+1)-ten und den N
Elektronen zu überwinden, die sich bereits
im Quantentopf befinden. A ist propor
tional zum inversen mittleren Abstand 1 r der Elektronen im Quantentopf, wogegen
∆ε 1 d 2 (siehe Rechnung zum Potentialtopf). Senkrecht zur Quantisierungsrichtung
können sich die Elektronen frei ausbreiten, was zu einem relativ grossen r und daher
zu einem kleinen A führt. Für eine RTD gilt also A ∆ε. (Im Bild ist A übertrieben
gross dargestellt.)
1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE
9
RTDoperation.ps
105 139 mm
a) Schematischer Querschnitt einer RTD.
b) Bei zu kleiner Source-Drain-Spannung kann kein resonanter Tunnelstrom in der RTD
fliessen (“off-state”). Es fliesst lediglich ein Leckstrom, verursacht von thermisch angeregten Elektronen in der Quelle (um so grösser, je höher die Betriebstemperatur).
c) Resonanz-Situation (“on-state”) . Es fliesst ein resonanter Tunnelstrom, dessen Stärke
von der Durchdringungswahrscheinlichkeit der Doppelbarriere abhängt, d.h. von der
Linienbreite der Resonanz.
10
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
RTDkennlinie.ps
101 64 mm
A
a) Band-Schema einer RTD bei steigender Source-Drain-Spannung.
b) Strom-Spannungs-Charakteristik. Der Abstand der Peaks entspricht grob der Anregungsenergie ∆ε. Allerdings ist ∆ε selbst eine Funktion der Source-Drain-Spannung, da
sich die Form des Potentials der Struktur ständig ändert. U.U. kann kein zweiter Peak
auftreten, wenn der deformierte Potentialtopf keinen zweiten gebundenen Zustand mehr
erzeugt.
B) Quanten-Punkt (QD) und Einzel-Elektron-Transistor (SET)
Quanten-Punkt: Dimensionalit¨at ist in allen drei Richtungen reduziert. Elektronen sind völlig eingesperrt, d.h. sie haben keinen klassischen Freiheitsgrad
mehr. Die elektronischen Zust¨ande sind in allen drei Dimensionen quantisiert.
Die Anregungsenergien ∆εx , ∆εy und ∆εz sind gross, ebenso die Additionsenergie
A, da der mittlere Elektronenabstand r im Dot durch das einsperrende Potential klein gehalten wird. Die elektronische Struktur von Quanten-Punkten kann
starke Ähnlichkeiten mit der von Atomen aufweisen, daher spricht man auch von
künstlichen Atomen. Insbesondere liefern die Austausch-Wechselwirkung und
die Elektron-Elektron-Korrelation starke Beitr¨age zur Gesamtenergie. Die Anregungsenergien representieren keine Einteilchen-Zust¨ande mehr, sondern Vielteilchenzust¨ande der N Elektronen im Dot.
Einzel-Elektron-Transistor: 3-Terminal-Bauelement analog zum gewöhnlichen
MOSFET. Dimensionalit¨at ist in keiner Richtung (wesentlich) reduziert. Die
zentrale Insel des SETs enth¨alt typischerweise Millionen von Elektronen. Am
weitesten verbreitet sind SETs mit metallischen Inseln. Da der Quantisierungseffekt schwach ist oder gar nicht existiert, gilt für den SET: A ∆ε. Diesen Grenzfall nennt man Coulomb-Blockade, ein rein klassischer Effekt der elektrostatischen Abstossung der Elektronen untereinander, der verhindert, dass bei zu kleiner
1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE
11
RTToperation.ps
101 141 mm
a) Schematischer Querschnitt eines Resonant-Tunnel-Transistors (lateraler Typ).
b) Das Band-Schema ist ähnlich dem der RTD.
c) Im Unterschied zur RTD existiert eine dritte Elektrode (Gate), mit der man die Lage
der Energie-Niveaus relativ zum Fermi-Niveau in der Quelle verändern kann. Insbesondere kann man bei fester Source-Drain-Spannung durch kontinuierliche Änderung der
Gate-Spannung die Energie-Niveaus des Quantentopfes in Resonanz mit den besetzten
Zuständen in der Quelle bringen. Allerdings werden auch die Potentialbarrieren von der
Gate-Spannung beeinflusst.
12
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
QDgate.epsi
98 43 mm
GaAs
1
AlGaAs
QD auf der Basis einer GaAs/AlGaAs Heterostruktur. Das einsperrende Potential wird
durch planare metallische Gates erzeugt (Stanford University).
QDox.epsi
90 49 mm
QD auf der Basis einer Silicon-On-Insulator (SOI) Heterostruktur. Das einsperrende
Potential wurde durch “pattern-dependent oxidation” eines Silizium-Quantendrahts
erzeugt (Princeton University).
Source-Drain-Spannung ein zus¨atzliches Elektron auf die Insel tunneln kann (daher der Begriff “Blockade”). Ein Strom kann erst einsetzen, wenn die SourceDrain-Spannung die Additionsenergie erreicht. Den Spannungsbereich, wo kein
Strom fliessen kann, nennt man Coulomb gap. Die Tunnel-Barrieren verhindern,
dass sich Elektronen gleichzeitig über Source, Drain und Insel ausbreiten können.
Deshalb ist der Tunnelprozess immer sequentiell: Ein Elektron muss aus der Insel ins Drain tunneln, bevor das n¨achste von der Source auf die Insel tunneln
kann. Man spricht von (r¨aumlich) korreliertem Tunneln. Dieser Vorgang wiederholt sich millionenmal pro Sekunde, so dass ein messbarer Strom durch die Insel
fliesst.
Bleibt die Source-Drain-Spannung kleiner als die Additionsenergie, spricht man
vom Coulomb-Blockade-Regime. Durch Anlegen einer Spannung am Gate kann
man die Coulomb-Blockade aufheben und die Zahl der Elektronen auf der Insel ¨andern, z.B. von N-1 zu N. Dies geschieht bei bestimmten kritischen Werten
1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE
13
Gate
QDflash.epsi
99 58 mm
Dot
Channel
Drain
Source
Oxide
QD flash memory: Das Speicher-Gate besteht aus einer poly-Si-Insel.
(a)
I
e
2CΣ
V
e
2CΣ
PSfrag replacements
(b)
I
V
e
2CΣ
3e
2CΣ
5e
2CΣ
a) “Coulomb gap” und I-V-Kennlinie eines SETs mit symmetrischen Tunnel-Barrieren.
Für Source-Drain-Spannungen betragsmässig kleiner als die halbe Additionsenergie
e2 2CΣ kann kein Strom fliessen.
b) Schematische “Coulomb staircase”, die I-V-Kennlinie eines SETs mit stark asymmetrischen Tunnel-Barrieren bei T=0 K. Der Abstand der Stufen ist gleich der Additionsenergie e2 CΣ .
der Gate-Spannung, wo sich gleichzeitig N-1 oder N Elektronen auf der Insel befinden dürfen (Entartungspunkte) und bewirkt einen plötzlichen Strom
14
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
von Source nach Drain, der bei weiterer Erhöhung der Gate-Spannung aber
sofort wieder verschwindet (wegen der Coulomb-Blockade!). Die Elektronenzahl hat sich dabei auf den Wert N stabilisiert. Der Source-Drain-Strom wird
also durch kleinste Änderungen der Gate-Ladung ein- und ausgeschaltet. Die
dazu nötige Änderung der Gate-Ladung kann eine einzige, ja selbst nur einen
Bruchteil der Elementarladung ausmachen, worauf der Name “Einzel-ElektronTransistor” zurückgeht. Da der Strom auf einzelne Gate-Ladungen reagiert, kann
der Verst¨arkungsfaktor (gain) des SETs extrem gross sein!
ivg.epsi
96 48 mm
I-Vg -Kennlinie eines SETs im Coulomb-Blockade-Regime bei T 0 K. Bei den GateN 1 2 e Cg treten Strom-Peaks auf, da die Coulomb-Blockade
Spannungen Vg
aufgehoben ist. Die Peaks sind umso schärfer, je tiefer die Temperatur ist. Ihr Abstand
ist gleich e Cg . Die Höhe hängt von der Source-Drain-Spannung und dem Widerstand
der Tunnel-Barrieren ab.
Physik des SETs: Ultra-Short Course
Um die Form der Kennlinien eines SETs besser zu verstehen, betrachten wir die
charakteristischen Energien im einfachsten physikalischen Modell (dem sogenannten orthodoxen Modell). In diesem Modell werden sowohl Quantisierungseffekte als auch die Vielteilcheneffekte der Austausch-Wechselwirkung und Korrelation vernachl¨assigt.
Ein System aus N Elektronen hat die Coulomb-Energie
Ucoul N 0
eN
dQ Φ Q (1.8)
wobei Φ Q das elektrostatische Potential der Insel mit der Ladung Q unter dem
Einfluss externer Gates ist:
Q Cg
Φ Q
Vg
(1.9)
CΣ CΣ 1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE
15
CΣ ist die Summe aus Gate-Kapazit¨at und Insel-Kapazit¨at C
Σ
Einsetzen erh¨alt man
Ucoul N eN 2
2CΣ
eN
Cg
Vg
CΣ
Cisland
Cg . Nach
(1.10)
Im thermodynamischen Sinne ist Ucoul N gleich der freien (Gibbs) Energie F N (im hier betrachteten orthodoxen Modell); der erste Term ist die elektrostatische
Energie der Insel, der zweite Term ist die Arbeit, die die Spannungsquelle am
Gate verrichtet. Die Differenz
F N
1
F N
µ N
(1.11)
heisst chemisches Potential und ist gleich der Energie, die aufgebracht werden
muss, um dem (N-1)-Elektronen-System ein weiteres Elektron zuzuführen. Man
erh¨alt
1
2
e2
N
CΣ
µ N
e
Cg
Vg
CΣ
(1.12)
Die Änderung des chemischen Potentials mit der Elektronenzahl haben wir oben
als Additionsenergie A bezeichnet
µ N
1
µN
e2 CΣ
A
(1.13)
Die Coulomb-Staircase der I-V-Kennlinie und die Strom-Peaks der I-V g Kennlinie kann man nun folgendermassen verstehen:
I-V-Kennlinie eines SETs mit stark asymmetrischen Tunnel-Barrieren (EinzelElektron-Box):
Generell kann es nur dann zum Strom kommen (Ladungstr¨ager-Austausch zwischen Insel und Source/Drain), wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Insel N
Elektronen enth¨alt, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass sie N - 1 Elektronen
enth¨alt. Die Elektronenzahl fluktuiert dann zwischen N und N - 1. Die Gleichheit
dieser Wahrscheinlichkeiten führt auf die Bedingung
µ N
EF
(1.14)
wobei EF das Fermi-Niveau in Source/Drain ist. Sei EF drain 0, dann ist
EF source eV . Die Gate-Spannung sei Null. Aus Eq. (1.12) und Eq. (1.14) erh¨alt
man
V N
e
N
CΣ
1
2
(1.15)
16
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
als diejenigen Spannungen, bei denen sich die Zahl der nicht-kompensierten
Elektronen auf der Insel um 1 ¨andert. N = 1 definiert das Coulomb gap. Die
Zeitkonstante des korrelierten Tunnelns wird mit steigender Spannung V V(1)
kontinuierlich kleiner, was zu einem kontinuierlichen Anstieg des Stroms in
diesem Spannungsbereich führt. Der Anstieg wird vom Widerstand der dicken
Tunnel-Barriere bestimmt.
I-Vg -Kennlinie eines SETs bei verschwindend kleiner Source-Drain-Spannung:
In diesem Fall ist EF drain
EF source
0 (wegen der Wahl des EnergieNullpunkts) und Eq. (1.12), Eq. (1.14) ergeben
Vg N e
N
Cg
1
2
(1.16)
als diejenigen Spannungen, bei denen ein Strom-Peak auftritt.
Prinzipielle und praktische Hindernisse in der Nanoelektronik
- Präzision und Uniformität der Strukturen (Tunnel-Barrieren, Inseln) auf
einer Skala von wenigen Nanometern für zuverl¨assiges und gleichartiges
Verhalten einer riesigen Zahl von Bauelementen. Besonders kritisch ist
die exponentielle Sensivit¨at des Tunnelstroms bzgl. Dickenvariationen der
Tunnel-Barrieren.
- Hintergrund-Ladungen akkumulieren sich bevorzugt in der N¨ahe von QDs
und SETs und können ihre Funktion völlig ausschalten.
- Auswahl des Halbleiter-Materials: III-V-Heterostrukturen haben glatte und
saubere Grenzfl¨achen, aber schwache Potential-Barrieren. Die Oberfl¨achen
lassen sich nicht passivieren und sind deshalb Tr¨ager von Ladungen hoher
Dichte, die die Stabilit¨at der Bauelemente stark beeintr¨achtigen. SiO
2 als
natürlicher Isolator auf Silizium ist eine hervorragende Barriere gegen Leckströme, ist jedoch amorph und hat deshalb eine hohe Defektdichte.
- Betriebstemperatur: Für eine Anwendung von Si SETs bei Raumtemperatur müssen die Inseln Abmessungen von höchstens 10 nm haben. Heutige
Quanten-Bauelemente funktionieren deshalb nur bei sehr tiefen Temperaturen.
- Betriebsspannungs-Schwankungen können leicht dazu führen, dass SETs
aus der “Resonanz” geraten und so unbeabsichtigt vom “on-state” in den
“off-state” umschalten.
1.2. QUANTEN-TRANSPORTGLEICHUNGEN
1.2 Quanten-Transportgleichungen
17
Beispiel: Wigner-Boltzmann-Gleichung
Die allgemeinste Beschreibung eines quantenmechanischen Systems erfolgt mit
Hilfe der sogenannten Dichtematrix
ρ̂
ψ ψ
ψ sei die Wellenfunktion eines abgeschlossenen Systems. (Zust¨ande eines Systems, die durch Wellenfunktionen beschrieben werden können, heissen reine
Zust¨ande. Die Formulierung mittels Dichtematrix erlaubt auch die Beschreibung
von gemischten Zust¨anden. Hier seien nur reine Zust¨ande betrachtet.) Die triviale
Zeitabh¨angigkeit der Wellenfunktionen gem¨ass Eq. (1.3) wird der Kürze halber
nicht mitgeschrieben.
Wendet man die zeitabh¨angige Schrödinger-Gleichung auf die Dichtematrix
an, erh¨alt man ihre Bewegungsgleichung
∂
ρ̂
∂t
i
Ĥ ρ̂
Dabei ist a b
ab ba der Kommutator. Zur sogenannten Ortsdarstellung
gelangt man nach folgender Vorschrift:
r2 ρ̂ r1
r2 ψ ψ r1
def
ψ r 2 ψ r1 Durch Übergang zu Schwerpunktskoordinaten
r1
R
r
2
r2
R
r
2
und anschliessende Fouriertransformation bzgl. r entsteht die Wigner-Funktion
(Wigner, 1932)
1
2π fW p R t Eigenschaften:
d rψ R
3
3
r
r exp
ψ R
2
2
i
p r
(1.17)
1) fW ist reell fW
fW , aber nicht positiv (eine Konsequenz der Heisenbergschen Unsch¨arferelation, Wigner 1967).
2)
d pf
p R t sraum (Dichte).
3
W
ψ R t 2 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Ort-
18
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
3)
d Rf
3
W
1
2π
1
2π
p R t 3 d 3 r d 3 R ψ R
r ψ R r exp 2
2
i
p r
1
2
d r d r ψ r ψ r exp p r r ψ p t ψ p t ψ p t ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Im
3
3
3
1
2
2
i
1
2
pulsraum.
Ableitung der Bewegungsgleichung:
Wir setzen abkürzend ψ
ψ R r 2 und ψ
Zeitableitung der Wigner-Funktion ergibt
∂
fW p R t ∂t
1
2π ∂ψ
ψ
∂t
3
d r
3
ψ R
∂ψ
ψ
∂t
r 2 . Die explizite
exp
i
p r
Die Zeitableitungen auf der rechten Seite werden durch die jeweilige
zeitabh¨angige Schrödinger-Gleichung ausgedrückt, d.h.
∂ψ
∂t
∂ψ ∂t
1
i
1
i
2
2m
2
2m
∇2R
∇2R
r 2 ψ
V R
r 2 ψ
V R
Nach dem Einsetzen wird die Ableitung bzgl. R auf eine Ableitung bzgl. r
umgew¨alzt, z.B.
∇2R ψ ψ 4 ∇2r ψ ψ und eine partielle Integration nach r durchgeführt. Dabei verschwinden die Terme
im Unendlichen wegen der Annahme, dass die Wellenfunktionen dort Null sind
und es bleibt
i
∂
1
2i 3
fW p R t ∇r ψ ∇r ψ e p r d r
3
∂t
2π m
i
i
2i i ∇r ψ ∇r ψ e p r V
V ψ ψ e p r
m
Werden nun die Ableitungen bzgl. r ausgeführt und kehrt man danach wieder zur
Ableitung nach R zurück, folgt
∂
fW p R t ∂t
p
∇R fW p R t m
i 1
d 3 r V
V
3
2π ψ ψ e i
p r
1.2. QUANTEN-TRANSPORTGLEICHUNGEN
19
Um den letzten Term durch die Wigner-Funktion selbst ausdrücken zu können,
wird das Potential V R r 2 in eine Taylor-Reihe bzgl. r entwickelt:
r 2
V R
λ λ λ
R r1 1 r2 2 r3 3
∂Rλ1 ∂Rλ2 ∂Rλ3 λ1 !λ2 !λ3 !
∂ λ1
∑
λ
λ2 λ3 V
1
2
1
2
3
λ1 λ2 λ3
(1.18)
V in der Bewegungsgleichung bleiben nur Glieder
Wegen der Differenz
V übrig, für die 1λ λ2 λ 3 ungerade
ist. Beschr¨
ankt
man sich auf die ersten
beiden Terme, also auf λ1 λ2 λ3 1 und λ1 λ2 λ3 3, folgt
V
V
∇ RV
R r
1
4λ
1
∑
λ2 λ3 3
λ λ λ
R r1 1 r2 2 r3 3
∂Rλ1 ∂Rλ2 ∂Rλ3 λ1 !λ2 !λ3 !
∂ λ1
λ2 λ3 V
1
2
3
Nach Einsetzen in die Bewegungsgleichung und Generierung der Komponenten von r durch partielle Ableitung nach den Komponenten des Impulses p
entsteht die endgültige Form der Wigner-Boltzmann-Gleichung mit erstem nichtverschwindenden Quanten-Korrekturterm:
∂
∂t
2
4
p
∇R
m
∇RV R ∇p fW p R t ∂3V R ∑
λ1
λ2
λ3
λ1 λ2 λ3 3 ∂R1 ∂R2 ∂R3
(1.19)
1
∂3 fW p R t λ1 !λ2 !λ3 ! ∂pλ1 ∂pλ2 ∂pλ3
1
2
3
0
Die niedrigste Quantenkorrektur ist 2 und verschwindet für Potentiale, die
höchstens quadratisch von den Koordinaten abh¨angen (harmonische Potentiale).
In diesem Fall reproduziert sich die klassische, stossfreie Liouville-Gleichung.
Symbolisch schreibt man dafür
∂
∂t
v
∂R∂ F ∂p∂ f
0
(1.20)
Der zweite Term beschreibt Diffusionsprozesse, der dritte Driftprozesse. Die
rechte Seite ist Null wegen der Voraussetzung der Stossfreiheit (abgeschlossenes
System).
Das Auftreten eines Terms mit dritter Ableitung nach den Koordinaten in
der Wigner-Boltzmann-Gleichung ist Ausdruck der Nicht-Lokalit¨at der Quantenmechanik.
20
CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT
PSfrag replacements
Free energy F
Charge Q
Gate voltage Vg
Vg
N
Vg
N
Vg
N
Vg
N
1 Ceg
3 e
4 Cg
1 e
2 Cg
1 e
4 Cg
N
1e
Ne
0
EF
µN
EF
e
Freie Energie als Funktion der Ladung auf der Insel für vier verschiedene GateSpannungen (oben). Bei Vg
N 1 2 e Cg existieren zum selben Wert der freien
Energie zwei Ladungszustände (Entartung). Es kann ein Strom fliessen. In dieser Situation ist das chemische Potential µ N gleich dem ¨ausseren Fermi-Niveau (unten).
1.2. QUANTEN-TRANSPORTGLEICHUNGEN
21
(a)
vertdotall.epsi
133 111 mm
(c)
a) Schematische Darstellung eines vertikalen QDs mit unterschiedlichen Barrieren.
b) Energie-Quantisierung und Vielteilcheneffekte bestimmen wesentlich die Kennlinien. Man erkennt an der I-Vg -Kennlinie die Schalenstruktur des Energiespektrums,
die Ähnlichkeit mit der eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators aufweist.
Gefüllte Schalen gibt es zu den Elektronenzahlen N 2 6 12.
c) Coulomb staircase (I-V-Kennlinie).
2 Boltzmann-Gleichung
2.1 “Ableitung”
dz
out
in
dx
x
dy
x + dx
Streuung
streuung.epsi
114 89 mm
dvz
dvx
vz
dvy
v
v’
vy
vx
Ziel ist die Aufstellung einer Bilanzgleichung im Phasenraum (drei Ortskoordinaten x, y und z, drei Geschwindigkeitskoordinaten vx , vy und vz ) für die Zahl der
Elektronen (Löcher, allgemein: Teilchen), die sich zur Zeit t im Raumelement d3 r
am Ort r und im Geschwindigkeitselement d 3 v zur Geschwindigkeit v befinden.
22
2.1. “ABLEITUNG”
23
Diese Zahl bezeichnen wir mit
f r v t d 3r d 3 v
(2.1)
f r v t ist die klassische Verteilungsfunktion, d.h. Ort und Impuls sind gleichzeitig scharf messbar. Die Teilchen bewegen sich auf klassischen Trajektorien.
Bilanz im Ortsraum:
Die Zahl der Elektronen, die in den infinitesimalen Würfel mit den Kantenl¨angen
dx, dy, dz in x-Richtung
an der Stelle x im Zeitintervall dt hineinfliegen (“in”)
und an der Stelle x dx in diesem Zeitintervall wieder herausfliegen (“out”), ist
f r v t d 3 v vx dt dy dz
in :
f x
out :
dx y z v t d v vx dt dy dz
3
weil sie in dt die Strecke dx vx dt zurücklegen. Der Netto-Zuwachs an Elektronen am Ort r ist dann gleich in out, d.h.
vx f x dx y z v t ∂f
vx d 3 v d 3 r dt
∂x
v ∇r f d 3 v d 3 r dt
oder in 3D :
f r v t d 3 v dy dz dt
(2.2)
In analoger Weise betrachtet man die
Bilanz im Geschwindigkeitsraum:
Man erh¨alt einen Netto-Zuwachs an Elektronen mit der Geschwindigkeit v
oder in 3D :
v̇x f r vx dvx vy vz t ∂f 3 3
v̇x
d v d r dt
∂vx
v̇ ∇v f d 3 v d 3 r dt
f r v t d 3 r dvy dvz dt
(2.3)
Die Elektronen werden im Zeitintervall dt unter dem Einfluss eines
¨ausseren
Feldes beschleunigt und ¨andern ihre Geschwindigkeit von v nach v dv. Nach
Newton gilt
v̇
F0
m
eE
m
(2.4)
wobei F0 die einwirkende Kraft ist, die im Falle eines elektrischen Feldes E den
Wert eE hat.
Die Zahl der Elektronen mit der Geschwindigkeit v am Ort r kann aber
auch auf andere Art ge¨andert werden. Die Elektronen werden gestreut und
24
CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG
¨andern dadurch ihre Geschwindigkeit am Ort r von v nach v (wenn sie aus dem
Geschwindigkeitswürfel bei v herausgestreut werden), bzw. von v nach v (wenn
sie hineingestreut werden). Man erh¨alt
in :
∑ S v v v
∑ S v v out :
v
f r v t d 3 r d 3 v dt
(2.5)
f r v t d 3 r d 3 v dt
(2.6)
für die Änderung
der Elektronenzahl im Zeitintervall dt infolge von Stössen.
v (DimenDabei ist S v v die Streuwahrscheinlichkeit für die Streuung v
sion: s 1 ). S ist also ein Mass für die H¨aufigkeit der Streuung.
Alles zusammen, d.h. die Ausdrücke (2.2), (2.3), (2.5) und (2.6), ergeben die
explizite zeitliche Änderung der Elektronenzahl
im Phasenraumelement d 3 r d 3 v
w¨ahrend des Zeitintervalls dt, also ∂t∂ f r v t d 3 r d 3 v dt
∂
∂t
v ∇r
F0
∇v f r v t m
∑ S v v f r v t v
S v v f r v t (2.7)
(Ludwig Boltzmann, 1872).
Die Boltzmann-Gleichung (BG) ist eine komplizierte Integro-Differentialgleichung. Die “Ableitung” zeigt, dass man implizit r¨aumliche und zeitliche Lokalit¨at
annimmt. Zeitliche Lokalit¨at bedeutet, dass die Stösse instantan sind, r¨aumliche
Lokalit¨at bedeutet, dass die Stösse auf einer Ausdehnung der L¨ange Null stattfinden. In sehr grossen elektrischen Feldern ( 107 V cm) sind diese Annahmen
nicht mehr gerechtfertigt (intra-collisional field effect).
In der Bauelemente-Modellierung werden folgende Erweiterungen gemacht:
∇k E k - Die Geschwindigkeit wird als Gruppengeschwindigkeit v
standen.
ver-
- E k ist durch die realistische Bandstruktur des Halbleiters gegeben.
- Für die Streuwahrscheinlichkeiten S v v der einzelnen Streuprozesse werden die quantenmechanischen Übergangswahrscheinlichkeiten pro Zeiteinheit verwendet.
- Im Stossterm
der BG (rechte
Seite) wird f r v t 1 f r v t f r v t und f r v t 1 f r v t f r v t ersetzt. Damit wird das PauliPrinzip berücksichtigt, d.h. die Endzust¨ande dürfen beim Stossprozess nicht
besetzt sein (Fermi-Statistik).
2.2. METHODEN DER DIREKTEN LÖSUNG
25
2.2 Methoden der direkten Lösung
2.2.1 Relaxationszeit-N¨aherung
- Die Streuwahrscheinlichkeit
in allen
S sei gerade
GeschwindigkeitsS v v S v v S v v . (Gilt nicht
komponenten: S v v für alle Streuprozesse und für bestimmte nur n¨aherungsweise.)
- Man zerlegt die Verteilungsfunktion
f in einen geraden Anteil f
ungeraden Anteil f 1
f
0
f
f
1
mit
0
f
f
1
v
0
f
v
f
1
v
v
∑
v
0
r v t S v v f
0
S v v f
r v t Der Term mit f 1 r v t verschwindet, weil f
gerade Funktion in der Geschwindigkeit v ist.
1
und einen
- Einsetzen in den Stossterm der BG ergibt
S v v f
0
1
r v t eine ungerade und S eine
- Im thermodynamischen Gleichgewicht ist f 0 die GleichgewichtsVerteilungsfunktion (Maxwell-Boltzmann-Verteilung). Die eckige Klammer verschwindet dann wegen des Prinzips der detaillierten Balance (Zahl
der herausgestreuten gleich Zahl der hineingestreuten Teilchen).
- Definition totale (mikroskopische) Relaxationszeit:
1
τtot v ∑ S v v
v
- Damit wird der Stossterm symbolisch
∂f 0
∂t f
coll
1
τtot v Beispiel: Stationäre, homogene BG, linearisiert im elektrischen Feld E
Ist das elektrische Feld
E hinreichend schwach, kann man die BG in E lin
0
earisieren, d.h. f
ist dann identisch mit der Gleichgewichts-Verteilung und
26
CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG
f 1 h¨angt nur linear von E ab. Beschr¨ankt man sich weiter auf den r¨aumlich und
zeitlich homogenen Fall, reduziert sich die BG auf
eE
∇v f
m
0 f 1 v
τtot v v
(2.8)
Zur weiteren Vereinfachung ersetzen wir τtot v durch eine Konstante τtot und
führen die Grösse Beweglichkeit µ eτ
tot m ein. Für die Stromdichte der Elektronen folgt
jn
ev
e ∑ f v v
v
e∑ f
v
1
v v
eµ ∑ v E ∇v f
v
0
v
Nach partieller Integration erh¨alt man
eµ ∑ f
v
jn
0
v E
eµ n E
σn E
(2.9)
also das
Ohmsche Gesetz. Dazu wurde die Definition der Elektronendichte n
∑v f 0 v und der Leitf¨ahigkeit σn eµ n benutzt.
2.2.2 Monte-Carlo-Methode
- Man verfolgt Trajektorien der einzelnen Elektronen und l¨asst sie nach dem
Zufallsprinzip streuen.
- Alle zu betrachtenden Streumechanismen (Phononen, Störstellen, ...) werden durchindiziert. Die Streurate des α-ten Mechanismus ist
∑ Sα v v def
v
1
τα v - Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron bis zur Zeit t + dt nicht gestreut
wurde, ist
Pt
dt P t P dt P t 1
dt ∑ S v v
v
(dt ∑v S v v dt ∑α τα 1 v ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron
im Zeitintervall dt gestreut wurde.)
2.2. METHODEN DER DIREKTEN LÖSUNG
27
a)
x(t)
⟨x⟩
c)
y
trajectory
t
trajectory.ID.epsi
111 78 mm
b)
v(t)
x
⟨v⟩
t
Schematische Darstellung der stochastischen Bewegung eines Elektrons im Falle reiner
Diffusion (kein Feld). a) x t -Diagramm. b) v t -Diagramm: Nach jedem Stoss hat die
Geschwindigkeit einen neuen, konstanten Wert. c) Trajektorie in der x-y-Ebene.
- Daraus folgt die Differentialgleichung
dP
dt
P ∑ S v v v
mit der Lösung (man
beachte, dass P(0) = 1)
P t
t
exp
dt
0
∑ S v v im Intervall 0 t
v
(2.10)
Die Zeit t ist also gleich der freien Flugzeit t f vom Anfangszeitpunkt t 0
an gerechnet. P nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, ist also eine echte
Wahrscheinlichkeit. Sie kann durch Zufallszahlen r f zwischen 0 und 1
beschrieben werden.
- Auf diese Weise kann die zufällige freie Flugzeit t f eines Elektrons aus
tf
dt
0
1
τtot v t
ln r f
(2.11)
28
CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG
berechnet werden. Die numerische Auflösung dieser Gleichung nach der
oberen Integrationsgrenze t f verbietet
sich jedoch geradezu wegen der kom
plizierten Gestalt von τtot v t . Deshalb führt man eine fiktive Selbst
Streuung
S f ict v v Γ
S f ict v Γ
δvv
∑ S v v v
1
τtot v 0
ein, die wegen δvv offenbar den Zustand des Elektrons nicht ver¨andert (daher der merkwürdige Name “Selbst-Streuung”). Das Hinzufügen von Sf ict
zur BG hat keine Wirkung, da sich in-scattering- und out-scattering-Term
kompensieren. Der Sinn der Einführung von Sf ict wird sofort deutlich: Die
1 v S f ict v Γ const und GleGesamt-Streurate ist nun n¨amlich τtot
ichung (2.11) für die freie Flugzeit vereinfacht sich zu
ln r f
Γ
d.h. der numerische Aufwand reduziert sich auf die Berechnung des Logarithmus der Zufallszahl. In der Praxis nimmt man für Γ die obere Grenze
der Streurate aller realen Prozesse.
tf
- Nach der Zeit t f wird das Elektron gestreut. Es muss ein bestimmter
Streumechanismus ausgewürfelt werden. Der α-te Mechanismus (inclusive
der Selbst-Streuung) wird mit Hilfe der Zufallszahl rs über die Ungleichung
1
∑ τj
α 1
rs Γ
j 1
α
1
∑ τj
bestimmt. Veranschaulichung:
zB α
2 iv wenn
(2.12)
j 1
1
τac
rs Γ
1
τac
1 τiv
Um so st¨arker ein bestimmter Streumechanismus, um so grösser 1 ατ und
um so grösser die Wahrscheinlichkeit, dass er ausgewürfelt wird. Die ganze
Physik wird also in die Wichtung gesteckt.
- Der Endzustand nach der Streuung (v ) muss unter den Restriktionen der
Energie- und Impulserhaltung für das Gesamtsystem der Stosspartner ausgew¨ahlt werden. Wenn eine Hyperfl¨ache existiert, muss der konkrete vVektor ausgewürfelt werden, z.B. im Falle der elastischen Streuung ( v 2.2. METHODEN DER DIREKTEN LÖSUNG
j=
Type =
1
ac
Rate =
τ ac
1
2
iv
1
29
3
imp
τ iv
1
streumech.ID.epsi
τ imp
100 33 mm
4
ee
5
self-scatt.
1
Sfict
τ ee
Γ
0
rs Γ
v ) der Elektronen in Silizium ein bestimmtes Tal und ein bestimmter
Winkel:
v
endzustand.ID.epsi
61 58 mm
v’
- Die makroskopischen Grössen, wie mittlere Driftgeschwindigkeit,
Stromdichte, Elektronentemperatur, ...
werden nach gewissen
(Beobachtungs-) Zeitintervallen ∆t durch Ensemble-Mittelung bestimmt.
30
CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG
mc-flow.epsi
132 162 mm
Fluss-Diagramm einer Monte-Carlo-Simulation für den Fall eines homogenen Halbleiters.
3
Momenten-Methode
3.1 Hydrodynamische Transportgleichungen, Drift-DiffusionsModell
Ziel
ist die Ableitung von kinetischen Gleichungen für Mittelwerte einer Funktion
Φ v
Φ
d v Φ v f r v t d v f r v t 3
1
n r t 3
d3v Φ v f r v t (3.1)
aus der Boltzmann-Gleichung.1 Dabei geht ein betr¨achtlicher Teil an Information
verloren (n¨amlich der über die Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen), aber
die Gleichungen werden einfacher und numerisch schneller lösbar. Φ bleibt
natürlich eine Funktion von r und t, was
wir nicht explizit mitschreiben. Wir
betrachten jetzt das Produkt aus Dichte n r t und dem Mittelwert Φ und leiten
dieses Produkt explizit nach der Zeit ab:
∂ nΦ
∂t
∂
∂t
d3v Φ v f r v t d3v Φ v ∂ f r v t ∂t
Für ∂ f ∂t setzen wir die Boltzmann-Gleichung
(2.7) ein, wobei wir den
l¨anglichen Stossterm mit der Bezeichnung ∂ f ∂t coll abkürzen:
∂ nΦ
∂t
d v Φ v
3
∇r
d3v Φ v v f
v ∇r f
F0
m
F0
∇v f
m
d 3 v Φ v ∇v f
∂f ∂t
∂
∂t
coll
d3v Φ f coll
Um alle Terme auf der rechten Seite wieder durch Mittelwerte ausdrücken zu
können, darf keine Ableitung von f unter dem Integral stehen. Im zweiten Term
1 Diese
Ableitung folgt der von K. Bløtekjær (IEEE TED 17, 38 (1970)) vorgeschlagenen Methode.
31
32
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
muss daher eine partielle Integration durchgeführt werden
d 3 v Φ v ∇v f
(man beachte, dass f für v des Mittelwerts (3.1), folgt
∂ nΦ
∂t
∇r
∞ verschwindet). Benutzt man jetzt die Definition
n vΦ
F0
n
m
∇v Φ
was man in verallgemeinerter Form als
∂ nΦ
∂t
d 3 v ∇v Φ v f
∇r j Φ
nF Φ
∂
nΦ
∂t
∂
nΦ
∂t
(3.2)
coll
(3.3)
coll
schreiben kann. Diese Gleichung ist eine Bilanzgleichung für die verallgemeinerte Dichte n Φ . Ihre explizite zeitliche Änderung ist mit der Divergenz einer
n v Φ und dem Auftreten einer verallgeverallgemeinerten Stromdichte j Φ
meinerten treibenden
Kraft F Φ F0 ∇vΦ m verknüpft.
W¨ahlt man Φ v speziell als Potenz der Geschwindigkeit, d.h. vm , erh¨alt
man eine Hierarchie von Erhaltungss¨atzen für Teilchendichte (m=0), TeilchenStromdichte (m=1), Energiedichte (m=2) und Energie-Stromdichte (m=3).
Man nennt n vm das m-te Moment von v und die entsprechende Gleichung dafür
das m-te Moment der Boltzmann-Gleichung.
Sprechen von jetzt ab wieder von Elektronen (Index n).
m=0
Φ
v0
1
j
Φ
n v
jn e
FΦ
0
Einsetzen in Gleichung (3.3) liefert den Erhaltungssatz für die Elektronendichte
n (Kontinuitäts-Gleichung):
∂n
∂t
1
∇r jn
e
(jn ist die elektrische Stromdichte).
∂n ∂t
coll
(3.4)
3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN,
DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL
33
m=1
Betrachten zun¨achst nur die x-Komponente von v.
Φ
v1x
vx
jΦ
n v vx
FΦ
F0 x
mn
Um ∇r j Φ zu berechnen, zerlegen wir die Geschwindigkeit in die Summe aus
Mittelwert und Abweichung vom Mittelwert:
v
v
δv
Offenbar gilt δv
0. Der erste Term ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, der zweite Term beschreibt die zuf¨alligen Fluktuationen der ElektronenGeschwindigkeit um diesen Wert herum. Man könnte auch sagen, δv ist ein Mass
für die chaotische Bewegung. Die Zerlegung führt auf
jΦ
n v vx
n v vx
n
v
δv n δv δvx
vx
δvx (3.5)
Bei der Anwendung der Divergenz muss man beachten, dass s¨amtliche Mittelwerte Funktionen von r sind. Auf den ersten Term wird die Produktregel bzgl. der
Faktoren n v und vx angewendet:
n v ∇r j Φ
vx ∇r
n v ∇r vx
∇r
n δvδv
x
Geht man jetzt zum Vektor v über, erh¨alt man für das 1. Moment der BG
∂ nv
∂t
F0
n
mn
n v v ∇r
∂
nv
∂t
n v ∇r v
∇r
n δv
δv
(3.6)
coll
Wir definieren jetzt die mittlere Elektronen-Temperatur (am Ort r) über die mittlere kinetische Energie der chaotischen Bewegung:
1
kB T̂n
2
mn
δv
2
δv
(3.7)
T̂n ist der Temperatur-Tensor, kB die Boltzmann-Konstante. Multipliziert man
Gleichung (3.6) noch mit der Ladung des Elektrons (-e), folgt der Erhaltungssatz
für die Elektronen-Stromdichte
∂ j
∂t n
v ∇r jn
j
n
∇
r
v
e
∇r nkB T̂n
mn
e2 E
n
mn
∂jn ∂t
coll
(3.8)
34
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
m=2
Berechnen zuerst den Mittelwert Φ für diesen Fall.
δv v2
v
mn δv
δv ist der letzte Term
Wegen kB T̂n
Φ
Φ
2
v
δv 2
2
v
2
2 v δv
δv 2
δv 2
1
Sp kB T̂n mn
wobei Sp die Spur des Tensors bedeutet (Summe der Diagonalelemente der “Matrix”). Die mittlere Energie der Elektronen wird als Summe aus einem Driftanteil
und einem W¨armeanteil geschrieben:
wn
mn
v
2
2
1
Sp kB T̂n 2
(3.9)
Wir erhalten also für Φ im Falle m = 2:
Φ
2
wn
mn
Für die verallgemeinerte Stromdichte ergibt sich
jΦ
n v v2
n v
n
v
δv v
2
2 v δv
v δv 2
2 v δv
2 mn 2 mn
nv
v
δv 2
mn 2
2
2
1
nv
wn
Sp kB T̂n mn
2
3
n δv δv 2
2
nv
wn
mn
kB T̂n δv
δv 2 δv δv 2 mn δv
δv 1
Sp kB T̂n 2
n δv δv 2
n δv δv 2
kB T̂n (3.10)
Der letzte Term ist ein Term dritter Ordnung in der Geschwindigkeit, dessen
Berechnung nur mit Hilfe des 3. Moments der BG erfolgen kann. Wir wollen
die Hierarchie jedoch bei m = 2 abbrechen. Dazu muss der Term dritter Ordnung
durch Grössen niedrigerer Ordnung ausgedrückt werden. Physikalisch beschreibt
3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN,
DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL
35
dieser Term offenbar den chaotischen (diffusiven) Transport von W¨arme. Man
macht deshalb den ph¨anomenologischen Ansatz
Qn
mn
n δv δv 2
2
!
κn ∇r Tn
(3.11)
und nennt Qn die konduktive W¨arme-Stromdichte,
sowie κn die thermische
Leitf¨ahigkeit der Elektronen. Dabei ist Tn Sp T̂n 3. Man darf die thermische
Leitf¨ahigkeit der Elektronen nicht mit der thermischen Leitf¨ahigkeit des Halbleiters verwechseln. Letztere tritt in der W¨armeleitungs-Gleichung für das Gitter
auf und ist um Grössenordnungen grösser als κ
n (d.h., das Elektronengas ist ein
schlechter W¨armeleiter). Anwendung der Divergenz auf j Φ ergibt dann
∇r j Φ
2
∇r
mn
vu
n
n kB T̂n v
Qn
mit der Definition für die Energiedichte un n wn . Das 2. Moment der BG
kann man nun hinschreiben. Es liefert den Erhaltungssatz für die Energiedichte
der Elektronen.
mit der Energie-Stromdichte
Sn
v un
∂ un ∇r Sn
∂t
∂un ∂t
jn E
nkB T̂n v
(3.12)
coll
Qn
(3.13)
Sie setzt sich aus einem konduktiven Anteil (Qn ) und einem konvektiven Anteil
zusammen. Letzteren erkennt man daran, dass er proportional zu n v ist, also zur
elektrischen Stromdichte jn . Die Elektronen tragen bei ihrer gerichteten Bewegung Energie mit sich, und zwar ihre mittlere Energie wn und W¨arme-Energie
kB Tn . Der dritte Term auf der linken Seite von Gleichung (3.12) ist die bekannte
Joulesche W¨arme.
Behandlung der Stossterme
Der Stossterm in seiner allgemeinen Form wird geschrieben als
∂
nΦ
∂t
coll
∂Φ
n
∂t
coll
Φ
∂n ∂t
coll
(3.14)
Der erste Anteil beschreibt Stösse, bei denen die Elektronen in den
Leitungsb¨andern verbleiben (Intra-Term), der zweite beschreibt Stösse, die
zu einer expliziten Änderung der Elektronenzahl in den Leitungsb¨andern führen
36
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
(Inter-Term oder Generations-Rekombinations-Term). Die explizite zeitliche
Änderung von n durch Stösse ist gleich der Netto-Generationsrate G R:
∂n ∂t
G
R
coll
Für den Intra-Term machen wir die Relaxationszeit-N¨aherung:
n
∂Φ
∂t
Φ
n
Φ
τΦ
coll
eq
Hier bezeichnet τ Φ eine makroskopische Relaxationszeit, die ein Mass dafür
ist, wie schnell das System der Elektronen in den Gleichgewichts-Zustand Φ eq
zurückkehrt, wenn es im Nichtgleichgewichts-Zustand Φ war.
Das Ergebnis für die ersten drei Momente lautet:
m
m
∂
nΦ G R
∂t
coll
∂
v 1:
n
v G R
nΦ ∂t
τp n
coll
wn
wn eq
mn ∂
2:
nΦ n
2 ∂t
τE n
coll
0:
da v
m
da Φ
wn G
R
1
eq
0
τ p n heisst Impuls-Relaxationszeit (der Elektronen), τE n heisst EnergieRelaxationszeit (der Elektronen). Die mittlere Energie eines Elektrons im
thermodynamischen Gleichgewicht ist natürlich wn eq
3kB TL 2 mit der
Gittertemperatur TL . (Thermische Energie pro Freiheitsgrad
kB TL 2.) Im
Gleichgewicht sind die Elektronen thermalisiert und haben die Temperatur des
Kristallgitters.
Hydrodynamisches Modell
Die endgültige Form des hydrodynamischen Transport-Modells folgt unter
Benutzung folgender Relationen.
µn
e
τp n
mn
(3.15)
kB Tn
µn
e
(3.16)
µn ist die Beweglichkeit der Elektronen.
Dn
3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN,
DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL
37
heisst Einstein-Relation zwischen Diffusions-Koeffizient und Beweglichkeit.
E r
∇r ϕ r (3.17)
ist die Beziehung zwischen elektrischer Feldst¨arke und elektrostatischem Potential ϕ r . Alle Ladungen im Bauelement erzeugen ein D-Feld, das Lösung der
makroskopischen Maxwell-Gleichung
1 ρ r
ε0
∇r D r (3.18)
ist. In dieser Gleichung ist ρ r die lokale Dichte s¨amtlicher “Überschuss”ladungen, d.h.
ρ r
e n r
p r
ND r NA r (3.19)
ionisierter Donatoren ND r , und der
mit der Löcherdichte p r , der Dichte
Dichte ionisierter Akzeptoren NA r . Elektrisches Feld und D-Feld sind über
die statische Dielektrizit¨atskonstante εs miteinander verknüpft:
D r
εs E r (3.20)
wobei εs im allgemeinen Falle ein Tensor ist (wovon wir absehen wollen). Kombination der letzten drei Gleichungen führt auf die Poisson-Gleichung, die zu
jedem Transport-Modell dazugehört:
∇r ε0 εs ∇r ϕ r e n r
p r
ND r NA r (3.21)
Der Temperatur-Tensor T̂n wird noch wie folgt vereinfacht:
T̂n
Tn Î
mit dem Einheits-Tensor Î und der skalaren (ortsabh¨angigen) ElektronenTemperatur Tn .
Wir setzen das 1. Moment des Stossterms in das 1. Moment der BG ein, gehen
zur skalaren Temperatur Tn über und benutzen die Definition der Beweglichkeit.
∂ j
∂t n
v ∇r jn
j
n
∇
r
jn
τp n
v
µn
∇r nkB Tn τp n
ev G
R
en
µn E
τp n
(3.22)
38
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
Nun ist
∂
e nv
∂t
∂
j
∂t n
en
∂
v
∂t
e n
v
v ∇r jn
∂v
∂t
∂n ∂t
R
ev G
Im letzten Schritt wurde die Kontinuit¨ats-Gleichung (3.4) für ∂n ∂t eingesetzt.
Man sieht, dass die beiden letzten Terme zwei identische Terme in (3.22) kompensieren. Es bleibt
en
∂
v
∂t
j
n
∇
v
r
µn
∇r nkB Tn τp n
en
jn
τp n
µn E
τp n
Multipliziert
man die letzte Gleichung mit τ p n , wendet die Produktregel bzgl.
∇r nkB Tn an, benutzt die Einstein-Relation im ∇r n-Term, ersetzt die Feldst¨arke
durch den Gradienten des elektrostatischen Potentials und drückt v wieder
durch jn aus, folgt
jn
∂
nτ p n
∂t
τp n j ∇r e n
jn n
jn n
kB Tn e
eµn n∇r ϕ
eDn ∇r n
(3.23)
Zusammenfassend seien alle Gleichungen des hydrodynamischen TransportModells noch einmal aufgeführt:
∇r ε0 εs ∇r ϕ
∂n
∂t
∂ n wn ∇r Sn jn E
∂t
τp n ∂ jn jn nτ p n
j ∇r ∂t n
e n
Sn
Qn
e n
G
R
τE n
jn n
(3.24)
(3.25)
wn G
eµn n∇r ϕ
3kB TL 2 1
wn
e
NA
ND
1
∇r jn
e
wn
n
p
kB Tn e
R
eDn ∇r n
(3.26)
(3.27)
kB Tn jn
(3.28)
Da wir nur die Elektronen behandelt haben, kommen jetzt noch die entsprechenden Bilanz-Gleichungen für die Löcher hinzu. Man bekommt sie einfach durch
die Ersetzungen n p, e e und Vertauschung der Indizes n p . Der Term, der
3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN,
DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL
39
beide Teilchensorten
am st¨arksten koppelt, ist der Generations-Rekombinations
Term G R , aber auch die Beweglichkeiten µn , µ p sind von der ElektronLoch-Streuung beeinflusst. Dass man überhaupt separate Momentengleichungen
für Elektronen einerseits und Löcher andererseits betrachten darf, setzt voraus,
dass beide Ladungstr¨agersorten nur hinreichend schwach gekoppelt sein dürfen.
Dazu muss die Relaxation innerhalb der Subsysteme viel schneller ablaufen als
Interband-Prozesse. Unter “normalen” Betriebsbedingungen ist dies der Fall.
Die Variablen des hydrodynamischen Transport-Modells sind ϕ, n, p, w n und w p .
Alle sind Funktionen von r und t. Die Poisson-Gleichung ist stark nicht-linear,
da die Dichten exponentiell vom elektrostatischen Potential ϕ abh¨angen. Die
Gleichungen für jn p und Sn p nennt man konstituierende Gleichungen. Alle Gleichungen sind untereinander stark gekoppelt. Besondere numerische Probleme
bereiten die Terme, die quadratisch in jn p sind.
Die Gleichungen sind durch Randbedingungen zu komplettieren. Man unterscheidet künstliche und natürliche Randbedingungen. Erstere sind erforderlich,
weil das Simulationsgebiet immer nur einen Teil des gesamten Bauelements umfasst. Sie müssen so formuliert werden, dass sie keinen Einfluss auf die berechneten Kennlinien haben. Natürliche Randbedingungen braucht man an ¨ausseren
und inneren Grenzfl¨achen, an den Grenzen zu Metall-Kontakten und zu GateOxiden. Diese Randbedingungen werden selbst oft als physikalische Modelle
formuliert.
In den Gleichungen treten eine Reihe von Transport-Koeffizienten auf. Für
diese braucht man physikalische Modelle als Funktion der Betriebsbedingungen
(Temperatur, Dotierung, ...). Diese Modelle müssen die Physik möglichst gut
beschreiben, andererseits aber auch analytisch möglichst einfach sein, um keine
numerischen Probleme zu erzeugen. Konkret benötigt man Modelle für
die Abh¨angigkeit der Dichten n und p vom Potential ϕ (Poisson-Gleichung),
weil in diese Beziehung (direkt oder indirekt) die Energielücke eingeht.
Die Energielücke h¨angt von der Gittertemperatur, der Dotierung und den
Dichten selbst ab.
den Ionisationsgrad der Dotierung NA
ND . Nicht alle elektrisch aktivierbaren (d.h. substitutionell eingebauten) Dotieratome sind auch ionisiert. Der
Ionisationsgrad h¨angt von der Dotierungs-Konzentration und der Gittertemperatur ab. Er kann sogar eine explizite Funktion der Zeit sein (dynamische
Umladungsprozesse).
die Generations-Rekombinations-Raten. Beispiele sind die ShockleyRead-Hall-Rekombination, Stossionisation, Interband-Tunneln, AugerRekombination und defekt-assistiertes Tunneln.
die Beweglichkeiten µn , µ p als die entscheidenden Transport-Parameter
40
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
für MOSFET-Kennlinien. Sie sind Funktionen der Gittertemperatur, der
Dotierung, der Feldst¨arke in Stromrichtung und in MOSFETs auch Funktionen der Feldst¨arke senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfl¨ache.
die Impuls- und Energie-Relaxationszeiten.
die thermischen Leitf¨ahigkeiten der Elektronen und Löcher.
etemp-hyd.epsi
103 66 mm
T-e
K
+5.496e+03
+4.196e+03
+2.897e+03
+1.597e+03
+2.971e+02
Verteilung der Elektronen-Temperatur in einem 0.25µm-MOSFET bei 2 V SourceDrain-Spannung und 1.5 V Gate-Spannung. Simulation im Energie-Balance-Modell.
Energie-Balance-Modell
Für praktische Anwendungen wird das hydrodynamische Transport-Modell
weiter vereinfacht. Man macht folgende N¨aherungen:
j nτ p n ∂t∂ nn 0
τp n
e
∂
∂t
jn ∇r n wn
jn
n
0
0
mn
3
3
2
wn
2 v
2 kB Tn
2 kB Tn
Damit reduziert sich das Transport-Modell zum sogenannten Energie-BalanceModell. Anstelle der Gleichungen (3.26), (3.27) und (3.28) erh¨alt man
3nkB 3 k T G R ∇r Sn jn E
Tn TL (3.29)
B n
2τE n
2
3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN,
DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL
41
kB Tn eDn ∇r n
e
5kB
Tn jn
κn ∇r Tn
2e
eµn n∇r ϕ
jn
Sn
(3.30)
(3.31)
Die System-Variablen sind ϕ, n, p, Tn und Tp . In allen F¨allen, in denen man
Effekte heisser Ladungstr¨ager vernachl¨assigen kann, setzt man nT Tp TL , und
Gleichung (3.30) reduziert sich auf die sogenannte Drift-Diffusions-Gleichung
eµn n∇r ϕ
jn
eDn ∇r n
(3.32)
Zusammen mit Poisson- und Kontinuit¨ats-Gleichung ergibt (3.32) das DriftDiffusions-Modell. Der Name weist natürlich auf die beiden Bestandteile “Drift”
und “Diffusion” in (3.32) hin.
Die N¨aherungen, die vom hydrodynamischen Transport-Modell zum EnergieBalance-Modell führen, bedürfen noch einer physikalischen Interpretation. Die
beiden vernachl¨assigten Terme in der Stromdichte-Gleichung muss man gegen
jn selbst absch¨atzen (erster Term). Betrachtet man nur die Betr¨age und geht zu
Differenzen über, folgt
∆ v ∆t
v und
τp n
∆ v ∆r
1
τp n
(3.33)
Die erste Bedingung bedeutet, dass von aussen induzierte zeitliche Änderungen
von v klein sein müssen gegen die totale Streurate. (Die mittlere Driftgeschwindigkeit relaxiert sehr schnell auf einer Zeitskala, die z.B. durch
Schaltvorg¨ange gegeben ist.) Ein typischer Wert von τp n ist 10 13 s. Damit
w¨are eine Picosekunde etwa die untere Grenze für die Zeitkonstante ¨ausserer
Störungen.
Die zweite Bedingung bedeutet, dass die örtliche Änderung von v klein
sein muss gegen die totale Streurate. Nimmt man für ∆ v die S¨attigungsDriftgeschwindigkeit der Elektronen in Silizium bei Raumtemperatur v n sat
107 cm s, ergibt sich als Bedingung ∆r
10 nm. Diese Bedingung ist in KurzKanal-MOSFETs bereits verletzt.
Die Vernachl¨assigung der expliziten Zeitableitung der Energiedichte ist dann
gerechtfertigt, wenn
∆un
∆t
un
τE n
(3.34)
angenommen werden kann, d.h. die Energie-Relaxationszeit muss immer noch
klein gegen die Zeitkonstante ¨ausserer Störungen bleiben. Ein typischer Wert für
42
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
τE n ist 0.3 Picosekunden.
Die Vernachl¨assigung des Driftanteils der mittleren Energie gegenüber
der mittleren thermischen Energie kann ebenfalls über die S¨attigungs0 3 m0 ergibt sich
Driftgeschwindigkeit begründet werden.
Mit mn
5 7 meV
k Tn , d.h. selbst “kalte” Elektronen (bei 300 K Gittertemperatur)
erfüllen nochB knapp
die Voraussetzung. (Bei 77 K nicht mehr.)
3.2 Thermodynamisches Modell
Dieses Transport-Modell basiert auf den Prinzipien der irreversiblen Thermodynamik. Man sieht das Bauelement als thermodynamisches System aus Elektronen, Löchern und Gitter an. Die Subsysteme seien durch GleichgewichtsVariablen
Tn µcn Tp µcp TL
charakterisierbar. (µcn p sind die chemischen Potentiale.) Die Dichte der inneren
Energie utot des Gesamt-Systems ist eine Erhaltungsgrösse, folglich gilt die Kontinuit¨ats-Gleichung
∂utot
∂t
∇r ju tot
0
(3.35)
mit der totalen Energie-Stromdichte ju tot . (Wir benutzen hier nicht das Symbol
S, um Verwechslungen mit der Entropie S zu
vermeiden.) Zur inneren Energie
gehört auch das elektrostatische Potential ϕ r , das von der Ladungsdichte
ρ r
e n r
p r
ND r NA r erzeugt wird. Die Änderung der Energiedichte des elektrischen Feldes ergibt sich
wegen
d 3 r E δD
Ω
zu
d 3 r ∇r ϕ δD
Ω
E δD
ϕδρ
e dn
!
d 3 r δρ r ϕ
d 3 r ϕ∇r δD
Ω
dp
dND
Ω
dNA (3.36)
Der Beitrag der Donatoren und Akzeptoren wird im folgenden der Einfachheit
halber weggelassen, womit lediglich das System auf die drei oben genannten
3.2. THERMODYNAMISCHES MODELL
43
Subsysteme beschr¨ankt bleibt. Die totaleÄnderung der Entropiedichte aller drei
Subsysteme ist
dstot
dun
Tn
du p
Tp
EF n EF p
dn
dp
Tn
Tp
duL
TL
(3.37)
Der Grund, warum hier anstelle der chemischen Potentiale die Grössen EF n und
EF p auftreten, ist, dass wir wegen Gleichung (3.36) die elektrostatische Energie
eϕ zu den chemischen Potentialen dazugeschlagen haben. Man nennt E F n p
elektro-chemische Potentiale oder auch quasi-Fermi-Energien:
EF
np
r
µcn p r eϕ r (3.38)
Oft werden auch quasi-Fermi-Potentiale verwendet:
φn p
EF
np
wobei das intrinsische Energieniveau Ei
ni eff des Halbleiters definiert ist:
Ei
0
Ec
0
e
0
Ei
0
e
(3.39)
über die effektive intrinsische Dichte
kB Tn ln
ni eff Nc
(3.40)
Im totalen Differential der Entropiedichte (3.37) ist das letzte Vorzeichen “ ”,
weil “System plus Loch” ¨aquivalent ist zu “System minus Elektron”. Aus (3.37)
erh¨alt man sofort die totale Entropie-Stromdichte
js tot
1
1 j 1 j EF n j EF p j
jnu
Tn
Tp pu TL Lu eTn n eTp p
(3.41)
die der Kontinuit¨ats-Gleichung
Πs tot
∇r js tot
∂stot
∂t
(3.42)
44
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
genügt. Hier bezeichnet Πs tot die Erzeugungsrate der totalen Entropiedichte.
Einsetzen von js tot und ∂stot ergibt
Πs tot
j
1
∇r Tn
j
EF n ∇r
eTn
j
1
∇r Tp
pu
∇r
j
1
TL
Lu
EF p jp
(3.43)
eTp
∂u p 1
∂un 1
∂uL ∇r j pu
∇r jLu
∂t
Tp
∂t
TL
∂t
EF p
EF n ∂n EF p ∂p
∇r j p
eTp
Tn ∂t
Tn ∂t n
1
∇r jnu
Tn
EF n
∇r jn
eTn
nu
∇r
Benutzt man den Erhaltungssatz der totalen Energie und die Kontinuit¨atsGleichungen für n und p, folgt
Πs tot
j
1
∇r Tn
nu
j
1
∇r Tp
j
EF n ∇ EF p ∇r
jn
r
qTn
EqTp
1
1
Fp
Π pu
Tp TL
Tp
p
EF n Tn
pu
1
Tn
1
jLu
TL
1
Πnu
TL
G
R
∇r
(3.44)
mit den Energie-Erzeugungsraten Π n p u der Subsysteme der Elektronen und
Löcher. Die letzte Gleichung kann man formal als
∑ ∇FX
Πs tot
X
j
(3.45)
X
schreiben, mit treibenden Kr¨aften, oder Affinitäten ∇FX , und Flüssen jX . Die
Grundannahme besteht nun darin, dass alle Flüsse jX von allen Affinit¨aten ∇F
X
getrieben werden und dass dies mittels des linearen Ansatzes
jX
∂j
∑ ∂ ∇FXY ∇FY IX
Y
∂IX
∑ ∂ ∆FY ∆FY
(3.46)
Y
ausgedrückt werden kann (linear response). Die Proportionalit¨atsfaktoren heissen
kinetische Koeffizienten 1. Ordnung
L̂XY
∂jX
∂ ∇FY and Λ̂XY
∂IX
∂ ∆FY (3.47)
3.2. THERMODYNAMISCHES MODELL
45
Sie sind Tensor-Funktionen der lokalen intensiven Parameter. Das OnsagerTheorem (L. Onsager, 1931) besagt, dass L̂XY
L̂Y X , wenn kein Magnetfeld
existiert. Für die fünf Stromdichten ergibt sich das Gleichungssystem
jn jp
jnu
j pu jLu
L̂11
L̂21
L̂31
L̂41
L̂51
L̂12
L̂22
L̂32
L̂42
L̂52
L̂13
L̂23
L̂33
L̂43
L̂53
L̂15 L̂25 L̂35
L̂45 L̂55
L̂14
L̂24
L̂34
L̂44
L̂54
∇r EF n eTn ∇r EF p eTp ∇r 1 Tn ∇r 1 Tp ∇r 1 TL (3.48)
Für praktische Zwecke ist es notwendig, die Matrix L̂XY zu reduzieren, indem bestimmte Elemente durch 0 ersetzt werden (“minimales Kopplungsschema”). Z.B. vernachl¨assigt man die KoeffizientenL̂12 (electron-hole drag) und L̂15
(phonon drag). Um das Prinzip zu demonstrieren, betrachten wir jetzt nur dasjenige minimale Kopplungsschema für jn , bei dem die einzigen treibenden Kr¨afte
die Gradienten von elektro-chemischem Potential EF n und inverser ElektronenTemperatur Tn sind.
jn
L̂11 ∇r
EF n
eTn
L̂13 ∇r
1
Tn
Vom Tensor-Charakter sei ebenfalls abgesehen, d.h L̂
σn Tn σn Tn EF n e
L11
L13
(3.49)
ˆ Mit den Definitionen
IL.
Pn Tn (3.50)
(3.51)
worin σn die elektrische Leitf¨ahigkeit und Pn die absolute thermo-elektrische
Kraft sind, ergibt sich für jn :
jn
σn ∇r EF n e
Pn ∇r Tn (3.52)
Das entsprechende minimale Kopplungsschema für jnu führt auf die Gleichung
L31 ∇r EF n eTn jnu
Nutzt man das Onsager-Theorem aus (L31
jnu
Pn Tn
EF n e j n
κn Tn2
(3.53)
L13 ), kann man (3.53) auf die Form
σn Pn Tn
Tn
bringen. Da die eckige Klammer gleich
Leitf¨ahigkeit der Elektronen), folgt
L33
L33 ∇r 1 Tn EF n e L33
∇r Tn
Tn2
2
κn sein muss (κn
σn Tn EF n e
Pn Tn 2
thermische
(3.54)
46
CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE
Somit ergibt sich für die Energie-Stromdichte der Elektronen
κn ∇r Tn
jnu
EF n e
Pn Tn jn
(3.55)
bestehend aus einem konduktiven und einem konvektiven Term.
Vergleich mit Drift-Diffusions-Modell
Wenn ein nichtentarteter Halbleiter mit parabolischer Bandstruktur vorausgesetzt
wird, sieht man durch direkte Berechnung von ∇r n EF n Tn , dass jTn D jDD
n
genau dann gilt, wenn
Ei
0
0
sowie Pn
kB
n
ln
e
Nc
5 2
(3.56)
Die erste Bedingung entspricht einer speziellen Wahl des Energie-Nullpunkts, die
zweite kann man als Modell der absoluten thermo-elektrischen Kraft auffassen.
Vergleich mit Energie-Balance-Modell
3
Die Energie-Stromdichten werden gleich (jTnuD
Sn ), wenn wn
2 kB Tn
angenommen wird und im Energie-Balance-Modell die mittlere thermische Energie durch
wn
wn
Ec r Ec
0
0
Ei (3.57)
ersetzt wird. Neben der Verschiebung des Energie-Nullpunkts muss man im
Energie-Balance-Modell auch noch die potentielle Energie addieren. Die zu
(3.57) ¨aquivalente Ersetzung der Energie-Stromdichte lautet Sn Sn Ei r jn e.
Numerische Methoden für die Simulation
von Bauelementen
by Bernhard Schmithüsen
4
4.1 Skalierte Gleichungen und Lösungsprozedur
4.1.1 Die Physikalischen Gleichungen
Die grundlegenden van Roosbroeck’s Gleichungen des Ladungstr¨agertransports
in Halbleitern sind die Poisson-Gleichung und die beiden Kontinuit¨atsgleichungen (im folgenden wird die Netto-Rekombinationsrate R G einfach mit
R bezeichnet):
∇ ε∇ϕ e p n C
(4.1)
∂n
e
∇jn
eR
(4.2)
∂t
∂p e
∇j p
eR
(4.3)
∂t
vervollst¨andigt durch die Stromgleichungen (unter Benutzung der Einstein Relation D UT µ)
jn
jp
eµn n∇φn
eµn UT ∇n n∇ϕ eµ p p∇φ p
eµ p UT ∇p p∇ϕ (4.4)
(4.5)
Für MOS-Bauelemente wird in Isolatoren (z.B. SiO2 ) die Poissongleichung
(unter Vernachl¨assigung mobiler und fixer Ladungen) gelöst:
∇ ε∇ϕ 0
(4.6)
Die Metallregionen gehören nicht zum (elektrischen) Simulationsgebiet, auch
wenn einfache Modelle integriert werden könnten. Die eigentliche Physik besteht
47
48
CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN
in den Voraussetzungen der Gültigkeit der Gleichungen und steckt in den Parametern Beweglichkeit µ und Rekombination R:
µ x ∇ϕ 0
R x n p ∇ϕ µ
R
Mathematisch handelt es sich im station¨aren Fall um ein gekoppeltes System elliptischer Gleichungen.
4.1.2 Randwerte
Versehen mit Anfangswerten und Randbedingungen ist das ein ”wohl gestelltes”
Problem. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung ist mathematisch unter restriktiven Anforderungen nachgewiesen.
A Artifizielle Randwerte
Diese treten an künstlich eingeführten Begrenzungen des Simulationsgebietes auf, und sollten so gew¨ahlt werden, dass sie das Modell nicht signifikant
stören:
∇ϕ ν
jn ν
jp ν
0
B Physikalische Randwerte
Physikalische Randwerte treten an Materialgrenzen und Kontakten auf.
(a) Kontakte
(i) Ohmsche Kontakte: Normalerweise werden
p
n
np
C
n2i
0
thermodynamisches Gleichgewicht
Ladungs-Neutralit¨at
für die Dichten, und verschwindender Strom im thermodynamischen Gleichgewicht gefordert, resultierend in DirichletRandwerten für alle Lösungsvariablen.
(ii) Schottky Kontakte
C Halbleiter-Isolator Grenzflächen
Im allgemeinen fordert man
εsemi ∇ϕsemi εins ∇ϕins
jn ν j p ν 0
4.1. SKALIERTE GLEICHUNGEN UND LÖSUNGSPROZEDUR
49
4.1.3 Die skalierten (station¨aren) Gleichungen
Um dimensionslose Grössen zu erhalten und die Werte in numerisch behandelbare Grössenordnungen zu bringen skaliert man die Gleichungen (de Mari
Skalierung):
∇ ε∇ϕ ∇jn
∇j p
jn
jp
p n
R
R
C
µn n∇φn
µn ∇n n∇ϕ µ p p∇φ p
µ p ∇p p∇ϕ (4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
4.1.4 Wahl der Variablen
Die Wahl der Variablen bestimmt die Gestalt der Gleichungen und damit das
numerische Verhalten:
Potential und Dichten ϕ n p
- n p 0 ist numerisch nicht zu erwarten w¨ahrend der Iteration
- Kontinuit¨atsgleichungen linear in n p (falls Beweglichkeit unabh¨angig
von den Dichten)
Potential und Quasi-Fermi Potentiale ϕ φn φ p
- Dichten automatisch positiv (n exp ϕ φn ).
- Nichtlinear in n p (auch für konstante Dichten).
Potential und Slotboom-Variablen ϕ u v
-
Dichten n u exp ϕ , p v exp ϕ nicht automatisch positiv.
Konvektiver Term verschwindet.
Stark variierende Diffusivit¨at.
Explizite Berechnung von exp ϕ erforderlich.
mathematisch interessant, da Kontinuit¨atsgleichungen selbstadjungiert
werden (ausgebaute Theorie).
50
CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN
4.1.5 Die Lösungsprozedur
A. Diskretisierung
Das kontinuierliche Problem ist formuliert in (nicht-endlich-dimensionalen)
Funktionenr¨aumen. Diskretisierung heisst, das Problem endlich dimensional zu
machen. Wir erhalten eine (nichtlineare)
Gleichung in IRn :
Fϕ x Fn x Fp x F x
0
B. Lösen der nichtlinearen diskreten Gleichung
Nichtlineare Gleichungen können nur iterativ gelöst werden:
Gummel-Iteration
Dies ist das klassische Verfahren (kleine Computer). Iterativ löst man
Fϕ nk pk Fn ϕk 1 pk Fp ϕk 1 nk 1 ϕk nk pk 1
(4.12)
1
1
Es ist offensichtlich, dass ein solches Verfahren nur bei geringer Kopplung
der Gleichungen konvergieren kann.
Newton-ähnliche Verfahren
Die bekannte Newton-Iteration:
F xn xn xn 1
F xn (4.13)
Man weiss, dass für hinreichend gute Anfangswerte x0 die Konvergenz
quadratisch ist, falls F hinreichend glatt und die Nullstelle isoliert ist. Dies
kann man in 1D leicht einsehen:
F xn 1
F xn F xn xn also
F xn 1 xn 1
xn 1
F xn xn
O xn O xn xn 2 1
0
und
xn xn 1
1
O F xn 1
xn 2 F xn O F xn 2 O xn
xn
1
2
In mehrerenen Dimensionen ist das nicht so einfach zu beweisen.
4.2. DISKRETISIERUNG
51
Multigrid-Verfahren
Basiert auf der Idee, niedrig-frequente Anteile der Lösung auf groben Gittern und die hoch-frequenten Anteile auf feinen Gittern zu bestimmen. Die
ineinander geschachtelten Strukturen werden auf der geometrischen (Gitter)
oder algebraischen Ebene (Matrix) benutzt.
C. Lösen der auftretenden linearen Gleichungen
Ax
b
(4.14)
Es gibt eine riesige Literatur über die Numerik der linearen Gleichungen:
Direkte Verfahren Basieren auf Gauss-Algorithmus.
Iterative Verfahren Approximieren gegebene Matrix A durch einfacher zu invertierende Matrizen:
A
xn 1
M N
(splitting)
1
M Nxn b 1 M 1 A xn M 1 b
Jacobi-Verfahren ( M diag A )
Gauss-Seidel-Verfahren ( M diag A loweroffdiag A )
Successive Overrelaxation (SOR)
Krylow-Methoden (GMRES, CG, etc.)
Memory-Bedarf klein, schnell, wenig robust, Konvergenz h¨angt stark von
Eigenschaften der Matrizen ab.
4.2 Diskretisierung
4.2.1 Allgemeine Diskretisierungsverfahren
Es gibt verschiedene allgemeine Verfahren. Die technisch relevanten erfordern
ein Gitter auf dem Definitionsgebiet.
- Finite Differenzen (FD): Substitution der Differentialoperatoren durch Differenzen:
ui 1 ui 1 O h2 Du
h
e Einfach zu implementieren, RW technisch, schwierig in der Analyse des
Konvergenzverhaltens.
52
CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN
- Finite Elemente Methode (FEM): Basiert auf schwacher Formulierung des
Problems: Sei ξ H01 D , dann ergibt Integration der Poissongleichung:
ε∇ϕ ∇ξ
Ω
p
C ξ
n
Ω
ε∇ϕξν
∂ΩN
Vorteile: Ausgedehnte Theorie (Fehleranalyse, etc.)
- Box Methode (BM): Basiert auf Divergenz-Form der Gleichungen:
∇F
g
4.2.2 Anforderung an Diskretisierung
Um vernünftige Approximationen der kontinuierlichen Lösung zu erhalten, sollte
das diskretisierte Problem wesentliche Eigenschaften des kontinuierlichen Problems aufweisen:
Teilchen-Erhaltung
Lokale Gültigkeit des Gausschen Satzes. Die BM erfüllt diese Bedingung
automatisch.
Strom-Erhaltung
Der diskrete Strom durch eine Fl¨ache sollte nur von der Fl¨ache abh¨angen.
Maximum-Eigenschaft der elliptischen Operatoren
Das diskrete Maximumprinzip (genauer ”Comparison” Theoreme) elliptischer Operatoren ist die M-Matrix Eigenschaft:
Definition 1 Eine reelle n
(i) Ai j 0 für alle i
(ii) A ist invertierbar
(iii) A 1 0 (d.h. A n Matrix A heisst M-Matrix, falls
j
1
ij 0 für alle i, j )
Hinreichende (notwendige?) Bedingung für diskrete Comparison Theoreme
und Stabilit¨at.
Positivit¨
at der lokalen Dissipation
Das kontinuierliche System ist lokal dissipativ (z.B. für Auger und SRH
Rekombination); die zu diskutierende SG-BM erh¨alt diese Eigenschaft und
zeichnet sich dadurch aus.
d ϕ n p
µn n ∇φn 2
Ω
µ p p ∇φ p 2
R log np dx
4.2. DISKRETISIERUNG
53
Weitere Anforderungen ergeben sich aus der Praxis:
Konvergenz
Aussagen über Diskretisierungsfehler sind wünschenswert (p Ordnung der
Approximation)
u
O hp uh
Anzahl der Gitterpunkte sollte m¨
oglichst gering sein
2d-Gitter 10000 Punkte, 3d-Gitter erheblich grösser. Zwang zu iterativen
Techniken. Verschlechterung der Kondition der Matrizen.
¨ besetzte” Matrizen (sparse matrices)
”dunn
geringerer Lösungsaufwand.
Physikaliche Modelle:
nur lokale
Abh¨angigkeiten erlaubt (typischerweise nur von n¨achsten Nachbarn im
Gitter). Andererseits ”dichte” Matrizen oder keinen exakten Newton.
4.2.3 Diskretisierung der Poissongleichung
Wir diskretisieren die Poissongleichung entsprechend der Box Methode auf dem
dualen Voronoi-Gitter (mid-perpendicular box method), welche auf der lokalen
Anwendung des Gauss’schen Satzes beruht. Das Voronoi-Gitter entsteht durch
die Mittelsenkrechten (in 2D eine Linie, in 3D eine Ebene) jeder Kante (edge),
deren Schnittpunkte die Voronoi-Zentren bilden; die Voronoi-Boxen B i werden
durch die Mittelsenkrechten (Voronoi-Fl¨achen) begrenzt. Notwendig und hinreichend für eine überlappungsfreie Konstruktion ist die sogenannte
Delaunay Eigenschaft
Der Umkreis eines jeden Gitter-Elementes enthält im Inneren keinen Gitterpunkt.
In 2D kann man Delaunay-Gitter aus Dreiecken und Rechtecken konstruieren. In
3D können zum Beispiel Tetraeder, Quader, Prismen und Pyramiden verwendet
werden.
Die Poissongleichung ist vom Typ
∇ a x ∇u x g x
0
Lokal auf jeder Box Bi integrieren wir und wenden den Gauss’schen Satz an:
u j ui
∇ a x ∇u x dx
a x ∇u x ν x dS x ai j
∑
x j x i si j
Bi
∂Bi
j i
Bi
g x dx
B i gi
54
CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN
E
Bi
E
Bi
}
E
si,j
ei,j
xi
xj
Figure 4.1: Gitter und duales Voronoi-Gitter
also erhalten wir für die Poissongleichung
s
Fϕ i ∑ εi j i j ϕi ϕ j Bi pi
x j xi j i
ni
Ci 0
(4.15)
In 2D stimmen die Diskretisierungen der Standard-FE und Box-Methode für den
Laplace-Operator überein; in 3D sind sie (ausser auf gleichseitigen Tetraedern,
die aber den Raum nicht ausfüllen) verschieden.
Stumpfe Winkel
π
Dreiecke mit stumpfen (obtuse) Winkeln (α
2 ) erfordern eine gewisse
Aufmerksamkeit, da das Voronoi Zentrum ausserhalb des entsprechenden Elements liegt. Falls man, wie man das bei FEM tut, jedes Element einzeln betrachtet, erh¨alt man
s̃Ei j1
sEi j1
0
, s̃Ei j2
sEi j1
sEi j2
Die Delaunay Eigenschaft garantiert eine positive Voronoifl¨ache für jede Kante,
d.h.
si j
0
4.2. DISKRETISIERUNG
55
was auf jeden Fall gewünscht ist, da sich andererseits das Vorzeichen umkehrt.
Um weiter elementweise assemblieren zu können, setzt man
sEi j1
sEi j2
0 ,
sEi j2
Falls der stumpfe Winkel einer Interface-Kante gegenüberliegt, würden sich die
Volumina der einzelnen Regionen ver¨andern, folglich verlangt man ”constrained
Delaunay” Gitter.
xk
E1
xi
E
Bi 1
E
Bi 2
E1
Bk
}
E
s i,j1
xj
} s i,jE
2
E2
Figure 4.2: Box method
4.2.4 Diskretisierung der Kontinuit¨atsgleichungen
Die
Kontinuit¨atsgleichungen
sind
Konvektions-Diffusions-ReaktionsGleichungen. Man weiss, dass auf nicht hinreichend feinen Gittern die standard FE Diskretisierung unstabil ist. Ausserdem können stumpfe Winkel in
Delaunay Gittern die Stabilit¨at bei nicht konstanter Diffusivit¨at stören. Viele
Diskretisierungen sind erfunden worden, um dieses Stabilit¨atsproblem zu reduzieren (Stichworte: upwinding, numerical and artificial diffusivity, SUPG,
streamline diffusion, etc.).
Die Scharfetter-Gummel Box Methoden Diskretisierung ist auf allen DelaunayGittern stabil !
56
CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN
Die singuläre Störungsanalyse besch¨aftigt sich mit dem Fall, dass der Diffusionsterm g¨anzlich vernachl¨assigbar wird. Sie kann das Ph¨anomen von ”Layern”
(starke Variationen der Lösungen) erkl¨aren, indem sie das reduzierte Problem
betrachtet, welches sich durch Streichen des Diffusionsterms ergibt.
Ein einfaches Modelproblem
Wir demonstrieren die Instabilit¨at der FD-Methode anhand eines Modellproblems, einer Vereinfachung der Kontinuit¨atsgleichung auf dem Interval 0 1 :
und nehmen an ϕ
ϕ n
n 0
n 1
n
0
0
1
β sei konstant. Die exakte Lösung ist
exp βx exp β n x
1
1
x
Einfache FD-Diskretisierung:
Wir legen ein ¨aquidistantes Gitter zugrunde (h
ni ni
Seien nun s
Dann erhalten wir
ni
h
1
2ni
h2
1
ni
und s 1
ni
1
β
ni
h
s
s
h
β
s
2
also
s
s
1
1
ni 0 1 xi ni
1
2h
1
1
xi ) und erhalten
0
die (approximierten) Dichtegradienten.
s
0
hβ
2
hβ
2
In Worten:
Die Lösung oszilliert falls hβ 2!
Die Gleichung stellt also Anforderungen an das Gitter oder die Diskretisierung!
Für die standard FEM erhalten wir die gleiche Diskretisierung. Die resultierende
Matrix ist keine M-Matrix. Die charakteristische Grösse P 2 β heisst mesh
peclet number.
4.2. DISKRETISIERUNG
57
1D Scharfetter-Gummel Diskretisierung
Wir betrachten nun ein Interval xi xi schreiben
mit der Stromdichte J.
Wir können
µ exp ϕ u
µnφ
J
1
φ die Slotboom-Variable ist. Also ist
J
u
exp ϕ µ
Unter der Annahme, dass µ, J konstant sind und ϕ linear ist folgt also
wobei u
u xi exp
1
u xi xi
1
xi
J
exp
µ
J
exp
µ
J
exp
µ
ϕi
ϕi 1 ϕi dt
xi 1 xi
ϕi 1 ϕi xi xi 1 xi
xi t
ϕi exp
t
ϕi exp ϕi
ϕi 1
1
xi ϕi 1
1
xi ϕi 1
1
xi ϕi
xi ϕi
1
t xi
also haben wir für die konstante Stromdichte J auf dem Interval
ϕi ϕi 1
exp ϕi µ u i 1 ui J
xi 1 xi exp ϕi ϕi 1 1
µ
ϕi ϕi 1 exp ϕi 1 ni 1 exp ϕi ni
xi 1 xi
exp ϕi exp ϕi ϕi 1 1
µ
B ϕ i 1 ϕi n i 1 B ϕ i ϕi 1 n i
xi 1 xi
xi
x
wobei wir die Bernoulli function B x haben.
exp x 1 benutzt
Für unser Modellproblem erhalten wir (mit B
B βh , B Matrix
tridiag
B B
B
B
B
βh ) die
und die Lösung des resultierenden diskreten Systems stimmt mit der exakten
Lösung in den Gitterpunkten überein. Die Matrix ist eine M-Matrix, also eine
stabile Diskretisierung unseres Modellproblems. Der Gewinn an Stabilit ät wird
mit einem Verlust an Konsistenz bezahlt, der sich in der Approximations-Ordnung
auswirkt:
58
CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN
Theorem 1 (Miller-Wang, Roos-Stynes-Tobiska)
uh
uI MW
1
Ch 2
wobei die diskrete Norm vom Gitter abhängt. Die Konstante C hängt von dem
singulären Parameter ε ab, das heisst, die Konvergenz ist nicht gleichm ässig.
Neue Diskretisierung von Xu und Zikatanov (1999): FE-¨ahnliche Diskretisierung
mit garantierter Stabilit¨at, Delaunay-Eigenschaft wird durch andere Gittereigenschaft ersetzt (praktisch meshbar?).
4.2.5 Die Diskretisierten Gleichungen
Zusammenfassend erhalten wir also die folgenden diskretisierten Gleichungen
si j Fϕ i
∑ εi j di j ϕ j ϕi Bi pi ni Ci 0
j i
si j Fn i
∑ µnij di j B ϕi ϕ j ni B ϕ j ϕi n j Bi Ri 0
j i
p si j Fp i
∑ µi j di j B ϕ j ϕi pi B ϕi ϕ j p j Bi Ri 0
j i
Bemerkungen:
- Elementweise Assemblierung
Zur Optimierung des Codes (Parallelisierung, Cache-Memory) will man elementweise assemblieren. D.h. man muss z.B. schreiben:
Fn i
∑ ∑ E i
j iE
sEij
n
µi j E
di j
BEi REi 0
B ϕi
ϕ j ni
B ϕj
ϕi n j Um die schönen Eigenschaften auch für Delaunay-Gitter zu behalten, ist
es zwingend erforderlich, dass die Beweglichkeit µnij E nicht wirklich vom
Element abh¨angt, sondern vorher gemittelt wird. Eine andere Möglichkeit
ist die Voronoi-Kompensation vorher auszuführen (?).
- Integration der Ladungen: Die Integration der Ladungen scheint zu ungenau (konstante Ladungsdichte per Box). Für die nichtlineare Poissongleichung (d.h. Quasi-Fermi-Potentiale konstant und nicht die Ladugstr¨agererDichten) hat dies allerdings den Vorteil, dass die resultierende Matrix weiterhin M-Matrix bleibt.
4.3. GITTER
59
4.3 Gitter
H¨aufig wird in Praxis der Einfluss des Gitters auf das Simulationsergebnis untersch¨atzt. Die Gittereigenschaften werden nicht nur durch technische und geometrische Anforderungen bestimmt, sondern vor allem durch die darauf zu
lösenden Gleichungen und die benutzte Diskretisierung.
4.3.1 Anforderungen an Gitter
Approximation des Gebietes
Akurate Beschreibung der Geometrie (R¨ander, Interfaces, etc.) leichter
möglich, wenn Elemente beliebige Formen annehmen können.
Element-Formen
Tensorproduktgitter für FD, mixed-element meshes für FEM und BM
Punktdichte
Sollte möglichst gering sein (bestimmt n¨amlich Grösse der linearen Gleichungen), aber hinreichend in ”signifikanten” Teilen des Gebietes.
Winkelbedingungen
Mythos ”obtuse angle” in 2D. Aus der numerischen Analysis weiss man
Theorem 2 Für eine reguläre Familie von Simplex-Gittern Th h is der
Diskretisierungsfehler (in der Energie-Norm) einer hinreichend regul ären
Lösung von der Ordnung 1
u
uh O h
Daraus leitet man in 2D ein Winkel-Kriterium ab, da die Stabilit¨atsKonstante sich verbessert.
Die technischen Anforderungen sagen noch nichts über die Qualit¨at der Gitter.
Erfahrungstatsachen:
Langsame Variation der Punktdichte, gute Approximation der Ladungsdichte ρ und Rekombination R, Edges parallel und orthogonal zur
Stromdichte.
Gittergeneration ist eine schwierige Aufgabe, wenn man sowohl die technischen
als auch die qualitativen Anforderungen erfüllen will:
OCTREE 1D,2D und 3D.
PARALLEL OFFSETTING Variante von Advancing Front. 2D.
60
CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN
Figure 4.3: Octree und Normal-Offsetting Gitter mit Elektronen-Stromdichte
4.3.2 Gitter Adaption
Die Gitter sollten im Idealfall von der Lösung des diskreten Problems abh¨angen.
Gitter-Adaption ist daher generell wünschenswert, doch muss man sich klar
machen, wozu diese dienen soll und was sie leisten kann.
Goal
Equations
Discretization
Final Mesh
Grid
Adaptation
Criteria
Strategy
Figure 4.4: Komponenten der Gitter-Adaption
Silizium
5
5.1 Bandstruktur
Entstehung von B¨andern qualitativ
Die Atomrümpfe eines Kristalls kann man sich in erster N¨aherung als Potentialtöpfe vorstellen. Solange Potentialtöpfe hinreichend isoliert voneinander sind,
hat jeder von ihnen eine Serie von diskreten Energie-Niveaus (sh. a)). Bei
Ann¨aherung w¨achst die Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen von einem Topf in
die benachbarten Töpfe tunneln können. Die diskreten Energie-Niveaus spalten
auf, bei N Töpfen in N Niveaus (sh. b)). Bei sehr vielen Töpfen und weiterer
a)
b)
bandentstehung.ID.epsi
113 57 mm
c)
Ann¨aherung wird der Abstand zwischen den aufgespaltenen Niveaus sehr klein es entstehen B¨ander. Diese können zusammenwachsen (sh. c)), wie es bei Metallen der Fall ist. In Halbleitern, wie Silizium, entstehen jedoch Energielücken
(“gaps”), weil es zwei Arten von Zust¨anden gibt - bindende und antibindende.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Potentialtöpfen ist bei bindenden Zust¨anden besonders gross, w¨ahrend sie bei antibindenden Zust¨anden dort
61
62
CHAPTER 5. SILIZIUM
a)
Ψ
Ψ
gapentstehung.ID.epsi
110 42 mm
b)
Schematische Darstellung der Wellenfunktion Ψ zweier gekoppelter Potentialtöpfe.
Links: antibindender Zustand, rechts: bindender Zustand.
sehr klein wird (Knoten der Wellenfunktion). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
innerhalb der Töpfe ist jedoch in beiden F¨allen ¨ahnlich gross. Bindende Zust¨ande
sind für das Zusammenhalten der positiven Ionenrümpfe in Molekülen verantwortlich.
Quantenmechanik: Ultra-Short Course II
Quasiklassische N¨aherung
Wird die de-Broglie-Wellenl¨ange klein gegenüber den Abmessungen des Problems, kann man die quasiklassische N¨aherung für die Wellenfunktion benutzen
(WKB-Näherung, Wentzel-Kramers-Brillouin). Sie entspricht in der Optik dem
Übergang von der Wellenoptik zur geometrischen Optik. Sei ψ x Lösung der
(hier ein-dimensional betrachteten) Schrödinger-Gleichung
2
2m
ψ x
E
V x ψ x
0
(ψ x bedeutet die zweite Ableitung nach x.) ψ x wird in der Form
ψ x
e σ x
i
mit σ
σ0
σ1
2
σ2
(5.1)
geschrieben. Die Reihenentwicklung der Phase nach Potenzen von liefert sepa
rate Gleichungen in jeder Ordnung von . Wegen ψ
ψσ 2 2 iψσ geht
die Schrödinger-Gleichung in
σ
2
i σ
2m E
i
V x
i
(5.2)
5.1. BANDSTRUKTUR
63
über. In der nullten Ordnung verbleibt nur
σ0
2
mit der Lösung
σ0 x x
dx
V x
2m E
2m E
V x
x
dx p x
Dabei ist p der klassische Impuls, der mit dem -Zeichen vor der Wurzel definiert
wird. Diese N¨aherung ist dann gut, wenn man den zweiten Term auf der linken
Seite von Gleichung (5.2) gegen den ersten vernachl¨assigen kann, also wenn
σ σ 2 1 gilt. Da in nullter Ordnung σ σ0 p x ist, bedeutet die Bedingung
dλ
dx p
p2 1
wie man durch differenzieren von λ x λ x 2π p x sofort sieht. Die deBroglie-Wellenl¨ange darf sich also über Abmessungen von der Grössenordnung
der Wellenl¨ange selbst nur wenig ¨andern. In der Ordnung 1 erh¨alt man
1 2σ σ
2m i 0 1
i
σ
2m 0
σ0
σ0 σ1
2
σ0 2σ0
Auflösung nach σ1 ergibt σ1
stante
σ1
Setzt man σ0 0
0
p 2p, so dass bis auf eine Kon-
1
ln p
2
σ1 i in den Ansatz (5.1) für die Wellenfunktion ein, folgt
ψ x
C1 i
e
p x
p x dx
i
C2
e p
x
p x dx
(5.3)
Das Auftreten von 1 p bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
ψ x 2 des Teilchens im Intervall x x dx umgekehrt proportional zum Impuls
p x ist. Dies spiegelt das klassische Verhalten wieder, denn bei einer klassischen
Bewegung ist die Zeit, die ein Teilchen in dx verbringt, umgekehrt proportional
zu seiner Geschwindigkeit.
64
CHAPTER 5. SILIZIUM
V(x)
klassischer
Umkehrpunkt
E
x
x
umkehrpunkt.ID.epsi
0
63 56 mm
Die N¨aherungslösung (5.3) kann man auch in Gebieten anwenden, die klassisch verboten sind, d.h. in denen der Impuls rein imagin¨ar wird. Der Punkt,
der klassisch erlaubtes von klassisch verbotenem Gebiet trennt, heisst klassischer
Umkehrpunkt. Im klassisch verbotenen Gebiet x x0 (genügend weit entfernt
vom Umkehrpunkt x0 ) hat die Wellenfunktion die Gestalt
1
C
ψ x
2
p
e x
x0
p x dx
(5.4)
mit neuer Normierungskonstante C. Die quasiklassische Lösung im klassisch
erlaubten Gebiet x x0 (genügend weit entfernt von x0 ) lautet (Kramers, 1926)
C
ψ x
2 p
cos
x0
1
x
π
4
p x dx
(5.5)
Kronig-Penney-Modell (1930)
Wir betrachten jetzt ein ein-dimensionales, periodisches Modellpotential, das
aus einer unendlichen Folge von Quantentöpfen der Breite d besteht, die durch
Potential-Barrieren der Dicke b und der “Höhe” V0 getrennt sind. Wenn b
genügend gross ist, sind die Wellenfunktionen in einem solchen Topf praktisch
gleich denjenigen im Potentialtopf mit endlich hohen aber unendlich dicken
W¨anden
(sh. Kapitel 1). Wegen der Periodizit¨at des Potentials mit der Periode b d a können wir die gesuchte Wellenfunktion für die Bewegung eines
Teilchens in diesem Potential als Fourier-Reihe
n
ψk
x
∞
A
∑ eiklaψn x
l
∞
la (5.6)
5.1. BANDSTRUKTUR
65
darstellen. Der Index n kennzeichnet den n-ten Zustand des isolierten Quanten
n n topfs. Offenbar gilt ψk x a exp ika ψk x , d.h. beim Durchgang durch
eine Periode “sammelt” die Welle eine Phase ka “auf”. Wir schreiben die beiden
V(x)
V0
periodpot.ID.epsi
Ψ(x)
88 47 mm
-b
0
d
x
d+b
Schrödinger-Gleichungen
n
ψk
E k
2m E
ψ
2m
n
2
n
2
V x ψk
n
V x ψn
n
0
0
periodisches Potential isolierter Topf n
auf, multiplizieren die erste mit ψn , die zweite mit ψk , subtrahieren gliedweise
und integrieren über x in den Grenzen von b 2 bis d b 2
d b 2
n
dx ψk
n
ψn
ψn ψk
b 2
2m
2
E k
n
E n ψk ψn n
0
Nach partieller Integration erh¨alt man
E
n
k
En
d b 2
n
dx ψk ψn
b 2
2
2m n
ψn ψk
ψk ψn n
d b 2
b 2
66
CHAPTER 5. SILIZIUM
Für das Integral auf der linken Seite folgt nach Einsetzen von (5.6)
n
d b 2
d b 2
∞
dx ψk ψn
∑ eikla
l
∞
A
b 2
b 2
dx ψn x ψn x
δl0
A
la (5.7)
da die Überlappungsbeitr¨
age von den n¨achsten Nachbarn verschwindend ger
ing sind und ψn x normiert ist (die Beitr¨age zur Normierung ausserhalb des
Intervalls b 2 d b 2 können ebenfalls vernachl¨assigt werden). Die Energieb¨ander En k , zu denen die diskreten Niveaus En verbreitern, nehmen damit
die Form
En k En
2
n
ψn ψk
2mA ψk ψn n
d b 2
b 2
an. Bei x d b 2 tragen von der Summe (5.6) nur die Glieder mit l 0 und l
1 bei, d.h. ψn d b 2 und ψn b 2 exp ika , alle anderen sind verschwindend
klein. Somit
n
ψk
d
b 2
A ψn d
b 2
A ψn d
b 2 1
b 2 eika eika ψn
Das -Zeichen steht, wenn ψn symmetrisch ist, das -Zeichen für antisymb 2 tragen
von der
metrische Zust¨ande des isolierten Potentialtopfes. Bei x
Summe
(5.6)
nur
die
Glieder
mit
l
0
und
l
1
bei,
d.h.
ψ
b
2 und
n
ψn d b 2 exp ika ,
n
ψk
b 2
A ψn
A ψn
b 2
b 2 1
b 2 e ika ψn d
e ika Für die ersten Ableitungen erh¨alt man
n
ψk
d
n ψk
b 2
A ψn d
b 2
A ψn
b 2 1
b 2 1
eika e ika 5.1. BANDSTRUKTUR
67
(Statt steht jetzt , da bei Bildung der ersten Ableitung symmetrische Zust¨ande
in antisymmetrische Funktionen übergehen
und umgekehrt.) Nach Einsetzen und
Zusammenfassen aller Terme wird En k 2 2 ψn d b 2 ψn d b 2 cos ka (5.8)
m
Um für ψn die oben eingeführten quasiklassischen N¨aherungen (5.4) benutzen
pn . Wir benötigen noch einen expliziten Ausdruck für
zu dürfen, gelte b
die Normierungskonstante C in (5.4). Da C auch in der quasiklassischen Lösung
im Innern des Potentialtopfes auftritt, kann man diese zur Bestimmung von C
verwenden:
En k En
d
1
0
dx ψn x 2
C
d
2
dx
0
1
i pn x cos
2
d
1
x
pn x dx
i
π
4
Die Beitr¨age der exponentiell abklingenden Anteile in den Barrieren-Gebieten
sind nach Voraussetzung klein gegen 1 und wurden vernachl¨
assigt. Ausserdem
i
muss für die quasiklassische N¨aherung im Innern np d 1 gelten,
d.h. die
i
Wellenfunktion hat dort viele Knoten. Wegen der Konstanz von p n
2mEn
folgt dann (cos2 kann durch den Mittelwert 1 2 ersetzt werden)
C2
1
i
pn
d
i
pn
dx cos2
d
0
x
π
4
C2
d
i
2pn
also C
2pn d. Wir können nun die Werte von ψ und ψ in der Mitte der
Barriere berechnen:
i
ψn
d
ψn
d
a
mit pn
b 2
i
pn
a
2d pn
a
b 2
pn
1
exp ψn d
d b 2
a
dx pn
d
i
pn
a
b 2
2d pn
a
bpn
2
exp
En . Einsetzen in (5.8) ergibt
2m V0
En k En
En
i
pn
a
bpn
exp
cos ka dm
2
E1 En Dn cos ka π
(5.9)
68
CHAPTER 5. SILIZIUM
wobei E1 2 π2 2md 2 (sh. Kapitel 1) und der Durchgangskoeffizient für eine
Rechteck-Barriere
2b
Dn
e
2m V0
En benutzt wurde. Die Bandweite ist in dem betrachteten Modell der starken Lokalisation
Wn
Da nach Voraussetzung Dn
4
E1 En D n
π
1 sein muss, sind die B¨ander sehr schmal. In der
E n (k)
En
cos-baender.ID.epsi
50 47 mm
π
2a
N¨ahe von k
E n-1
π
2a
0
k
0 kann man den cos entwickeln:
En k En
1
Wn
2
Wn a2 2
k
4
Ersetzt man den Faktor vor k 2 durch 2 2m , erh¨alt man eine Dispersionsrelation wie für freie Teilchen, mit dem Unterschied, dass die Masse m0 durch eine
effektive Masse m
m
2 2
Wn a2
ersetzt ist. Dieser Relation kann man auch ablesen, dass die Bandweite umgekehrt
proportional zum Quadrat der Periode des Potentials ist. In Halbleiter-Kristallen
π π
entspricht a der Gitterkonstanten, und das Intervall
2a 2a ist die (eindimensionale) Brillouin-Zone (BZ).
Bandstruktur von Silizium
Silizium kristallisiert in der Diamantstruktur. Die Atome befinden sich auf den
5.1. BANDSTRUKTUR
69
Pl¨atzen zweier ineinander verschachtelter f.c.c.-Gitter (kubisch-fl¨achenzentriert,
face-centered cubic). Fasst man das Zentralatom der schwarz hervorgehobenen
tetraedrischen Struktur (bestehend aus fünf Atomen) mit einem der anderen fünf
Atome zusammen, erh¨alt man die sogenannte Basis des Kristalls. Die Basis
ist auf einem einfachen f.c.c.-Gitter periodisch fortgesetzt. In III-V-Halbleitern,
die in derselben Struktur kristallisieren (“Zinkblende”), besteht die Basis aus
a=5.43 Å
diamond.ID.epsi
107 79 mm
.
zwei verschiedenartigen Atomen, z.B. in GaAs aus Ga und As. Den Würfel,
der die schwarz hervorgehobene tetraedrische Struktur enth¨alt, nennt man primitive Einheitszelle. Es gibt zwei Atome pro primitive Einheitszelle, da die vier
¨ausseren Atome jeweils von vier Nachbar-Zellen “geteilt” werden. Jedes SiAtom steuert vier Valenz-Elektronen bei, d.h. es gibt 8 Valenz-Elektronen pro
primitive Einheitszelle. Unter Berücksichtigung der Spin-Entartung ergeben
sich also 4 Valenzb¨ander, die bei T
0 K vollst¨andig besetzt sind und die
aus bindenden Zust¨anden aufgebaut sind. Die antibindenden Zust¨ande bilden
3die Leitungsb¨ander. Die untersten vier Leitungsb¨ander entstehen aus den sp
Hybridorbitalen, die höher liegenden Leitungsb¨ander aus höheren Orbitalen.
Der Kristall besteht also ganz allgemein aus einer Basis und dem sogenannten
Bravais-Gitter, das im Falle von Silizium ein f.c.c.-Gitter mit der Gitterkonstanten
a 5 43 Å ist. Das Bravais-Gitter ist eine Menge von Punkten Rl (Gitter
Vektoren),
die durch drei nicht-koplanare Translationen a1 , a2 und a3 erzeugt
70
CHAPTER 5. SILIZIUM
werden, welche Vektoren im drei-dimensionalen Raum sind
Rl l1 a 1
l2 a 2
l3 a3
mit ganzen Zahlen l j . Als a j kann man die primitiven Gittervektoren
a
0 1 1
2
a1
a2
a
1 0 1
2
a3
a
1 1 0
2
w¨ahlen. Jede Translation Rl überführt den Kristall in sich selbst. Deshalb muss
x
abasisvect.ID.epsi
3
69 72 mm
a2
a1
y
z
jede physikalische Grösse f r vor und nach der Translation dieselbe sein
f r
Rl f r
(5.10)
d.h. f r ist eine auf dem Bravais-Gitter periodische Funktion. Wir können sie
also in eine Fourier-Reihe entwickeln:
f r
∑ AKh eiKh
Kh
r
mit AKh
1
Ω0
d 3 r f r e iKh r
Ω0
Als Periodizit¨atsvolumen nehmen wir das Volumen der primitiven Einheitszelle
Ω0 a1 a2 a3 . Man kann aber auch andere Zellen mit demselben Volumen
verwenden. Als besonders günstig erweist sich die sogenannte Wigner-SeitzZelle, die dadurch erhalten wird, dass man alle n¨achsten Nachbaratome durch
5.1. BANDSTRUKTUR
71
Linien (a1 a1 a2 a2 ) verbindet und diese mittels senkrecht dazu ste
hender Ebenen halbiert. Die geometrische
Figur, die von allen diesen Ebenen
begrenzt wird, heisst Wigner-Seitz-Zelle. Unter Benutzung der TranslationsInvarianz (5.10) folgt
f r
Rl ∑ AKh eiKh r
Rl f r
Kh
und somit
eiKh Rl
1
Dies kann nur erfüllt werden, wenn Kh Rl 2π (ganze Zahl) gilt. Die Vektoren
Kh , die diese Bedingung erfüllen, heissen reziproke Gittervektoren. Man kann sie
in einer Basis b1 b2 b3 des reziproken Gitters darstellen:
h1 b 1
Kh
h 2 b2
h 3 b3
Z.B. kann man reziproke primitive Gittervektoren (ai b j
Basis nehmen
b1
2π ¯
1 1 1
a
b2
2π ¯
1 1 1
a
b3
2πδi j ) als eine solche
2π 1 1 1¯
a
wobei der Strich einfach “minus” bedeutet. Die Menge aller K h erzeugt
das sogenannte reziproke Kristall-Gitter, das zum Kristall-Gitter komplement¨ar
ist. Kubische Gitter haben reziproke kubische Gitter. Aber, man beachte,
dass das reziproke Gitter eines f.c.c.-Gitters ein kubisch raum-zentriertes Gitter (b.c.c., body-centered cubic) ist. Auch im reziproken Gitter erweist es sich
als günstig, die primitive Zelle als Wigner-Seitz-Zelle zu w¨ahlen. Die Konstruktionsvorschrift bleibt die gleiche. Man konstruiert also die Wigner-Seitz-Zelle des
b.c.c.-Gitters, d.h. des zum f.c.c.-Gitter komplement¨aren reziproken Gitters mit
dem reziproken Gittervektor Kh 0 als Ursprung. Diese Zelle hat den Namen 1.
Brillouin Zone (abgekürzt 1. BZ). Ihre geometrische Gestalt ist ein “gekappter”
Oktaeder (sh. Abb.). Die praktische Bedeutung
der 1. BZ folgt aus der Tat
sache, dass in ihr alle Energieb¨ander Eν k stetige Funktionen sind. Nur an den
R¨andern können Unstetigkeiten auftreten. Die R¨ander sind mit den sogenannten
Braggschen Reflexionsebenen
identisch. Um das einzusehen, betrachten wir das
Kristall-Potential V r als Störung zur freien Bewegung der Elektronen. Da V r periodisch ist, kann man es in eine Fourier-Reihe entwickeln:
V r
∑ BKh eiKh r h
72
CHAPTER 5. SILIZIUM
Kz
W
X
U
K
W
L
U
Kx
Γ
brillzone.ID.epsi
93 85 mm
X
W
K
Ky
1. BZ des f.c.c.-Gitters mit symmetrischen Punkten. Der hervorgehobene Bereich ist
der irreduzible Teil der BZ (1/48), der für die Berechnung der Bandstruktur relevant ist.
Das Übergangs-Matrixelement muss man mit ebenen Wellen bilden (die
ungestörten Zust¨ande, freie Elektronen!), so dass
k V r k
∑ B Kh δ k k Kh
h
Es verschwindet, ausser für
k
k
Kh
(5.11)
Die Stösse der leichten Elektronen mit dem schweren Kristall-Gitter sind
elastisch: k k . Quadriert man (5.11), erh¨alt man
2 k Kh
Kh 2
(5.12)
Das ist genau die Bedingung für Bragg-Reflexion. In den Lehrbüchern zur
Halbleiter-Theorie wird üblicherweise die (entartete) Störungstheorie explizit
durchgeführt und damit das Aufreissen von Energielücken an den Bragg-Ebenen
demonstriert (sh. z.B. Enderlein/Schenk Seite 81 ff.). Wir haben stattdessen
an obigem Beispiel die Entstehung von Bändern plausibel gemacht. In diesem
5.1. BANDSTRUKTUR
73
Beispiel sind die Energielücken von vornherein vorhanden, und zwar durch den
Abstand der diskreten Energie-Niveaus des isolierten Potentialtopfes.
Eine wichtige Folge der Translationssymmetrie des Kristalls ist die Periodizit¨at der Energie
E k
und der Wellenfunktionen
ψν k r Kh E k
ψν k Kh
r
(5.13)
(5.14)
Der Impuls der Elektronen ist im Kristall
Erhaltungsgrösse, wie man
Kkeine
aus (5.11) ersieht. Aber alle
Impulse
k
und
damit alle Wellenfunktioh
nen mit Wellenvektoren k Kh sind ¨aquivalent. Deshalb kann man sich bei
der Berechnung physikalischer Grössen auf die 1. BZ beschr¨anken. Liegt k
ausserhalb der 1. BZ, findet man immer einen reziproken Gittervektor Kh , der k
in die 1. BZ verschiebt (“falten”). Man bezeichnet k auch als Quasiwellenvektor.
Die Translationssymmetrie ist jedoch nicht die einzige Symmetrie des f.c.c.Gitters. Als Punktgruppe des Kristalls bezeichnet man die Menge aller geometrischen Operationen (Drehungen, Spiegelungen), die das direkte Gitter (und
damit auch das reziproke Gitter) in sich selbst überführen. 48 solcher Operationen bilden einen Würfel in sich selbst ab. Die entsprechende Gruppe nennt man
Oh . Ohne Inversion verbleiben 24 Operationen, die die Gruppe Td bilden (die
Basis ist nur gegen diese Untergruppe invariant).
Die k-Vektoren der 1. BZ kann man in Punkte in symmetrischer Lage und
Punkte in allgemeiner Lage einteilen. k ist in symmetrischer Lage, wenn es
ausser der Translation noch ein Element α der Punktgruppe Oh gibt, das k in
einen dazu äquivalenten Vektor überführt. Äquivalenz
(
bedeutet Gleichheit bis
auf einen additiven reziproken Gittervektor Kh .) Andernfalls ist k in allgemeiner
Lage. Wendet man die Elemente der Punktgruppe auf einen Vektor k der 1. BZ
an, dann bilden alle αk, die nicht ¨aquivalent zu k sind, den sogenannten Stern
von k. Ist k in allgemeiner Lage, hat der Stern soviel “Zacken”, wie die Punktgruppe Elemente hat. Ist k in symmetrischer Lage, so ist die Anzahl der Zacken
nur ein Bruchteil der Ordnung der Punktgruppe. (Z.B. hat der Mittelpunkt der
1. BZ, der Punkt mit der höchsten Symmetrie überhaupt, nur noch eine Sternzacke.) Alle k-Vektoren, die die gleiche Symmetrie haben, also von den gleichen
α invariant gelassen werden, bilden ein Symmetrieelement in der 1. BZ. Für die
Diamantstruktur gibt es 4 Symmetriepunkte (Γ; X; L; W), 5 Symmetriegeraden
und 2 Symmetrieebenen.
Die Punktsymmetrie des Kristalls übertr¨agt sich unmittelbar auf die Bandstruktur:
Eν k Eν αk (5.15)
74
CHAPTER 5. SILIZIUM
Diese Form der Entartung nennt man Sternentartung. Wegen der Sternentartung
genügt die Kenntnis der Energieband-Funktionen Eν k in einem Ausschnitt der
1. BZ, der den Raum zwischen benachbarten Sternzacken ausfüllt (der in der
Abb. hervorgehobene Bereich). Man bezeichnet einen solchen Ausschnitt als
irreduziblen Bestandteil der 1. BZ. Alle inneren Punkte und die meisten Randpunkte sind k-Vektoren in allgemeiner Lage, also mit 48 Sternzacken. Deshalb
ist dieses Gebiet 1/48 der 1. BZ. Die Energie-Eigenwerte über dem Rest der 1.
BZ erh¨alt man durch symmetrische Fortsetzung der Werte über dem irreduziblen
Bestandteil mit Hilfe der Gleichung (5.15).
Eine weitere Form der Entartung ist die symmetrie-bedingte Bandentartung.
Gilt n¨amlich für bestimmte k-Vektoren, dass αk ¨aquivalent
1ist und dass die
zugehörigen Eigenfunktionen im Band ν, ψν k r und ψν k α r , linear unabhängig sind, so laufen an der Stelle k zwei B¨ander zusammen. Für Punkte
in allgemeiner Lage kann eine solche symmetrie-bedingte Bandentartung nicht
auftreten. Den Grad möglicher Bandentartungen in Symmetriepunkten und auf
Symmetriegeraden kann man mittels gruppentheoretischer Methoden bestimmen
(was hier zu weit gehen würde). Nachstehend sind für die Punkte Γ, X und L die
möglichen Entartungen aufgeführt.
X-Punkt:
L-Punkt:
Γ-Punkt:
3-, 2-, 1-fache
nur 2-fache 2-, 1-fache
Γ15 Γ25 3-fach
L3 L3 2-fach
Γ2 1-fach
L1 1-fach
Eine nicht durch die Symmetrie bedingte, wie man sagt “zuf¨allige” Entartung,
ist die Bandüberlappung. Ein Beispiel ist die Überschneidung der obersten drei
Leitungsb¨ander auf der ∆-Geraden.
Wie man der dargestellten Bandstruktur entnimmt, ist Silizium ein indirekter Halbleiter. Das Minimum des untersten Leitungsbandes in 100 -Richtung
X) liegt bei 0 85 ΓX . Das Maximum der obersten Valenzb¨ander liegt
(Γ
bei Γ. Der Wert der indirekten Energielücke (das “fundamentale gap”) betr¨agt
bei Raumtemperatur Eg 1 12 eV . Wegen der Spin-Bahn-Wechselwirkung wird
die zweifache Entartung der beiden obersten Valenzb¨ander bei Γ in Wirklichkeit
aufgehoben. Ein Band, das sogenannte
split-off band, spaltet nach unten ab. Sein
Extremum hat den Wert Eso Γ 0 044 eV . Deshalb wird es oft vernachl¨assigt
und schweren Löcher, die bei Γ zusamund nur die beiden B¨ander der leichten
menlaufen, werden bei Berechnungen mit einbezogen. Für viele Anwendungen,
bei denen
nur kleine k in der N¨ahe der Bandextrema eine Rolle spielen, genügt
es, Ec k und Elh hh k quadratisch zu entwickeln. Da der lineare Term an den
Extrema natürlich verschwindet, erh¨alt man eine Dispersionsrelation wie für freie
Elektronen, mit dem Unterschied, dass man andere Massen, sogenannte effektive
Massen einführen muss, um die Krümmung der B¨ander in der N¨ahe der Extrema
richtig zu reproduzieren. Die Wirkung des komplizierten periodischen Kristall-
5.1. BANDSTRUKTUR
|
|
|
6.0
75
L3
|
Γ2
Γ15
Γ15
|
2.0 L1
|
Γ25’
X1
Sibandst.ID.epsi
99 71 mm
Γ25’
|
0.0
|
L3’
-2.0
|
-4.0
|
|
Energy (eV)
Γ2’
|
4.0
X4
|
|
∆1
Λ
L
Γ
∆
X
Σ
K
Γ
Wave Vector k
Bandstruktur von Silizium berechnet mit empirischem nicht-lokalen Pseudopotential
(Chelikowsky und Cohen, 1974).
Ec = Eg +
Kz
h2 (k -k )2 + h2 (k -k )2
2m l 0
2m t 0⊥ ⊥
=
h2 k 2
2m lh,hh
=
E lh,hh = -
Kz
effmass.ID.epsi
121 63 mm
Kx
Kx
Ky
Ky
.
Potentials ist dann nur noch
über diese effektiven Massen parametrisiert.
Die Bandstruktur
E
k kann man auch dadurch graphisch darstellen, dass
ν
man Fl¨achen Eν k const im k-Raum, bzw. deren Schnittkurven mit bestimmten
Ebenen konstruiert. In
der Abbildung sind die Isoenergie-Fl¨achen
Ec k const (rechts) und Elh hh k const (links) in Effektivmassen-N¨aherung
76
CHAPTER 5. SILIZIUM
veranschaulicht. Für die Löcher ergeben sich in Wahrheit keine Kugeln, sondern (wegen der Spin-Bahn-Kopplung) “warped surfaces”. Die Kugeln sind
also Approximationen mit richtungsgemittelten effektiven Massen. Man findet
mhh 0 5 m0 und mlh 0 17 m0 . Die Isoenergie-Fl¨achen der Elektronen sind
Rotationsellipsoide.
Man bezeichnet
sie auch als Täler. Wegen der Sternentartung der Symmetriegeraden ∆ sind auf allen sechs Zacken dieses Sterns Minima vorhanden, es gibt also sechs ¨aquivalente T¨aler. Deshalb nennt man Silizium auch einen Vieltal-Halbleiter. Die sogenannte longitudinale effektive Masse
(parallel zu den Hauptachsen) hat den Wert ml 0 92 m0 , w¨ahrend die soge Hauptachsen) den Wert
nannte transversale effektive Masse (senkrecht zu den
mt 0 19 m0 hat. Dies erscheint verwunderlich, denn Silizium muss als kubis
cher Kristall
eine isotrope (Ohmsche) Leitf¨ahigkeit haben. Die Lösung ist, dass
der Mittelwert über alle sechs T¨aler eine isotrope Leitf
ähigkeitsmasse
1
mσ
1
3
1
ml
2
mt
ergibt.
5.2 Zustandsdichte
Die station¨aren Wellenfunktionen der Kristall-Elektronen haben folgende Form
(Bloch-Theorem, Beweis in Lehrbüchern):
1 ikr
ψν k r e uν k r Bloch Funktionen
(5.16)
Ω
Sie sind in einem Grundgebiet Ω normiert und stellen modulierte ebene Wellen
dar. Der Modulationsfaktor
heisst Bloch-Faktor und ist eine gitterperiodische
Funktion: uν k r uν k r Rl . Wir stellen jetzt periodische Randbedingungen
mit Ω als Periodizit¨atsvolumen (Born-von Karmansche Randbedingungen). Dazu
w¨ahlen wir Ω G3 Ω0 , wobei Ω0 a1 a2 a3 das Volumen der primitiven
Einheitszelle und G eine grosse ganze Zahl ist. Periodische Randbedingung bzgl.
des Grundgebietes Ω bedeutet
nun, dass sich eine Grösse nicht ¨andert, wenn man
vom Punkt r zum Punkt r Ga j geht. Da ein Vektor im k-Raum mittels der
reziproken Gittervektoren bm dargestellt werden kann (k ∑m km bm ), wird die
periodische Randbedingung von den Bloch-Funktionen genau dann erfüllt, wenn
1
km
lm m 1 2 3 lm
ganze Zahl
(5.17)
G
Wegen der Gitterperiodizit¨at des Bloch-Faktors ist n¨amlich
ψν k r ψν k r Ga j genau dann wenn eikGa j 1
5.2. ZUSTANDSDICHTE
77
Dass der Phasenfaktor tats¨achlich 1 ist, kann man leicht überprüfen:
ei ∑m km bm Ga j
ei ∑m lm 2πδ jm
eikGa j
e i ∑ m lm b m a j
ei2πl j
1
Die neuen Basisvektoren im k-Raum bm G, mit denen jeder k-Vektor als k
∑m lm bm G dargestellt wird (lm ganze Zahl), bilden ein feinmaschiges Gitter
(sh. Abbildung). Durch die periodische Randbedingung wird der k-Raum also
diskretisiert. Der Vorteil dieser Prozedur wird im folgenden klar werden.
b2
feinmasch.ID.epsi
69 51 mm
1
b
G 2
1
b
G 1
b1
Die Abz¨ahlung der erlaubten elektronischen Zust¨ande kann nun dadurch erfolgen, dass man über alle B¨ander ν und alle Maschen innerhalb der 1. BrillouinZone summiert. Hinzu kommt ein Faktor 2 von der Spin-Entartung (jeder Zustand kann zweifach besetzt werden, mit einem Elektron “spin-up” und einem
Elektron “spin-down” .) Für die mittlere Elektronenzahl im Grundgebiet
ergibt sich daher
2∑
N
mit der Fermi-Dirac-Verteilung
fν k fν k ∑
ν k 1 BZ
1
Eν k EF
e kB T
(5.18)
1
(5.19)
Die totale Elektronen-Dichte erh¨alt man durch Division mit dem Volumen Ω des
Grundgebietes. Da das Volumen der 1. BZ gleich 8π3 Ω0 betr¨agt, ist das Volumen einer feinmaschigen Zelle gleich 8π3 Ω. Die Zahl G ist sehr gross, also darf
78
CHAPTER 5. SILIZIUM
man die Summation durch eine Integration ersetzen:
8π3
Ω ∑
k
d3k
(5.20)
(man vergleiche z.B. den Übergang
von der Riemann-Summe zum RiemannIntegral in 1D: dx f x ∑l ∆x l f xl ).
ntotal
2
fν k ∑
∑
Ω ν k 1 BZ
N
Ω
∞
d 3 k fν k k 1 BZ
Schreibt man stattdessen
ntotal
1
4π3 ∑
ν
∞
dE D E f E (5.21)
(5.22)
dann definiert der Vergleich der letzten beiden Formeln die energetische Zustandsdichte D E :
1
4π3 ∑
ν
D E
d3k δ E
Eν
k
(5.23)
k 1 BZ
Ein Summand der ν-Summe heisst partielle Zustandsdichte des ν-ten Bandes.
Beispiel: parabolisches, isotropes Leitungsband
Die Dispersionsrelation für diesen einfachsten Fall lautet Ec k 2k2 2mc und ist bis auf die effektive Masse mc identisch wie für freie Elektronen. Einsetzen in (5.23) ergibt
1
4π3
Dc E d kδ E
3
2 k2
2mc
k 1 BZ
Da das Bandmodell nur für kleine Energien sinnvoll ist (zu denen kleine maximale k gehören), kann
die δ-Funktion bereits für kleine k innerhalb der 1. BZ
erfüllt werden. Dc E gilt am Ende natürlich nur
für kleine E. Man kann dann
die Integration ins Unendliche erstrecken und Dc E sofort ausrechnen:
Dc E Dc E 1
π2
∞
dk k δ E
2
0
1
2π2
2mc 2
3 2
2 k2
2mc
E Θ E
1
2π2
2mc 3
2
∞
dε ε δ E
2
ε
0
(5.24)
5.2. ZUSTANDSDICHTE
79
Im Silizium ist folgende Modifikation zu machen:
3 2
mc
mt2 ml 1 2 def
3 2
mdn
für ein Tal
Nimmt man den Faktor 6 für die sechs ¨aquivalenten T¨aler hinzu, dann
3 2
mdn
3 2 def 3 2
m̃dn
62 3 mdn für sechs T¨aler
Zahlenwerte: mdn 0 32 m0 und m̃dn 1 06 m0 . Wie gut (bzw. schlecht) das
Zustandsdichte (engl.: DOS, denZustandsdichte-Modell (5.24) die realistische
sity of states) von Silizium beschreibt, kann der Abbildung entnommen werden.
alpha=0.5
0.04
3
DOS (1/(eV*A ))
0.05
0.03
full band
DOSnew.eps
91 71 mm
0.02
parabolic
0.01
0.00
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Electron Energy (eV)
Zustandsdichte von Silizium berechnet mit realistischer Bandstruktur (“full band”),
in der parabolischen Näherung (5.24) mit mc
mdn (“parabolic”) und in nichtparabolischer Näherung Ec k 1 αEc k 2 k2 2mdn mit α 0 5 eV.
80
5.3 Fermi-Dirac-Verteilung
CHAPTER 5. SILIZIUM
5.3.1 System mit konstanter Teilchenzahl (“kanonische Verteilung”)
Medium
E’
dΓ’
Gesamtsystem
Körper
bath.ID.epsi
85 53 mm
E
dΓ
(0)
E
dΓ (0) = dΓ’ dΓ
Wir betrachten ein abgeschlossenes System mit der Energie E 0 (Gesamtsystem). Das Gesamtsystem sei in zwei Teilsysteme aufgespalten: Körper und
Medium (oder “Bad”). Der Körper muss im Vergleich zum Gesamtsystem sehr
klein
aber immer noch makroskopisch gross sein. Die gesamte innere Energie
0
E ist die Summe aus Energie des Mediums E und Energie des Körpers E,
da die Wechselwirkungs-Energie sehr klein gegenüber E ist. Letzteres folgt daraus, dass nur Teilchen in der N¨ahe der Oberfl¨ache des Körpers mit dem Bad
wechselwirken und deren relative Zahl im Vergleich zur Zahl aller Teilchen des
Körpers sehr klein ist (Körper ist makroskopisch gross!). Natürlich ist andererseits die Wechselwirkung die Ursache und Bedingung dafür, dass Körper und Bad
ins statistische Gleichgewicht kommen können.
dΓ 0 sei die Zahl der Quantenzust¨ande des Gesamtsystems,
die zu einem be
0
stimmten infinitesimalen Energie-Intervall dE gehören.
dw 0 sei die Wahrscheinlichkeit, das Gesamtsystem in irgendeinem der dΓ
Zust¨ande zu finden.
0
Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Zahl aller möglichen Zust¨ande des
Gesamtsystems
dw 0
const δ E
E
E
0
const δ E
E
E
0
dΓ 0
dΓ dΓ
5.3. FERMI-DIRAC-VERTEILUNG
81
(dw 0 heisst mikrokanonische Verteilung). Die δ-Funktion drückt dabei die
Energieerhaltung aus (Summe der Energien von Körper und Medium muss gleich
der Gesamtenergie sein). Die Zahl der möglichen Zust¨ande des Gesamtsystems
ist natürlich gleich dem Produkt von Zahl der möglichen Zust¨ande des Körpers
und Zahl der möglichen Zust¨ande des Bades. Diese statistische Unabh¨angigkeit
folgt wiederum aus der begründeten Annahme der schwachen Wechselwirkung
zwischen Körper und Bad.
Man fragt nun nach der Wahrscheinlichkeit dwn für denjenigen Zustand des
Gesamtsystems, bei dem sich der Körper in einem bestimmten (mikroskopischen) Quantenzustand mit der Energie En befindet (also muss dΓ 1 gesetzt
werden):
const δ En
dwn
E
E
0
dΓ
Die totale Wahrscheinlichkeit für die Realisierung des Zustandes, in dem der
Körper die Energie En hat, erh¨alt man durch Integration über alle mikroskopischen Zust¨ande des Bades dΓ, die die Energieerhaltung nicht verletzen:
wn
const
E
E
0
E
E
0
δ En
const
δ En
dΓ
dΓ
dE
dE
!
w n En (5.25)
Der
n¨achste Schritt ist die Berechnung von dΓ dE . Dazu bezeichnen wir mit
Γ E die Zahl der Quantenzust¨ande des Mediums, deren Energie kleiner oder
man die Zahl der Zust¨ande des Mediums mit Energien
gleich E ist. Dann kann
zwischen E und E dE in der Form
dΓ E dE
dE
dΓ
schreiben. Um nun die Wahrscheinlichkeit
W E dE dafür zu erhalten, dass die
dE
Energie des
Mediums
im
Intervall
E
E
liegt, muss man die Wahrschein
lichkeit w E für die Realisierung eines bestimmten Zustands des Mediums mit
der Energie E mit der Zahl der Quantenzust¨ande multiplizieren, deren Energie in
diesem Intervall liegt:
W E dE
W E
dΓ E wE
dE
dΓ E wE
dE
dE
w E dΓ
(5.26)
82
CHAPTER 5. SILIZIUM
W E hat ein extrem scharfes Maximum beim Mittelwert E wegen der riesengrossen Teilchenzahl im Bad. (Ganz allgemein gilt
E
2
E
E
1
N
für die relative Fluktuation der Energie E . Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für
eine relative Abweichung von 10 6 der Energie eines Hundertstel Mols irgen15
deines Gases betr¨agt 10 3 10 .)
Die Verteilung W E ist normiert. Die Normierungsbedingung lautet
W E dE
1
Man ersetzt die Kurve W E durch ein Rechteck mit der Breite ∆E und der
1 W E gelten.
Höhe W E . Wegen der Normierungsbedingung muss ∆E
Anwendung auf (5.26) ergibt
W E ∆E
dΓ E ∆E w E
dE
∆Γ w E
1
∆Γ ist die Zahl der Quantenzust¨ande des Bades, die dem Energie-Intervall ∆E
entspricht. Diese Grösse charakterisiert den “Grad der Verschmierung” des
makroskopischen Zustandes des Mediums über seine mikroskopischen Zust¨ande.
Man sagt auch statistisches Gewicht des makroskopischen Zustandes dazu.
Seinen Logarithmus nennt man Entropie
kB ln ∆Γ
S
(5.27)
Wegen der ungeheuren Sch¨arfe der Verteilung W E kann man
dΓ
dE
∆Γ
∆E
exp S E
∆E
kB
ersetzen. Nach Einsetzen in Gleichung (5.25) erh¨alt man
w n En const
δ En
E
exp S E 0
const
∆E E E
0
En k B
E 0 En
exp S E
∆E
kB
dE
5.3. FERMI-DIRAC-VERTEILUNG
83
Da der Körper nach Voraussetzung klein gegen das Medium ist (also auch
En
E 0 ), kann man im Nenner En vernachl¨assigen und im Z¨ahler die TaylorEntwicklung
En S E0
anwenden. Somit ergibt sich
dS
En
dE 0
S E0 dS En (5.28)
dE 0 kB An dieser Stelle wird die Thermodynamik ins Spiel gebracht. Aus ihr ist bekannt,
dass
w n En dE
A exp
T dS
P dV
µc dN
(5.29)
gilt. Im hier vorliegenden Fall ist dV
dN
0, also dS dE
1 T im
Körper wie im Medium wegen der Voraussetzung des thermodynamischen Gleichgewichts. Damit erh¨alt man endgültig die Gibbssche Verteilung (oder kanonische Verteilung) (Gibbs, 1901)
w n En A exp
En kB T
(5.30)
Die Normierungskonstante folgt aus ∑n wn
1. Gleichung (5.30) gibt die
Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Körper die Energie E
n hat, wenn er sich
im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Medium befindet, das die Temperatur T hat.
5.3.2 System mit variabler Teilchenzahl (“grosskanonische Verteilung”)
N 0 sei die Zahl der Teilchen im Gesamtsystem, N die Zahl der Teilchen im
Medium und N die Zahl der Teilchen im Körper. Zwischen Körper und Medium
können Teilchen ausgetauscht werden. Die durch den Teilchen-Austausch bedingten Fluktuationen von N und N sind wegen der grossen Teilchenzahlen
(makroskopische Systeme!) im selben Sinne klein wie die Fluktuationen der Energie (sh. (5.3.1)). Was ¨andert sich an der obigen Ableitung?
Die Wahrscheinlichkeits-Verteilung wn verallgemeinert sich zu
wn
wnN
const exp S E
0
EnN N
0
N wnN ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Körper N Teilchen enth¨alt und
sich im n-ten Zustand befindet. Die Energien EnN des Körpers h¨angen jetzt
natürlich von der Teilchenzahl N im Körper ab.
84
CHAPTER 5. SILIZIUM
Die Taylor-Entwicklung der Entropie bzgl. der kleinen Grössen EnN und N
ergibt jetzt
S E
0
EnN N
0
N
0
S E
EnN
T
N0
µc N
T
Dabei fallen die chemischen Potentiale (wie die Temperaturen) des Körpers
und des Mediums wegen der Gleichgewichtsbedingungen zusammen.
Damit erh¨alt man die grosskanonische Verteilung
wnN
A exp
µc N En kB T
Die Normierungskonstante folgt aus ∑ wnN
(5.31)
1.
nN
5.3.3 Fermi-Dirac-Verteilung
Teilchenzahl N und Energie EnN des Körpers werden in der sogenannten
Besetzungszahl-Darstellung aufgeschrieben:
∞
nN
∞
∑ nl N
nN
∑ nl
EnN
l 0
nN
εl
l 0
nl
gibt die Zahl der Teilchen an, die einen Einteilchen-Zustand ψl
mit
der Energie εl besetzen. Der Wertevorrat der Besetzungszahlen unterscheidet
Fermionen von Bosonen
Bosonen :
nl
Fermionen :
nl
nN
nN
0 1 2 3
0 1
Fermionen haben halbzahligen Spin, Bosonen ganzzahligen. Die VielteilchenWellenfunktion der Fermionen ¨andert ihr Vorzeichen, wenn zwei Teilchen vertauscht werden, die der Bosonen nicht. Unter Verwendung der grosskanonischen
Verteilung (5.31) erh¨alt man für die mittlere Zahl von Teilchen im Körper
N
∑ wnN N
nN
∞
∑ ∑ wnN nl
l 0 nN
nN
∞
∑ nl l 0
Der letzte Schritt, d.h. die Einführung der mittleren Besetzungszahl ln̄, ist nichttrivial, bedeutet er doch, dass jetzt u.U. ein einziges Teilchen die Rolle des
Körpers übernimmt. Bei der Ableitung der Gibbs-Verteilung wurde gefordert,
5.3. FERMI-DIRAC-VERTEILUNG
85
dass der Körper immer noch makroskopisch gross sein muss, um zu garantieren,
dass die Wechselwirkung zwischen Körper und Bad vernachl¨assigbar ist (QuasiAbgeschlossenheit des Körpers). Die Quasi-Abgeschlossenheit eines einzelnen
Teilchens ergibt sich hier aus der Voraussetzung, dass die direkte dynamische Wechselwirkung zwischen den Teilchen vernachl¨assigbar klein gegen die
Einteilchen-Energien εl ist. Die Ausnahme ist die Austausch-Wechselwirkung,
die bei höheren Dichten zu einer anderen Statistik (Fermi-Statistik) führt. Sie
ist jedoch nur für Teilchen in ein und demselben Zustand wichtig. Nur wenn
die direkte dynamische Wechselwirkung vernachl¨assigbar bleibt, ist die Energie
EnN die einfache Summe der Einteilchen-Energien. Gase, bei denen die Wechselwirkung zwischen den Molekülen vernachl¨assigt werden kann, nennt man
ideale Gase. Wir betrachten also hier ideale (Quanten-) Gase. (Wie im Falle
makroskopischer Körper darf natürlich die Wechselwirkung nicht völlig fehlen,
da sich sonst kein Gleichgewicht zwischen den Teilchen einstellen könnte.)
Die mittlere Besetzungszahl wird explizit
nl
∑ wnN nl
nN
∑ nl
nN
∑ nl
∞
∑
exp
∑ exp
l 0
∑ nnN
l
nN
µc N E n
kB T µc ε l
nnN
l
kB T
∞
l 0
µc N E n
kB T exp nN
nN
∑ exp nN
nN
nN
µc ε l
kB T
∑ nl
nN
nN
∏ e
µc ε k
kB T
nN
nk
k
∑∏ e
µc ε k
kB T
nN
nk
nN k
Den Nenner nennt man grosse Zustandssumme Z , aus der man n l generieren
kann:
n̄l
Z
∑ nl
1
nN
e
µc ε l
kB T
nN
Z
1
Z
1
nl
nN
∏
∂
Z
∂εl
e
µc ε k
kB T
nN
nk
k l
µ εk
∂
kB T e kB T ∑
∏
∂εl nN k
kB T c
kB T
nN
nk
∂
ln Z
∂εl
(5.32)
86
CHAPTER 5. SILIZIUM
Für Elektronen und Löcher ist
1
∑
nN
nN
n1
∑
nN
n2
0
wegen des Pauli-Prinzips. Die grosse Zustandssumme wird dann
Z
∑∏
µc ε k
kB T
e
nN
nk
∑ ∏ B nk
nN
nN k
nN k
1
nN
n1
∞
∏
ln Z
k
∞
∑
nN
n2
1
∑ ln
∏ B nk
nN
0 k
∞
Bk 1
∏
e
µc ε k
kB T
1
1
e
B1 1
µc ε k
kB T
B2 1
Bl k
(5.33)
k 0
und schliesslich mit (5.32) (Fermi, Dirac, 1926)
nl
1
1
e
ε l µc
kB T
(5.34)
nl kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, wie es wegen des Pauli-Prinzips
sein muss.
1, geht die Fermi-Dirac-Verteilung in die
Im Falle der Nichtentartung, nl
Boltzmann-Verteilung über. Dazu muss offenbar εl µc und εl µc kB T
gelten.
nl
e
µc ε l
kB T
wenn nl
1
In der Bauelemente-Physik benutzt man folgende Bezeichnungen: ε l
f E , µc EF und nennt EF Fermi-Niveau.
f E
1
1
e
E EF
kB T
(5.35)
E, nl
(5.36)
5.4. LADUNGSTRÄGERDICHTEN
87
distribution function
1.5
T=1K
T=77K
T=300K
T=700K
Boltzmann 300K
1.0
fermifunc.eps
86 72 mm
0.5
0.0
−0.2
−0.1
0.0
0.1
energy E − EF (eV)
0.2
Die linierten Kurven zeigen die Fermi-Dirac-Verteilung für vier verschiedene Temperaturen als Funktion von E EF . Zum Vergleich ist die Boltzmann-Verteilung bei 300 K
dargestellt. Der Unterschied zur Fermi-Verteilung verschwindet mit wachsender Energie und ist bei E EF 2kB T bereits vernachlässigbar.
5.4 Ladungstr¨
agerdichten
A) Intrinsisches Silizium
Wir definieren Ev k 0 als Energie-Nullpunkt. Eg ist die Energie des indirekten
gaps. Nach den Vorbereitungen der vorangegangenen Abschnitte können wir jetzt
die Gleichgewichts-Dichten der Elektronen und Löcher hinschreiben:
n
p
3 2
mit m̃d p
1
2π2
3 2
m̃d lh
3 2 ∞
2m̃dn 1
2π2
dE
2
Eg
Eg
E EF
e kB T
1
3 2 0
2m̃d p E
dE
2
3 2
∞
1
E
EF E
e kB T
Elektronendichte
(5.37)
Löcherdichte
(5.38)
m̃d hh . Beide Ausdrücke enthalten ein Fermi-Integral F1
F1
2
η
2
π
∞
0
dx x
e
x1 2
η 1
2
(5.39)
88
CHAPTER 5. SILIZIUM
Deshalb kann man die Dichten auch in der Form
E E
F
g
n Nc F1 2
p Nv F1
kB T
EF kB T
2
(5.40)
schreiben. Die Vorfaktoren nennt man effektive Zustandsdichten des Leitungsund Valenzbandes:
Nc v
m̃dn p kB T 2
2π 2
3 2
2 541
10
19
m̃dn p m0
3 2
T 300
3 2
cm 3
Im Falle der “Nichtentartung”, d.h. wenn E g EF
kB T für Elektronen und
EF
kB T für Löcher gilt, wird
η e
Boltzmann N¨aherung F1 2 η und die Dichten nehmen die Form
E E
F
g
n Nc exp
kB T
p
Nv exp
EF kB T
an. Im intrinsischen Silizium lautet die Neutralit¨atsbedingung n
Dotierung). Andererseits ist
np
def 2
ni
p (keine
Eg
Nc Nv e kB T
Diese Beziehung kann man als Massenwirkungsgesetz einer “chemischen Reaktion”
C T Nc Nv
np
auffassen. n und p spielen dabei die Rolle der Endprodukte (freie Ladungstr¨ager),
w¨ahrend Nc v die Rolle der Ausgangsprodukte spielen (gebundene Elektronen und
Löcher). C T ist die Massenwirkungskonstante (thermodynamisch betrachtet ist
Eg die Summe der freien Enthalpien von Elektron und Loch). Man erh¨alt also
als Eigenleitungsdichte n p ni . Auflösung nach dem entsprechenden FermiNiveau ergibt, da
n
EF
EF Eg kB T
Nc exp
EF i
1 Eg
2
ni Eg kB T ln
m̃ Nc
3
dp kB T ln
4
m̃dn ni
Nc Nv e
Eg
2kB T
1 kB T
Nv Eg
ln
2
2
Nc
(5.41)
5.4. LADUNGSTRÄGERDICHTEN
89
Die Zustandsdichte-Massen sind allerdings selbst temperaturabh¨angig
(m̃dn 300 K 1 090 m
0 m̃d p 300 K 1 152 m0). Wegen des geringen Massen
Unterschieds ist EF i 300 K Eg 2 1 meV ! Bei Raumtemperatur liegt das
Eigenleitungs-Niveau also praktisch in der Mitte der Energielücke (“midgap”).
Die
intrinsische Dichte9 ni ist3 schwierig zu messen. Der momentan beste Wert ist
ni 300 K 9 97 10 cm .
B) Dotiertes Silizium
Wir betrachten n-dotiertes Silizium und setzen voraus, dass die Donatoren genau
einen gebundenen Zustand mit dem Energieniveau ED erzeugen und das dieses
Niveau auch nur einfach besetzbar ist. Das Einbringen von Elementen der 5.
Hauptgruppe des PSE, wie Phosphor oder Arsen, auf regul¨are Pl¨atze des SiliziumKristallgitters führt dazu, dass das “überschüssige” fünfte Valenzelektron nur
noch schwach an den Donator gebunden ist und leicht thermisch ins Leitungsband
aktiviert werden kann. Die Bindungsenergie im Grundzustand, d.h. E g ED ,
ist nur von der Grössenordnung 50 meV . Die Statistik für solche an sogenannten flachen Störstellen gebundene Elektronen unterscheidet sich etwas von der
Statistik der freien Ladungstr¨ager.
Das gebundene Elektron kann sich in zwei Zust¨anden befinden: “spin-up”
oder “spin-down”, wir bezeichnen diese Zust¨ande mit D , D . Der einfach
besetzte Zustand hat also zwei Realisierungsmöglichkeiten, der unbesetzte nur
eine! nD bezeichne die Besetzungszahl (also hier 0 oder 1). Man führt Gewichtsfaktoren gnD ein (also hier g0 1, g1 2), so dass die verallgemeinerte Besetzungswahrscheinlichkeit des Niveaus ED :
fD
∑ gnD nD exp nD 0 1
µc E D nD
kB T
µc E D nD
kB T
∑ gnD exp nD 0 1
fD
1
g0
g1
exp E D µc
kB T 1
(5.42)
Der Unterschied zu den freien Ladungstr¨agern besteht also im Auftreten eines
Faktors g0 g1 vor der e-Funktion. Dieser Faktor ist 1 2 für Donatoren und
2 für Akzeptoren. Die physikalische Ursache liegt in der vorausgesetzten
Beschr¨ankung der nur einfachen Besetzbarkeit von ED . Ein zweites Elektron
kann nicht gebunden werden, da die starke Coulomb-Wechselwirkung in der
Umgebung des Donators (Bohr-Radius!) dies verhindert. Im Gegensatz dazu sind
die Elektronen in den B¨andern relativ weit voneinander entfernt, jedes EnergieNiveau kann dort zweifach besetzt werden (Spin-Entartung).
90
CHAPTER 5. SILIZIUM
Die Neutralit¨atsbedingung für (homogen) dotiertes Silizium lautet
n
Man beachte, dass N
D
Niveaus ist.
p
n2i
n
ND
die Dichte der ionisierten Donatoren, also der unbesetzten
ND
ND
fD ND 1
ND
1
2 exp mit
1
Nc exp
2
n1
def
EF ED
kB T Eg ED kB T
ND
n
n1
n1
(5.43)
Setzt man dies in die Neutralit¨atsbedingung ein, folgt
n2i
ND n1
n
0
n n n1
n2 n n 1 n n1 n2i
n n1 ND
0
(5.44)
Man hat also bereits eine kubische Gleichung in n erhalten. Die kann man zwar
noch lösen, wir betrachten hier aber nur den wichtigen Fall ND ni . Unter
dieser Voraussetzung ist auch n
ni und der mittlere Term in (5.44) kann vernachl¨assigt werden. Dann
n2
n
n n1
1
n1
2
n1 ND
4ND
n1
0
1
1
(5.45)
ND n1
(nicht zu hohe Dotierung, ausreichend hohe Temperaturen, das FermiNiveau liegt noch einige kB T unterhalb von ED )
n ND , vollständige Ionisation
EF
Eg
kB T ln ND
Nc ND n1
(sehr hohe Dotierung, tiefe Temperaturen)
n
n1 ND
ND , Ausfrieren der freien Ladungstr¨ager an den
5.4. LADUNGSTRÄGERDICHTEN
Störstellen
EF Eg kB T
2 ln
1
2 Eg
ND
2N
c
91
1
2
ED Eg
EF T
0
ED , d.h. das Fermi-Niveau kommt genau in der Mitte
zwischen Donator-Niveau und Bandkante zu liegen.
Alle diese Betrachtungen sind stark vereinfacht. Mit steigender Dichte wird das
Coulomb-Potential der ionisierten Störstellen
abgeschirmt. Die Bindungsenergie
wird eine Funktion der Dichte: ED ED n . Bei etwa n 2 1018 cm 3 können
in Si überhaupt keine Elektronen mehr an den Donatoren gebunden werden und
der Ionisationsgrad wird 1. Diese Situation nennt man Mott-Übergang. Eine
Folge der immer höheren Dotierung ist, dass die diskreten Störstellen-Niveaus
ED zu einem schmalen Störstellen-Band verbreitern, das schliesslich mit dem
Leitungsband verschmilzt.
Ein weiterer wichtiger Effekt h¨angt mit der Vielteilchen-Wechselwirkung
zusammen. Werden die B¨ander stark besetzt, wie das bei hohen Dotierungen
der Fall ist, ver¨andert sich die Bandstruktur: Die Energielücke schrumpft (band
gap narrowing) und Eg Eg ND n . Der Grund sind Energie-Beitr¨age der
Austausch- und Korrelations-Wechselwirkung. Die St¨arke des Effektes kann man
der Abbildung entnehmen.
Band Gap Narrowing ∆Eg [eV]
del Alamo et al.
Ghannam
Mertens et al.
Neugroschel et al.
Possin et al.
Slotboom et al.
Swirhun et al.
Wieder
Schenk model (n−type)
Schenk model (p−type)
CompElKlaassNEW.eps
Klaassen
(unified)
0.15
0.10
72
70 mm
0.05
0.00
16
17
18
19
20
−3
Log( Density [cm ] )
21
6 Streuprozesse
6.1 Übergangswahrscheinlichkeit am Beispiel der Streuung an
ionisierten Störstellen
Vorbetrachtung
Überlagert man dem Potential des idealen Kristalls ein konstantes elektrisches
Feld E, w¨achst der Elektronen-Impuls linear an:
kt
k0
e
Et
(6.1)
Dabei wurde die Anfangsbedingung k t 0 k0 angenommen und die Newtonsche Bewegungsgleichung
gelöst.
Für
symmetrische
Feldrichtungen gibt es
einen Zeitpunkt t T E , an dem der Vektor kT K T mit dem Vektor kt 0
zum Zeitpunkt 0 erstmalig wieder zusammenf¨allt. Das bedeutet, dass der BlochZustand zum Zeitpunkt T in den Bloch-Zustand zum Zeitpunkt 0 zurückkehrt.
Für ganzzahlige Vielfache von T gilt das gleiche. Die Bewegung von BlochZust¨anden im elektrischen Feld ist also periodisch. Man nennt diese Bewegung
Bloch-Zener-Oszillationen. Die Periode T dieser Oszillationen ergibt sich aus
Gleichung (6.1):
T
K
e E
Für E 104 V cm und primitive reziproke Gittervektoren K b j ist T etwa
10 10 s. Kehren wir zu den B¨andern zurück,
wie wir sie im letzten Kapitel für
das 1D-Modellpotential erhalten hatten: E k E0 cos ka . Berechnet man daraus die Gruppengeschwindigkeit
vg
1 dE
dk
aE0
92
sin ka 6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STÖRSTELLEN
93
und setzt für k die Beziehung (6.1) ein, so ergibt sich
aE0
vg
aeEt sin k0 a
Die Gruppengeschwindigkeit oszilliert also in den Grenzen aE0 mit der Frequenz f
aeE h, die genau dem Kehrwert von T im eindimensionalen Fall
entspricht. Da die Stromdichte j envg ist, sieht man also, dass ein Gleichfeld E
einen Wechselstrom j generiert. Das zeitliche Mittel ist Null, d.h. es fliesst kein
Gleichstrom. Dass man trotzdem einen Gleichstrom misst, liegt an der Streuung. Nach Zeiten von etwa 10 13 s werden die Bloch-Elektronen durch Stösse
mit Phononen und Störstellen aus der Bahn geworfen, so dass sie niemals einen
Impulszuwachs von K w¨ahrend der periode T schaffen können. Die Streuung
sorgt also bei Bloch-Elektronen nicht wie bei völlig freien Elektronen dafür, dass
ein sonst unendlich grosser station¨arer Strom endlich bleibt, sondern dafür, dass
ein sonst verschwindender Strom nicht Null wird! Bloch-Zener-Oszillationen
wurden vor einigen Jahren erstmals an Supergittern, die eine viel grössere Gitterperiode als a haben, anhand der emittierten Terra-Hertz-Strahlung nachgewiesen.
Quantenmechanik: Ultra-Short Course III
Goldene Fermi-Regel der QM
Wir betrachten einen zeitabh¨angigen Störoperator der Form
0
Wt.ID.epsi
53 13 mm
V t
W t
0
0 t
sonst
τ
wobei die Ortsabh¨angigkeit von W t nicht
t
explizit mitgeschrieben wird. Die zeitabh¨angige Schrödinger-Gleichung
i
Ĥ ∂ Ψ t
∂t
0
V t Ψ t
hat keine station¨aren Lösungen im Zeitintervall 0 τ . Wir entwickeln Ψ t nach
den station¨aren Zust¨anden nφ von Ĥ0 . Die zugehörigen Eigenenergien sind En .
(Eine solche Entwicklung ist möglich, da die φn eine orthonormierte Basis im
Hilbert-Raum bilden.)
Ψ t
∑ an t n
φn exp
i
En t (6.2)
τ
94
CHAPTER 6. STREUPROZESSE
Zu Zeitpunkten t 0 hat sich das System in einem Eigenzustand von Ĥ0 befunden, z.B. φi (“i” steht für “initial”). Daher muss
Ψa
φi exp
i
Ei t für t
0
δni für t 0. Nachdem die Störung
sein. Daraus folgt an t vorbei ist, d.h. für
t τ, haben die Koeffizienten wieder konstante Werte ani τ . Sie h¨angen vom
Anfangszustand (deshalb der Index i) und von der Dauer der Störung τ ab. Für
Zeiten t τ lautet also die Wellenfunktion
∑ ani τ Ψe
φn exp
n
i
En t Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System nun in einem bestimmten Zustand
f (“ f ” steht für “final”) befindet, wird durch das Betragsquadrat
2 Bez a f i τ
M f i τ
(6.3)
gegeben. M f i heisst Übergangswahrscheinlichkeit (von i nach f ). Ziel ist die
Berechnung von M f i . Dazu setzt man die Entwicklung (6.2) in die SchrödingerGleichung ein und erh¨alt im Zeitintervall 0 τ
∂an t φn exp
i ∑
∂t
n
En t i
W t
∑ an t φn exp
n
i
En t Um eine Gleichung für die Entwicklungskoeffizienten an t zu erhalten, multipliziert man diese Gleichung mit φ f und integriert über den IR3 :
∂an t i ∑
φ f φn exp
∂t
n
ȧ f t mit
δfn
1
i
∑
n
i
En t ∑ an t n
φ f W t φn exp
f W t n an t eiω f nt
φ f W t φn
def
f W t n
i
En t (6.4)
d 3 r φn r φ f r W t ωfn
E f En nennt man Übergangsfrequenz. Gleichung (6.4) ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit mit der Anfangsbedingung a f 0 δ f i ,
6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STÖRSTELLEN
95
wie man durch Einsetzen in (6.2) sofort sieht. Wir nehmen nun an, dass W t nur
eine “kleine Störung” ist, bzw. dass die Dauer τ der Störung nicht zu lang ist.
Dann kann man (6.4) iterativ lösen und im ersten Schritt
Anfangsbedingung
die
0 in die rechte Seite anstelle von an t einsetzen, also an t δni :
1
f W t i eiω f i t
i
Integration im Intervall 0 τ unter Beachtung, dass die Zust¨ande f und i verschieden sein sollen, liefert
1 τ
1 a f i τ
dt f W t i eiω f i t
i 0
ȧ f i t 1
Damit erh¨alt man für die Übergangswahrscheinlichkeit in 1.
Störungstheorie
1
Mfi
τ
1
afi
2
τ
τ
1
2
dt f W t i eiω f i t 2 0
Ordnung
(6.5)
Wir betrachten jetzt zwei wichtige F¨alle für die Zeitabh¨
angigkeit des
Störoperators W t :
1.)
W t
W0
W0 r f W0 i 2
M f i τ
1
keine Zeitabh¨angigkeit
f W0
π
2
e
2 ω2
fi
iω f i τ
2
1
ω f iτ
4 sin 2
i 2
2
2 ω2
fi
ωfi
2 τ
ωfi 2
τ
2
sin2 f W0 i τ
2
π
τ
∞
δ
(6.6)
ωfi
2 Der letzte Schritt folgt aus einer der möglichen Darstellungen der δFunktion:
1 sin2 xε 0 πε x ε 2
lim
ε
δ x
96
CHAPTER 6. STREUPROZESSE
Wir definieren die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit als
Sfi
lim
1
Mfi
τ
τ
2π
τ
∞
Ei f W0 i 2 δ E f
(6.7)
Man nennt sie oft “Fermi’s Goldene Regel der Quantenmechanik”. Sie ist
die wohl wichtigste Formel für Anwendungen der QM. Man bedenke, dass
mit ihr die Berechnung von (mikroskopischen) Streuraten auf die Berechnung eines einzigen Übergangs-Matrixelements, gebildet mit Zust¨anden des
ungestörten Systems, reduziert wird.
2.)
W0 eiω0 t e iω0 t W t
periodische Störung
z.B. Phonon, Photon, ...
Die Rechnung ist analog. Es treten lediglich Frequenzverschiebungen
ω f i ω0 auf und man erh¨alt
2π
Sfi
f W0 i 2 δ E f
Ei
ω0 δ Ef
Ei
ω0 Die erste δ-Funktion beschreibt die Emission eines Quants der Energie ω 0 ,
die zweite die Absorption eines solchen Quants.
Wir betrachten jetzt zwei wichtige F¨alle für die Ortsabh¨angigkeit des
Störoperators W0 . Anfangs- und Endzust¨ande seien Bloch-Funktionen der
Kristall-Elektronen.
1 ik r 1
i
f
e
uk ν r e ik r ukν r Ω
Ω
Wir fragen also nach der Wahrscheinlichkeit für die Streuung aus einem Zustand
mit dem Wellenzahlvektor k aus der 1. BZ in einen Zustand mit dem Wellenzahlvektor k aus der 1. BZ. Da in der QM der Zusammenhang p k zwischen
Impuls und Wellenzahlvektor gilt, ist die Frage gleichbedeutend mit der Frage
nach den zu erwartenden Impuls¨anderungen p p.
1.)
W0 r f W0 i
const
W0
3
ir
k
d re
Ω Ω
W0 δνν δkk
k u r u r
kν
kν
6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STÖRSTELLEN
97
wegen der Orthonormierung der Bloch-Funktionen. Das Matrixelement
liefert also nur von Null verschiedene Beitr¨age, wenn k k gilt, d.h. eine
r¨aumlich konstante Störung ¨andert den Impuls eines Elektrons nicht.
2.)
W0 r beliebig. Fourierzerlegung: W0 r f W0 i
1
W0 q ∑
Ω q
Ω
d 3 re ir k
k
∑ W0 q eiq r
q
q u r u r
kν
kν
Wenn q klein ist, dann gilt die Orthonormiertheit wenigstens noch
n¨aherungsweise. Im Rahmen der Effektivmassen-N¨aherung werden die
Bloch-Faktoren von vornherein durch 1 ersetzt. Dann erh¨alt man
f W0 i
∑ W0 q δk q
k q δνν
!
δνν W0 k
k
Die Fouriertransformation des Potentials W0 r führt also direkt auf das Matrixelement.
Bemerkung:
Die Goldene Regel zeichnet sich durch eine grosse Allgemeingültigkeit aus.
Dies obwohl ein offensichtlicher Widerspruch besteht. Um die δ-Funktion zu
∞ nehmen. Bei bestimmten Wechselerhalten, musste man den Limes τ
wirkungsprozessen wirkt jedoch die Störung nur w¨ahrend sehr kurzer Zeiten. Für
Stosszeiten von der Grössenordnung 10 14 s und kleiner kann der Ausdruck (6.6)
typischerweise nicht mehr in eine δ-Funktion übergehen, die Energie-Erhaltung
wird verletzt. Dies ist eine Konsequenz der Heisenbergschen Unsch¨arferelation.
Zu kurze Wechselwirkungen, d.h. mit zu grosser Zeitsch¨arfe, sind unweigerlich
mit einer gewissen Energie-Unsch¨arfe verbunden. Die im folgenden betrachteten
Streuprozesse der Elektronen in Silizium-Bauelementen sind jedoch derart, dass
die Goldene Regel mit grosser Genauigkeit gilt.
A) Anwendung auf Streuung an ionisierten Störstellen
Die ionisierten Dotieratome erzeugen ein Coulomb-Potential, das dem eines Protons sehr ¨ahnlich ist. Die Einbettung der Ionen-Rümpfe im Silizium hat jedoch
zwei Konsequenzen: 1.) Wegen des relativ grossen Bohrschen Radius “spürt”
das gebundene Elektron ein Gebiet des Kristalls vom Volumen mehrerer hundert
Wigner-Seitz-Zellen. Die Polarisierbarkeit der Silizium-Atomrümpfe führt dazu,
98
CHAPTER 6. STREUPROZESSE
dass das Orbital nur den εs -ten Teil des “nackten” Coulomb-Potentials spürt. ε s
ist die statische Dielektrizit¨atskonstante (εs 11 7 in Silizium). 2.) Die frei be
weglichen Ladungstr¨ager reagieren auf die zus¨atzliche
Ionen-Ladung durch eine
gewisse Umordnung. Resultat dieser Umordnung ist ein zus¨atzliches Potential,
das jedes Elektron im System spürt, also auch das an der Störstelle gebundene. In
einfachster N¨aherung kann man diesen Effekt mittels einer q-abh¨angigen dielektrischen Funktion der Gestalt
ε q
1
q2s
q2
beschreiben (der Index “s” steht für “screening”). Die Wellenzahl q s ist
umgekehrt proportional zur sogenannten Abschirmlänge Ls : Ls 2π qs . Man
findet in 1. Ordnung Störungstheorie
0.0
Potential (eV)
Screening Length (nm)
1000
100
lambda.eps
63 55 mm
10
1 14
10
10
15
10
16
10
17
18
10
10
19
−0.1
−0.2
20
10
yukawa.eps
62 57 mm
0
5
−3
Density (cm )
14
10
16
10
18
10
20
10
10
15
Distance (nm)
Realistisch berechnete Abschirmlänge als Funktion der Elektronendichte in n-Silizium
bei 300 K (links). Yukawa-Potential bei verschiedenen Elektronendichten (rechts).
q2s
4πe2 n p
εs kB T
d.h. die Abschirml¨ange ist
1 n p. Je grösser die Dichten der frei
beweglichen Ladungstr¨ager, um so st¨arker wird das Coulomb-Potential
abgeschirmt. Dies geht soweit, dass ab einer bestimmten Dichte überhaupt
kein Elektron mehr an der Störstelle gebunden werden kann. Dies ist der bereits
im vorangegangenen Kapitel erw¨ahnte Mott-Übergang. Er findet in Silizium bei
Dichten von etwa 2 1018 cm 3 statt. Darüber sind alle Dotieratome ionisiert.
Das effektive Potential, das von den ionisierten Dotieratomen erzeugt wird,
nimmt nach dem oben Diskutierten die Form des sogenannten Yukawa-Potentials
6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STÖRSTELLEN
99
an
e2
e r Ls
εs r
W0 r (6.8)
an. Um die Übergangswahrscheinlichkeit für Streuungen an diesem Potential zu
finden, müssen wir also nur die Fourier-Transformierte berechnen:
1
Ω
W0 q Ω
d 3 r e iq rW0 r Dies sollte man als Übung tun (Kugelkoordinaten!), das Ergebnis ist
4π e2
Ω εs q2 Ls 2 W0 q Damit erh¨alt man alsÜbergangswahrscheinlichkeit Skk für die Streuung an einer
ionisierten Störstelle
Skk
2π Ω εs
4πe2
k2
k
Ls 2
δ Ek
2
Ek (6.9)
Wir betrachten ionisierte Donatoren mit einer mittleren Dichte ND . Nach
Prozess-Schritten wie Implantation, Eindiffusion und Ausheilung sind die Donatoren regellos auf dem Kristall-Gitter verteilt. Ist der Abschirmradius kleiner
als der halbe mittlere Abstand zwischen den Donatoren, kann man die Streuung an verschiedenen Donatoren als unabh¨angig voneinander ansehen. Dies ist
für Dotierungskonzentrationen (und damit Dichten), die die Beweglichkeit der
Ladungstr¨ager tats¨achlich beeinflussen, gut erfüllt. Da wir alle Berechnungen auf
das Grundgebiet Ω beziehen wollen, ist der letzte Ausdruck noch mit der Zahl
der Donatoren im Grundgebiet ΩND zu multiplizieren, um zur totalen Streurate
zu kommen (wegen der vorausgesetzten Unabh¨angigkeit der Donatoren)
Skk
2π 4πe2 Ω ε2s
2
ND
k
k
2
Ls 2
δ Ek
2
Ek (6.10)
(Brooks, Herring, 1951). Der Fall geringer Dotierungskonzentrationen, bei dem
der Abschirmradius grösser als der halbe mittlere Abstand zwischen den Donatoren werden kann, erfordert eine gesonderte Behandlung der dabei auftretenden
Mehrfach-Streuung (Conwell, Weisskopf).
100
CHAPTER 6. STREUPROZESSE
B) Impuls-Streurate
Gem¨ass Gleichung (3.15) ist die Beweglichkeit direkt proportional zur
makroskopischen Impuls-Relaxationszeit: µn
eτ p n mn . Das 1. Moment
der Boltzmann-Gleichung liefert den Zusammenhang zwischen τ p n und dem
Stossterm der BG
∂v v
n
n
(6.11)
∂t coll
τp n
(sh. Kap.3). Wir schreiben beide Seiten explizit aus, wobei nach (5.20) kSummation durch k-Integration ersetzt wird.
n
∂v
∂t
coll
n
v
d 3 k ∑ Sk k 1
k
fk fk
Skk 1
f k f k v
Ω
k
d 3 k d 3 k Skk fk fk 3
8π
mn
Ω
d 3 k fk d 3 k Skk k k mn
8π3
1
d 3 k f k k mn
τp n
τp n
Dabei wurde ein einfaches, parabolisches Leitungsband Ec k 2k2 2mn angenommen, was ausreicht, weil nur kleine k in der Umgebung des Bandminimums zur Übergangswahrscheinlichkeit beitragen.
Um (6.11) nach
1 τ p n auflösen zu können, betrachten wir o.B.d.A. die z-Komponente der
Geschwindigkeit und erhalten
Ω
8π3
1
τp n
d kf d k S
d kf k
3
3
k
3
kk
kz k
z
k z
Für die k-Integration wird kz als Polarachse benutzt. Da die Stösse elastisch
sind, haben die Vektoren k und k die gleiche L¨ange, so das kz kz cos Θ mit
dem Streuwinkel Θ. Dies führt auf
d k f k τ k
d kf k
3
1
τp n
1
k z pn
3
k z
mit der Impuls-Streurate
τ p 1n k Ω
8π3
d 3 k Skk 1
cos Θ (6.12)
6.2. DIE WICHTIGSTEN STREUMECHANISMEN IN SILIZIUM
101
Vergleicht man den letzten Ausdruck mit der totalen (mikroskopischen) Streurate aus Kap.2, die dort für symmetrische (“randomizing”)
Übergangswahrscheinlichkeiten Skk S k k Sk k S k k definiert wurde,
so tritt hier ein Faktor 1 cos Θ auf, der Streuungen mit Θ 0, die zu keinerlei
Impuls¨anderung führen, herausfiltert. DieÜbergangswahrscheinlichkeit Skk
wird für Θ 0 maximal, da
k
k 2
k2
k
2
2kk cos Θ
cos Θ 2k2 1
4k2 sin2
Θ
2
in dem Fall verschwindet. Die Streuung an ionisierten Störstellen ist also nicht
“randomizing”, sondern führt bevorzugt zur Vorw¨arts-Streuung. Setzt man den
Ausdruck (6.10) für Skk in die Impuls-Streurate ein und nutzt die δ-Funktion
aus, ergibt sich 1 τ p n als Funktion nur der Energie:
τ p 1n
Ek πe4 ND Φ η 3 2
2mn ε2s Ek
mit
Φ η
ln 1
η
1
η
η
und η
8mn Ek
2Ls 2
(Brooks, Herring, 1951). Mit wachsender Energie nimmt die Impuls-Streurate
sehr schnell ab, was nachtr¨aglich nochmal die Verwendung der EffektivmassenApproximation rechtfertigt.
6.2 Die wichtigsten Streumechanismen in Silizium
Der wichtigste Streumechanismus ist die Streuung an Phononen, den Quanten der
Gitterschwingungen. W¨ahrend die Streuung an ionisierten Störstellen elastisch
ist, liefert die Phononstreuung einen Energieverlust-Mechanismus (Emission
von optischen Phononen). Die Beweglichkeit der Ladungstr¨ager in Silizium
(und damit auch die Temperaturabh¨angigkeit der Beweglichkeit) ist für N
dop
1016 cm 3 völlig von der Phononstreuung dominiert. Der Störoperator ist das
sogenannte Deformationspotential. Man erh¨alt es, wenn man die EnergieÄnderung infolge der Gitterdeformation (Änderung der Gitterkonstanten a)
störungstheoretisch berechnet. Eine relativ einfache Darstellung findet sich im
Buch von Hess (S. 89 ff.). Wir geben hier nur die Impuls-Streuraten der wichtigsten Prozesse als Funktion der Energie an, wobei wieder eine parabolische Dispersion der B¨ander vorausgesetzt wurde.
102
CHAPTER 6. STREUPROZESSE
I NNERTAL -S TREUUNG AN
AKUSTISCHEN
P HONONEN ( ELASTISCHE N ÄHERUNG )
D2ac 2 mt2 ml kB T
π 4 c2l ρ
1
τac
p n E
E
(Dac - Deformationspotential-Konstante, ρ - Massen-Dichte, cl - longitudinale Schall-Geschwindigkeit). Der Ausdruck für die Löcher ist ¨ahnlich,
Deformationspotential-Konstante und effektive Massen sind anders.
Z WISCHENTAL -S TREUUNG
(E LEKTRONEN )
1
τivp n E AN AKUSTISCHEN UND NICHT- POLAR OPTISCHEN
∑
α Täler
fB α
ΘE
1
2
1
2
2
f E ωα Zα mt2 ml Div α
1 f E
2π 3 ωα ρ
1
ωα P HONONEN
E
ωα
(ωα - effektive
Phonon-Frequenz, Div α - effektive DeformationspotentialKonstante,
f
E - Fermi-Dirac-Verteilung, fB α - Bose-Einstein-Verteilung
fB α
exp ωα kB T 1 1 , Θ - Stufenfunktion).
S TREUUNG
1
nop
τp p
AN NICHT- POLAR OPTISCHEN
P HONONEN (L ÖCHER )
3 2
E
D2nop md p
2ρω0 π f E
3f
E f E
ω0 f B 0
1
ω0 f B 0
E
E
ω0 Θ E
ω0 ω0 (Dnop - nicht-polar optische Deformationspotential-Konstante,
ω 0 - effektive
Phonon-Frequenz, f B 0 - Bose-Einstein-Verteilung f B 0
exp ω0 kB T 1 1 ).
S TREUUNG
AN IONISIERTEN
S T ÖRSTELLEN (B EISPIEL
1
τp n E imp
EINFACHE
D ONATOREN )
πe4 ND Φ η 2mn ε2s E 3 2
Mit ge¨anderter effektiver Masse gilt dieser Ausdruck auch für Löcher. Allerdings
versagt die 1. Ordnung Störungstheorie bei diesem Streumechanismus relativ
schnell.
6.3. DIE MATTHIESSEN-REGEL
103
Man entnimmt diesen Formeln folgende allgemeine Charakteristika: Die
Phonon-Streuraten sind proportional zur Zustandsdichte
E und zu den
Phonon-Besetzungswahrscheinlichkeiten f B . Sie sind ausserdem monoton wachsende Funktionen der Temperatur T , denn im Fall ω kB T geht
1
fB
ω
e kB T
kB T
ω
1
6.3 Die Matthiessen-Regel
Wenn man voraussetzt, dass die einzelnen Streuprozesse unabh¨angig voneinander
sind, dann ist die totale Streurate die Summe der partiellen Streuraten
1
1
∑ τα k τtot k α
wegen der Additivit¨at der quantenmechanischenÜbergangswahrscheinlichkeiten.
Die partiellen Beweglichkeiten ergeben sich durch gewisse Mittelwerte über die
mikroskopischen Relaxationszeiten (sh. n¨achstes Kap.)
τα
µα
N¨aherungsweise gilt
1
µtot
1
∑ µα
Matthiessen-Regel
α
(6.13)
(Additivit¨at der Teilwiderst¨ande). Diese Regel ist deshalb eine N¨aherung, weil
1
µtot
1
τtot
1
∑ τ1α
α
1
∑
α
1
τα
1
∑ µα α
Nur wenn alle τα 1 dieselbe Energieabh¨angigkeit haben, gilt die MatthiessenRegel exakt, wie man leicht überprüfen kann. Andersherum, je unterschiedlicher
die Energieabh¨angigkeit τα 1 E s der einzelnen Impuls-Streuraten, desto grösser
der Fehler. In der Bauelemente-Simulation verwendet man oft empirische Modelle für die einzelnen partiellen Beweglichkeiten µα . Dann ist die MatthiessenRegel die einzige Möglichkeit, daraus eine totale Beweglichkeit zu konstruieren.
7
Beweglichkeit kalter und heisser
Ladungstr¨
ager
7.1 Partielle Beweglichkeiten für Streuung an ionisierten
Störstellen und an akustischen Phononen
Mit den Impuls-Streuraten aus dem letzten Kapitel kann man die partiellen Beweglichkeiten leicht berechnen:
e
d 3 k f k kz
mn d 3 k fk kz τ p 1n Ek µn
Würde man hier die Gleichgewichtsverteilung f0 k einsetzen,
so würde ein Aus
1
druck Null/Null entstehen. Deshalb benutzen wir f
k von Gleichung (2.8) als
Abweichung vom Gleichgewicht in niedrigster Ordnung
f
1
k
τ p n Ek eE
∇ f E k 0
k
und erhalten unter Auszeichnung der z-Richtung
µn
∂
3
e d k kz τ p n Ek ∂kz f0 Ek mn
d 3 k k z ∂ f 0 Ek 2 e
3 mn
∂kz
∂ f0 3 2
dE ∂E E τ p n
dE
E f0 E E
Partielle Beweglichkeit für Streuung an ionisierten Störstellen
Setzt man die Impuls-Relaxationszeit aus dem letzten Kapitel
τimp
p n E
2mn ε2s E 3 2
πe4 ND Φ η 104
7.2. MODELLE FÜR DIE BEWEGLICHKEIT KALTER LADUNGSTRÄGER IM BULK 105
hier ein, beschr¨ankt sich auf Maxwell-Boltzmann-Statistik, benutzt
∞
dx e x
xx
Γ n
n
0
3
2
und zieht η E am Maximum des restlichen Integranden (Emax
Integral, folgt
8 2ε2s kB T 3 2
e3 π3 2 mn ND Φ η µimp
n
24mn kB T
2Ls 2
η
mit
3 kB T ) aus dem
(7.1)
Partielle Beweglichkeit für Streuung an akustischen Phononen
Setzt man die Impuls-Relaxationszeit in elastischer N¨aherung aus dem letzten
Kapitel
τac
pn
E
π 4 c2l ρ
mt2 ml kB T
D2ac 2
E
ein, so folgt mit Maxwell-Boltzmann-Statistik
µac
n
2 e 2π 4 c2l ρ
3 D2 mn5 2 kB T 3
ac
2
(7.2)
Für die effektive
mn hat man in (7.1) und (7.2) jeweils die Zustandsdichte 2Masse
1
3
Masse mdn
mt ml zu benutzen.
7.2 Modelle für die Beweglichkeit kalter Ladungstr¨
ager im bulk
Dotierung bis 1019 cm 3
Empirisches Grundmodell (Caughey, Thomas, 1967):
µ Nimp T µmin
µL T 1
µmin
N
Nimp re f
α
(7.3)
µL T ist “lattice mobility”
mit empirischer Temperaturabh¨
angigkeit, z.B.
für Elektronen µL n T 1417 T 300 2 5 cm2 V s Nimp
0
µ Nimp T µL T 106
CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRÄGER
5
2
Mobility (cm /Vs)
10
inter−valley
4
10
munTfull.eps
72 72 mm
Norton et al.
Long
Rauch et al.
Logan et al.
power law (Dessis)
Schenk model
3
10
2
ac
10
20 30
50
100 200
Temperature (K)
500
1000
Temperaturabhängigkeit der bulk-Beweglichkeit thermalisierter (kalter) Elektronen in
Silizium. Die relativen Anteile von Zwischental-Streuung an nicht-polar optischen und
akustischen Phononen (inter-valley) und Innertal-Streuung an akustischen Phononen
(ac) sind als gestrichelte Kurven dargestellt.
500
1.4
Mobility (cm /Vs)
400
1.0
3
2
2
Mobility (10 cm /Vs)
1.2
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
impn.eps
63 59 mm
theory (Fermi)
theory (Boltzmann)
data Masetti et al.
300
200
impp.eps
64 64 mm
100
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
−3
Log(Nimp (cm ))
0
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
−3
Log(Nimp (cm ))
Abhängigkeit der bulk-Beweglichkeit thermalisierter (kalter) Elektronen (links) und
Löcher (rechts) von der Dotierungskonzentration. Experimentelle Kurven sind mit
offenen Kreisen dargestellt, die theoretischen Ergebnisse in Bornscher Näherung mit
durchgezogenen Kurven (Fermi-Dirac-Statistik) und gepunkteten Kurven (MaxwellBoltzmann-Statistik).
7.2. MODELLE FÜR DIE BEWEGLICHKEIT KALTER LADUNGSTRÄGER IM BULK 107
Nimp
µmin
Nre f
50 70 cm2 V s µ Nimp T µmin
const, z.B. für Elektronen
zwei empirische Parameter, mit denen die Position und die Steilheit der
Flanke eingestellt wird, z.B. für Elektronen Nre f
9 7 1016 cm 3 und
α 07
Starke Dotierung 1019 cm bis 1021 cm 3
3
Modifiziertes Caughey-Thomas-Modell (Masetti, 1983):
µ Nimp T µmin
µL T 1
µmin
Nimp
Nre f 1 α1
1
µ1
Nre f 2 α2
Nimp (7.4)
Anpassung des “second drop” mit drei zus¨atzlichen Parametern
700
500
Dziewior and Silber
Tang et al.
Swirhun et al. 1986
Swirhun et al. 1988
Leu and Neugroschel
majority carrier mob.
nminority.eps
63 67 mm
500
400
300
2
600
Hole Minority Mobility [cm /Vs]
2
Electron Minority Mobility [cm /Vs]
Unterschied zwischen Minorit¨ats- und Majorit¨atsladungstr¨ager-Beweglichkeit
200
100
0
17
18
19
−3
Log(NA [cm ])
20
Dziewior and Silber
Burk et al.
Mertens et al.
del Alamo et al.
Wang et al.
Wang and Neugroschel
majority carrier mob.
pminority.eps
63 67 mm
400
300
200
100
0
17
18
19
20
−3
Log(ND [cm ])
Symbole zeigen gemessene Minoritätsladungsträger-Beweglichkeiten, Elektronen in pSi (links) und Löcher in n-Si (rechts). Zum Vergleich sind mit den durchgezogenen
Kurven die Majoritätsladungsträger-Beweglichkeiten dargestellt.
Messungen deuten darauf hin, dass Minorit¨atsladungstr¨ager-Beweglichkeit
grösser als Majorit¨atsladungstr¨ager-Beweglichkeit ab Dotierung von etwa
1017 cm 3
108
CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRÄGER
Erkl¨arung über Versagen der Störungstheorie 1. Ordnung (Bornsche
N¨aherung) repulsive Streuung schw¨acher als attraktive
7.3 Beweglichkeit im MOSFET-Kanal
Was ¨andert sich physikalisch für die Ladungstr¨ager im Kanal eines MOSFETs?
Streuung an den Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2 -Grenzfl¨ache (“surface
roughness scattering”)
SiO2
L
∆
roughness.ID.epsi
83 39 mm
silicon
Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2 -Grenzfläche führen zu lateralen Fluktuationen des
Oberflächenpotentials, an denen die Ladungsträger gestreut werden. Zwei empirische
Parameter dienen zur Modellierung: eine Korrelationslänge L und eine mittlere
Rauhigkeit ∆.
Streuung an geladenen Grenzfl¨achen-Zust¨anden und festen Oxid-Ladungen
(“fixed oxide charges”) zus¨atzlich zur Streuung an den ionisierten
Störstellen im Silizium. Im Inversionsfall ist jedoch jede Coulomb-Streuung
wegen der grossen Ladungstr¨agerdichte im Kanal so stark abgeschirmt, dass
die Oberfl¨achenstreuung überwiegt.
Modifikation der Phonon-Streuung durch Oberfl¨achen-Phononen
2D-Quantisierungseffekte Zustandsdichte und Streuraten ¨andern sich.
Welche Mechanismen dominieren, h¨angt vor allem von der Feldst¨arke E
senkrecht zur Grenzfl¨ache ab.
7.3. BEWEGLICHKEIT IM MOSFET-KANAL
109
starke Inversion
nahe Gleichgewicht
NA
besetzte
Grenzflächenzustände
oxidecharges.ID.epsi
84 63 mm
positive
Oxidladungen
Coulomb-Streuung und
Phonon-Streuung
surface roughness und
Phonon-Streuung
Im subthreshold-Bereich des MOSFETs dominiert neben der Phonon-Streuung die
Coulomb-Streuung an geladenen Grenzflächen-Zuständen, an festen Oxid-Ladungen
und an den ionisierten Störstellen im Silizium. Bei starker Inversion sind die CoulombStreuzentren abgeschirmt, und es überwiegt neben der Phonon-Streuung die Streuung
an den Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2 -Grenzfläche.
ϕ
0
ϕ
1
0.1
1
energy (eV)
E F,Si
E F,g
mosfigures.ID.epsi
129 51 mm
0
ϕ’
ϕ’
0
E’1
E’0
E1
E0
E F,Si
0.002 0.003 0.004
distance (µm)
5 nm
Quantisierung im MOSFET-Kanal senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfläche. Links: Bandverbiegung in einer nMOS-Struktur mit 2 nm Oxiddicke (Vg 0 4V ). Die Leitungsbandkante rutscht unter das Si-Ferminiveau. Mitte: Die untersten vier Energieniveaus
in Relation zum Si-Ferminiveau. Ungestrichene Energien beziehen sich auf die quantisierten Zustände mit longitudinaler effektiver Masse (2-fach entartet), die gestrichenen
auf Zustände mit transversaler effektiver Masse (4-fach entartet). Numerische Rechnungen zeigen, dass das Ferminiveau unabhängig von der Gate-Spannung zwischen
den untersten beiden Niveaus liegt. Deshalb ist die thermische Besetzung der höheren
Subbänder schwach und die Verwendung der Effektivmassen-Approximation gerechtfertigt. Rechts: z-Komponente der Wellenfunktionen der untersten vier Zustände.
110
CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRÄGER
Beispiel eines physikalisch motivierten empirischen Modells
(Schwarz, Russek, 1983)
1
µtot
1
µL T 32
10 9 p
z
T 300
1 2
bulk
(7.5)
Kanal Effekte
Dies ist ein Beispiel für die Verwendung der Matthiessen-Regel: 1 µtot
1 µbulk 1 µsur f . Im Kanal-Term bedeutet z die Ausdehnung des Kanals in
Richtung senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfl¨ache. Der Faktor p ist der sogenannte
Fuchs-Streufaktor. Die Herkunft des Kanal-Terms kann folgendermassen motiviert werden:
e
e l
µsur f
τ p sur f
m
m vth Hier ist die Impuls-Relaxationszeit τ p sur f durch das Verh¨altnis einer Streul¨ange l
und der mittleren thermischen Geschwindigkeit vth
3kB T m ausgedrückt
worden. Die Streul¨ange wird mit der Ausdehnung des Kanals in Richtung
senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfl¨ache identifiziert. Damit erh¨alt man 1 sur
µf
T z. Der Ausdruck für z lautet in diesem Modell
0 039
E av
z
T 300
1 24
E
10 1 3
av
5
(7.6)
E av ist die mittlere Feldst¨arke senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfl¨ache gebildet mit
der Ladungsdichte n z :
zp
1
dz E z n z av
ninv 0
ninv ist die 2D Inversionsladungsdichte und z p der Rand des neutralen Gebietes.
Die Form (7.6) für z erkl¨art sich wie folgt. z wird als Summe aus klassischer und
quantenmechanischer Kanalweite angesetzt.
Klassischer Term:
Nach dem Virialtheorem gilt für eine beschr¨ankte Bewegung T V , d.h. der
Mittelwert der kinetischen Energie ist gleich dem Mittelwert der potentiellen Energie. Deshalb ist
E
m 2
v
2 th
3
kB T
2
zkl
!
eE
3kB T
2eE av
av zkl
7.3. BEWEGLICHKEIT IM MOSFET-KANAL
111
Quantenmechanischer Term:
Nach der Heisenbergschen Unsch¨arferelation ist p z
altheorem
1 2
p
2m
eE
und nach dem Viri-
av zqm
zqm
2em
3 2
1 3E 1 3
av
In Abh¨angigkeit von der Feldst¨arke E av , d.h. von der angelegten GateSpannung, dominiert entweder der klassische Term (subthreshold-Bereich) oder
der quantenmechanische Term (starke Inversion). Der Fuchs-Streufaktor p
beschreibt den Anteil an diffuser Streuung, denn der reflexive Anteil tr¨agt nicht
zur Impuls-Streurate bei.
Oberfl¨achenstreuung:
Das
wird linear in der mittleren Fluktuation ∆ entwickelt: V x y z Potential
V x y z0 ∆ ∂V ∂z z z0 und der letzte Term als Störoperator genommen. Das
Quadrat des Übergangsmatrixelements (Goldene Regel!) wird dann ∆2 E 2 .
Bemerkungen:
Zur Anpassung der einzelner Parameter muss MOSFET unter solchen Bedingungen betrieben werden, bei denen ein bestimmter Streumechanismus
dominiert.
Modell als Funktion der mittleren Feldst¨arke E
Simulation.
av
zu aufwendig für BE-
In Simulatoren oft Modelle als Funktion der lokalen Feldst¨arke E , z.B.
1
µtot
(Lombardi et al., 1988)
1
µL T BT
E
T
C Nimp
E
N λ
1 3
0
E2
δ
112
CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRÄGER
10
3
−0.96
2
Effective Mobility [cm /Vs]
~ Eav
ohne300K.eps
80 68 mm
theoretical
experimental
10
2
5
6
10
10
Effective field [V/cm]
Effektive Beweglichkeit als Funktion der mittleren Feldstärke im Dotierungsbereich
1015 cm 3 bis 1019 cm 3 und für verschiedene Oxiddicken zwischen 3 nm und 13 nm.
Man erhält eine “universelle” Kurve, solange Streuung an geladenen Störstellen vernachlässigbar ist.
7.4 Beweglichkeit heisser Ladungstr¨
ager
7.4.1 S¨attigung der Driftgeschwindigkeit
Betrachten homogenes n-Si. Vom hydrodynamischen Transportmodell (3.26)
erh¨alt man, wenn man die r¨aumlichen Gradienten wegl¨asst
∂
wn
∂t
Setzt man wn
1
j E
n n
wn
3kB TL 2
τE n
3kB Tn 2 wie im Energie-Balance-Modell, folgt
∂
Tn
∂t
2
j E
3kB n n
Im station¨aren Zustand ist demnach
Tn
TL
τE n
Tn TL
τE n
2
j E
3kB n n
(7.7)
Die Elektronentemperatur steigt unter dem Einfluss des elektrischen Feldes E
an, man spricht von heissen Elektronen. Effekte heisser Elektronen werden
7.4. BEWEGLICHKEIT HEISSER LADUNGSTRÄGER
113
bei höheren Feldern merklich, wo man die Diffusion gegenüber der Drift vernachl¨assigen kann. Deshalb setzen wir jn eµn n E in Gleichung (7.7) ein:
Tn
2e
τE n µ n E E 2
3kB
TL
(7.8)
A) “Warme” Elektronen
Für nicht zu grosse Feldst¨arken kann man zeigen, dass die EnergieRelaxationszeit und die Beweglichkeit in folgender Form von der Temperatur der
Elektronen abh¨angen:
τE n
µn
4
10 TL
Tn
µ0 12 Tn
s
TL
Tn
TL
const Einsetzen in (7.8) ergibt
Tn
TL
2e
µ0 E 2
3kB
const
d.h. Tn
E2
Die Elektronentemperatur steigt mit dem Quadrat der Feldst¨arke an. Setzt man
andererseits Tn in den Ausdruck für die Beweglichkeit ein, so folgt
µn
1
µ0
const 3k2e
µ0 E 2
B TL
B) “Sehr heisse” Elektronen
Für sehr grosse Feldst¨arken kann man annehmen, dass
τE n
µn
const
vsat n
E
d.h die Driftgeschwindigkeit der Elektronen vD µn E s¨attigt beim Wert der
S¨attigungs-Driftgeschwindigkeit vsat n . Einsetzen in (7.8) ergibt dann
Tn
TL
const
2e
vsat n E
3kB
d.h. Tn
E
114
CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRÄGER
4.0
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
TnofF1.eps
59 62 mm
3.0
3.4
3.2
2.8
2.6
2.6
3.5
4.0
4.5
TpofF.eps
61 62 mm
3.0
2.8
2.4
3.0
Monte Carlo
analytical
3.6
Log(Tp [K])
Log(Tn [K])
3.8
Monte Carlo
analytical
2.4
3.0
5.0
3.5
4.0
Log(E [V/cm])
4.5
5.0
5.5
Log(E [V/cm])
Abhängigkeit der Ladungsträger-Temperatur von der Feldstärke, Elektronen (links) und
Löcher (rechts).
Die Elektronentemperatur steigt linear mit der Feldst¨arke an. Für die Driftgeschwindigkeit der Elektronen ergibt sich
A)
vD
1
B)
vD
vsat n
µ0 E
µ0 E 2
const 3k2e
B TL
7.4.2 Empirische Modelle für Bauelemente-Simulation
Mit A) und Ersetzen der Konstanten durch const
eine feldabh¨angige Beweglichkeit der Form
µlow
µ E
1
µlow E
vsat 3kB TL µ0 2ev2sat n erh¨alt man
2 1 2
Diese wird zum Fit-Modell verallgemeinert (Caughey, Thomas, 1967)
µ E
µlow
1
µlow E
vsat β 1 β
(7.9)
7.4. BEWEGLICHKEIT HEISSER LADUNGSTRÄGER
Log( Hole Drift Velocity [cm/s] )
Log( Electr. Drift Velocity [cm/s] )
7.6
7.4
7.2
7.0
6.8
vsat.eps
62 59 mm
6.6
6.4
T=100K
T=200K
T=300K
T=400K
T=450K
6.2
6.0
5.8
5.6
7.0
6.8
6.6
6.4
4
5
Log( Field Strength [V/cm] )
6
vsatpdop.eps
62 60 mm
6.2
6.0
5.8
5.6
5.4
3
115
3
4
pure
16
−3
10 cm
17
−3
10 cm
18
−3
10 cm
19
−3
10 cm
5
Log( Field Strength [V/cm] )
Sättigung der Driftgeschwindigkeit bei verschiedenen Gitter-Temperaturen (Elektronen,
links) und bei verschiedenen Dotierungskonzentrationen (Löcher, rechts).
Im Energie-Balance-Modell verwendet man auch Modelle als Funktion der
Ladungstr¨ager-Temperatur. Aus (7.9) erh¨alt man sofort ein temperaturabh¨angiges
Modell, wenn man die Feldst¨arke durch Tn TL ausdrückt, z.B. für “sehr heisse”
Elektronen:
E
3kB Tn TL
2e τE n vsat n
116
CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRÄGER
drift velocity (arb. units)
Veranschaulichung “velocity overshoot”
overshoot.ID.epsi
85 61 mm
time (arb. units)
Veranschaulichung “velocity overshoot”. Die zufälligen Geschwindigkeiten der Elektronen sind durch die Pfeile symbolisiert. Zur Zeit t 0 wird ein starkes elektrisches
Feld eingeschaltet. Die Elektronen werden beschleunigt und für eine kurze Zeit so gut
wie nicht gestreut (Tn TL ). Deshalb bleiben die zufälligen Geschwindigkeiten klein.
Da alle Elektronen in dieselbe Richtung fliegen, kann jedoch eine grosse mittlere Driftgeschwindigkeit erreicht werden. Nachdem die Streuung einsetzt, werden Impulse und
Energien immer mehr zufällig verteilt und die mittlere Driftgeschwindigkeit nimmt ab.
Gleichzeitig wachsen die zufälligen Geschwindigkeiten immer weiter an, d.h. Tn TL .
Die Zeitskala ist typischerweise in Picosekunden, die maximale Driftgeschwindigkeit
beträgt einige 107 cm s bis 108 cm s.
8
Strahlungslose Rekombination
8.1 Tiefe Störstellen
Quantenmechanik: Ultra-Short Course IV
Energieniveau einer tiefen Störstelle
Punktförmige Defekte wie Vakanzen, Si-Atome auf Zwischengitterplatz
oder Metallatome auf Gitterplatz bezeichnet man als tiefe Störstellen. Das
Störpotential solcher Zentren ist stark lokalisiert (“δ-förmig”) und führt zu
gebundenen Zust¨anden, die ebenfalls in einem Gebiet weniger Elementarzellen
lokalisiert sind. Wir bezeichnen den Operator des Störpotentials mit U r . Die
Lösung der Schrödinger-Gleichung
Ĥ 0
U r Φ r
E Φ r wobei Ĥ0 der Kristall-Hamiltonoperator ist, liefert die Eigenenergien, d.h.
die Bindungsenergien der an solchen Störstellen gebundenen Elektronen oder
Löcher. Wir stellen die gesuchten Wellenfunktionen in der Basis der BlochZust¨ande dar (den Eigenfunktionen vonĤ0 ):
Φ r
∑ kν
k ν Φ ψν k r mit
k ν Φ
d 3 r ψν k r Φ r (8.1)
Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt zun¨achst
∑ kν
k ν Φ
E k E ψ ν
ν k
r U r ∑ k ν Φ ψ r
ν k
kν
117
0
118
CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION
Nach Multiplikation mit ψν k r und r¨aumlicher Integration folgt
∑ kν
E
ν
k ν Φ
k
E k E
kν k ν ν
E kν Φ
∑ kν
δkk
δνν
k ν Φ kν U r k ν
∑ kν
k ν Φ kν U r k ν
0
0
Zur Vereinfachung beschr¨anken wir uns auf ein Band (ν ν ν0 , EinbandN¨aherung) und approximieren das Matrixelement mit U r durch eine Konstante
U0 :
kν0 U r k ν0
U0
Dies ist für sehr stark lokalisierte Störpotentiale gerechtfertigt, weil in dem Fall
alle k-Vektoren aus der 1. BZ gleichermassen beitragen. Die Eigenwertgleichung
vereinfacht sich damit zu
kν0 Φ
∑ kν0 Φ
U0
Eν0 k E
∑E
k
k
∑ k ν0 Φ k
U0
Eν0 k ∑ k ν0 Φ k
In der letzten Zeile wurde über alle k summiert. Wenn Φ ein Eigenzustand zur
Eigenenergie E ist, dann ist Φ 0 und man darf durch die linke Seite dividieren. Das Ergebnis ist eine S¨akulargleichung für das Energieniveau E der tiefen
Störstelle:
1
U0
∑E
k
1
Eν0 k (8.2)
0
Sei ν0 v (Valenzband) und der Energie-Nullpunkt
Ev
0. Die graphische
0
Et .
Lösung der Gleichung (8.2) für E E
v liefert einen Schnittpunkt bei E
Das “tiefe Niveau” liegt um so tiefer im Gap, je grösser U0 ist (siehe Abb.).
Allerdings ist die Einband-N¨aherung meist nicht gerechtfertigt, da das Potential
tiefer Störstellen die B¨ander koppelt.
8.1. TIEFE STÖRSTELLEN
119
inverse energy
Σk E
1
E v (k)
1
U0
deeplev.ID.epsi
65 47 mm
0
Et
Eg
E
Graphische Lösung der Säkulargleichung (8.2).
Vakanz in Silizium
anti-bindende Zustände
vakanz.ID.epsi
117 82 mm
V0-
T2
sp3
bindende Zustände
+
V2+
Dehybridisierung
(bindende Linearkombinationen von sp3 Hybridorbitalen)
V+0
(Aufhebung der
Linearkombination)
V+0
A1
Gitterrelaxation +
Elektron-Elektron-WW
vor der Ionisation
nach der Ionisation
Tiefe Störstellen spielen entscheidende Rolle für die Rekombination in Halbleitern.
Einfang eines Elektrons und eines
Lochs = Rekombination
genrecschema.ID.epsi
40 22 mm
Erzeugung
eines
Elektrons und eines
Lochs = Generation
120
CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION
Wo bleibt die bei der Rekombination freiwerdende Energie?
- Strahlung: Emission eines Photons (im indirekten Halbleiter Silizium
jedoch geringe Wahrscheinlichkeit)
- Anregung eines zweiten Elektrons oder Lochs (Auger-Rekombination,
nur bei grossen Ladungstr¨agerdichten)
- Phononen (W¨arme)
- andere (z.B. Defekt-Reaktionen)
Bei Umwandlung in W¨arme ergibt sich folgendes Problem: Et Eg 2
0 56 eV aber (!!) ω ph 0 06 eV . Die Rekombination eines Elektron
Loch-Paares
kann nur unter gleichzeitiger Emission vieler Phononen erfolgen. Man spricht von Multiphonon-Rekombination.
total energy
Ec
confcoord.ID.epsi
109 72 mm
Et
hωph
Ev
|
|
|
Qc,p
Qt
0
Qc,n
configuration coordinate
Multiphonon-Rekombination im Konfigurations-Koordinaten-Diagramm. Im linken
Teil ist der elektronische Anteil der Gesamtenergie dargestellt, rechts die totale Energie (elektronischer Anteil plus potentielle Energie des harmonischen Oszillators). Die
Gitterschwingungen sind durch eine representative Auslenkung Q des Oszillators und
eine effektive Phononenergie ω ph beschrieben. Ein Elektron rekombiniert mit einem
Loch durch den Übergang c
t
v. Dabei relaxiert das Gitter, was mit einer Verschiebung der Gleichgewichtslage des Oszillators einhergeht: 0 Qt
0. Infolge der
starken Elektron-Phonon-Kopplung sind Übergänge an den Schnittpunkten Qc n und
Qc p der Potentialparabeln möglich. In der Nähe der Schnittpunkte befindet sich das
System in einem vibronisch hochangeregten Zustand und relaxiert unter Emission vieler
Phononen.
8.2. GENERATIONS-REKOMBINATIONSRATEN FÜR BAND-BAND- UND
BAND-TRAP-ÜBERGÄNGE
121
8.2 Generations-Rekombinationsraten für Band-Band- und BandTrap-Überg¨
ange
Die Rate kann mit dem 0. Moment des Stossterms der Boltzmann-Gleichung
berechnet werden. Das Nichtgleichgewicht wird durch ortsabh¨angige QuasiFermi-Niveaus für Elektronen und Löcher beschrieben. Dahinter steckt die Annahme, dass sich die Ladungstr¨ager in ihren jeweiligen B¨andern untereinander
(lokal) im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Solange die ImpulsRelaxationszeiten der Intra-Prozesse klein gegen die Zeitkonstanten der Generation/Rekombination bleiben, ist diese Annahme gerechtfertigt. Sie ist im übrigen
die Voraussetzung dafür, dass man separate Transportgleichungen für Elektronen
und Löcher aufschreiben darf.
Band-Band-Überg¨ange
Da die Anfangs- und Endzust¨ande in den B¨andern liegen, lautet der Stossterm
∂n ∂t
coll
d 3 k ∑ Sk k f v k
k
1
fc k Skk fc k 1
fv k
Unter Benutzung parabolischer B¨ander kann man von der k-Integration zur
Energie-Integration übergehen. Dabei entstehen Zustandsdichte-Faktoren (vgl.
(5.24)), allerdings ohne den Faktor 2 vom Spin, da der Spin erhalten bleibt. Man
erh¨alt
∂n ∂t
∞
Ev
0
dEc
coll
Ec
0
∞
f v Ev 1
Rekombinationsterm:
R
S̃
n p S̃
f c Ec f c Ec 1
f v Ev G
R
mit
dE dE S̃ D D f 1
dE dE D D f 1
c
dEv S̃ Ec Ev Dc Ec Dv Ev c
v
v
c
c
fv v c
fv v c
Wir betrachten
im folgenden Maxwell-Boltzmann-Statistik, d.h. f c Ec 1
und 1 fv Ev 1. Dann kürzen sich im Ausdruck für S̃ alle ExponentialFunktionen, die von den Quasi-Fermienergien EF n und EF p abh¨angen, heraus.
S̃ ist deshalb eine dichte-unabh¨angige Konstante.
Generationsterm:
G
const , denn f v Ev 1
f c Ec 1.
122
CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION
Im Gleichgewicht gilt G
G
R. Daraus kann man die Konstante bestimmen:
n2i e f f S̃
Req
n2i e f f im thermodyn. Gleichgewicht.
da n p
Die Netto-Rate für Band-Band-Rekombination wird damit
R
np
G
n2i e f f S̃
(8.3)
Die konkrete Form von S̃ h¨angt vom jeweiligen Rekombinations-Mechanismus
ab (strahlende Rekombination, Band-Band-Auger-Rekombination, ...).
Band-Trap-Überg¨ange
Betrachten identische, nicht wechselwirkende tiefe Störstellen mit einem Energieniveau Et . Die Dichte der besetzten Traps ist nt Nt ft , wobei Nt die TrapDichte und ft die Besetzungswahrscheinlichkeit
ist. Die Zustandsdichte der Traps
hat die Form Dt E Nt δ E Et . (Es existiert nur ein diskretes Energieniveau,
das besetzt werden kann.) Wegen der δ-Funktion kann ein Energie-Integral ausgewertet werden. Für Überg¨ange zwischen Leitungsband und Trapniveau erh¨alt
man
Rekombinationsterm:
∞
R
Ec
0
ft bzw.
R
Nt 1
S̃
cn
dEc S̃ Ec Et Dc Ec fc Ec 1
Nt
def
ft n S̃ mit
∞
0 dEc S̃ Ec Et Dc Ec f c Ec Ec
∞
0
Ec
dEc Dc Ec fc Ec cn heisst Einfang-Koeffizient (für Elektronen), Masseinheit ist cm3 s.
Generationsterm:
∞
G
Nt
Ec
0
G
dEc S̃ Et Ec Dc Ec 1
Nt ft const Et Nt ft en
f c E c ft
für Maxwell-Boltzmann-Statistik
(8.4)
8.3. RATEN-GLEICHUNGEN
123
en heisst Emissionsrate (für Elektronen), Masseinheit ist 1 s. Im Gleichgewicht
gilt G R. Daraus kann man en bestimmen:
R
Nt 1
G eq
en
ft0 n0 cn
Nt ft0 en
cn n1 mit n1
def
n0
0
1
ft0
ft0
Die Netto-Rate für Trapping (von Elektronen) wird damit
R
G
Nt
nt n cn
nt n1 cn
(8.5)
Der Ausdruck für das Trapping von Löchern ist analog.
8.3 Raten-Gleichungen für Trapping und Shockley-Read-Hall
(SRH)-Rekombination
Die totale zeitliche Änderung der Dichte besetzter Traps ist
∂
nt
∂t
R n
G n
R p
G p
(8.6)
Die ersten beiden Terme beschreiben den Einfang und die Emission von Elektronen (Trapping-Rate für Elektronen), die letzten beiden Terme den Einfang und
die Emission von Löchern (Trapping-Rate für Löcher).
Trapping
Sind die Traps Elektronen-Traps, d.h. cn
(8.6) auf
∂
nt
∂t
Nt
c p , en
nt n cn
e p , reduziert sich Gleichung
nt en
Diese Gleichung ist zus¨atzlich zu und selbstkonsistent mit den TransportGleichungen des benutzten Transport-Modells zu lösen. Die neue (zus¨atzliche)
Variable ist nt (oder ¨aquivalent dazu ft ). Solange
die von aussen induzierten
zeitlichen Änderungen viel langsamer sind als n cn 1 bzw. en 1 , kann man
∂nt ∂t vernachl¨assigen (station¨arer Fall) und t fexplizit angeben:
1
ft
1 necnn 124
CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION
Die Rekombinationsrate wird damit im station¨aren Fall
R n
Nt en
1 necnn
ft n c n
Nt 1
mit der Lebensdauer
τn
1
Nt cn
n n 1
τn n
n1 Shockley-Read-Hall-Rekombination
Handelt es sich bei den tiefen Störstellen um sogenannte Rekombinationszentren,
d.h. gilt cn c p und en e p , erh¨alt man im station¨aren Fall aus Gleichung (8.6)
1
ft
en c p p 1 e p cn n
Da im Gleichgewicht auch die Netto-Rate für Löcher Null sein muss, hat man
zus¨atzlich eine Beziehung zwischen ep und c p
ep
c p p0
ft0
1 ft0
c p p1 mit p1
def
p0
ft0
1 ft0
Die Elektronen-Netto-Rekombinationsrate im station¨aren Fall wird
R n
G n stat
cn
n
Nt cn c p
np
n1 c p p p1 n 1 p1 Wegen n1 p1 n0 p0 n2i e f f und mit Einführung von Minorit¨atsladungstr¨ager
Lebensdauern τn p
Nt cn p 1 wird daraus
R n
G n stat
(Shockley, Read, Hall, 1952).
τp
n
np
n1 n2i e f f
τn p
p1 (8.7)
8.4. SRH-LEBENSDAUERN
125
Spezialf¨alle:
A) schwaches Nichtgleichgewicht: n n0 δn, p
Silizium (n0
p0 ) wird dann (R G R)
δp. Für p-dotiertes
n0 δn p0 δp n0 p0
τ p n 0 n 1 τn p 0 p 1 δn
p0δn
τn p 0 p 1 τn R
p0
n0 δp p0 δn τ p n 0 n 1 τn p 0 p 1 Die Lebensdauern der Minorit¨aten bestimmen die Rekombination-
srate!
n2i in Raumladungszone. Sei τn
B) gesperrter pn-Übergang: n p
dann (R G
G)
τp
τ,
n2i
G
τ n1
n2
C) Elektron-Loch-Plasma: n p
R
τp
p1 δn
n
τn
τp
τn
ni
falls Et
2τ
n2i
für δn
Eg
2
n0 (Hoch-Injektion.)
8.4 SRH-Lebensdauern
Dotierungsabh¨angigkeit
Die SRH-Lebensdauern τn p sind technologie-abh¨angige Parameter. Sie h¨angen
insbesondere von der Defektdichte Nt ab, die r¨aumlich variiert. Dies folgt aus
der Definition τn p
Nt cn p 1 . Für die Bauelemente-Simulation bedeutet dies,
dass es eigentlich keine “default-Werte” der Lebensdauern gibt. Man findet jedoch empirisch eine Korrelation zwischen Dotierung (flache Störstellen!) und
SRH-Lebensdauern (tiefe Störstellen). Grund ist, dass Technologie-Schritte wie
Implantation oder Eindiffusion immer auch zu einer Erhöhung der Dichte von
Punktdefekten führen. Eine einfache empirische Beziehung, die diesen Effekt
wiedergibt, lautet
τn0
τn NA 1 NANAre f
mit z.B. τn0
3
10 5s
und NA re f
1017 cm 3 .
126
CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION
Feldabh¨angigkeit: “trap-assisted tunneling”
Die SRH-Rekombination ist besonders effektiv in Raumladungszonen, in denen die elektrische Feldst¨arke gross werden kann. Dann führt der Tunneleffekt zu einer Erhöhung der Übergangswahrscheinlichkeit. Die Rekombination/Generation ist nicht mehr lokal, sondern kann im Limes sehr hoher Felder
sogar zum resonanten Tunneln über das tiefe Niveau “entarten” (sh. Abb.).
Solange der thermische Einfang (bzw. die thermische Emission) gegenüber dem
electric field
tat.ID.epsi
82 38 mm
trap-assisted tunneling
E=0
resonant tunneling
Tunneleffekt dominiert, ist das Konzept von field-enhancement-Faktoren sinnvoll, d.h.
1 γν E τν0
τν 1 E ν
n p
|
|
|
|
|
|
|
||
10-4
|
wobei E die lokale Feldst¨arke ist.
|
10-10
|
|
|
10-9
|
|
|
|
10-8
lifetimevsfield.epsi
62<100>
50 mm
defect-assisted
tunneling
break.epsi
65
<110>
50 mm
|
|
10-7
<111>
|
10-6
|
0.2
|
0.4
|
0.6
|
0.8
|
1.0
|
1.2
|
|
|
Electron Lifetime τn [s]
Si:Au
10-5
1.4
Electric Field [MV/cm]
Links: Abhängigkeit der Lebensdauer von der Feldstärke am Beispiel der GoldStörstelle in Silizium. Rechts: Simulierte Dioden-Kennlinien. Der Avalanche-Durchbruch bei etwa 9 V setzt nicht abrupt ein, sondern der Sperrstrom steigt wegen des trapassistierten Tunnelns stetig an.
Auger-Rekombination
9
Elektron-Elektron-Stösse (bzw. Loch-Loch-Stösse) induzieren Rekombination von Elektron-Loch-Paaren. Die bei der Rekombination freiwerdende
Energie wird nicht direkt, wie im Fall der SRH-Rekombination, in W¨arme
umgewandelt, sondern zur Anregung eines Elektrons oder Lochs in einen
Zustand hoher Energie verbraucht.
Auger-Rekombination ist ein Drei-Teilchen-Prozess, entweder “eeh” oder
“hhe”.
Die Rate wird vom Produkt aus allen drei Besetzungswahrscheinlichkeiten
bestimmt.
Die Zahl der möglichen Überg¨ange wird durch die Restriktionen der
Energie- und Impulserhaltung stark eingeschr¨ankt. Für eine direkte,
parabolische Bandstruktur können die Ladungstr¨ager wegen der Impulserhaltung nicht aus der energetisch tiefsten Lage an der Bandkante heraus
rekombinieren. Es ist eine zus¨
atzliche
Aktivierungsenergie erforderlich, die
für den eeh-Prozess Ea mc mc mv Eg betr¨agt.
In indirekten Halbleitern, wie Silizium, erhöht sich die Zahl der möglichen
Überg¨ange. Infolge des hohen Impulsaustausches sind jedoch die quantenmechanischen Übergangswahrscheinlichkeiten um ca. 5 Grössenordnungen
kleiner als in direkten Halbleitern. In Silizium verschwindet die Aktivierungsenergie für den eeh-Prozess wegen der besonderen Leitungsbandstruktur.
Auger-Rekombination kann ein reiner Band-Band-Prozess sein, unter
Beteiligung von Phononen ablaufen, oder auch über Zwischenzust¨ande, die
an tiefen Störstellen lokalisiert sind (trap-assisted Auger recombination).
127
128
CHAPTER 9. AUGER-REKOMBINATION
E
E
E
2’
1
2
augertransitions.ID.epsi
2’ 56 mm
121
1’
2
k
1’
2’
k
1
1
eeh (n-type)
2
k
1’
hhe (n-type)
hhe (p-type)
Auger-Übergänge bei direkter, parabolischer Bandstruktur. Links: Stoss zweier Leitungsband-Elektronen (1 und 2), Anregung von 2 nach 2’ und gleichzeitige Rekombination von 1 mit dem Loch 1’. Mitte: Stoss eines Leitungsband-Elektrons 2 mit einem
energetisch tiefliegenden Valenzelektron 1, das angeregt wird. Rechts: Loch-LochStoss mit Anregung eines heissen Lochs.
In n-dotiertem Material sind die Rekombinationsraten proportional zum Produkt
der Dichten der drei beteiligten Teilchensorten, also
Cn p n2
Reeh n
Rhhe n
C p p2 n
mit Auger-Koeffizienten Cn p . Die Gesamtrate wird damit
Auger
type
Rn
Cn p n2
C p p2 n
(9.1)
Bei phonon-assistierter Auger-Rekombination starke Aufhebung der
Beschr¨ankungen bzgl. Energie- und Impulserhaltung, aber dafür VierTeilchen-Prozess (Übergangswahrscheinlichkeit 2. Ordnung).
phonassauger.ID.epsi
74 38 mm
Bei ausreichender Dichte von Rekombinationszentren konkurriert die trapassistierte Auger-Rekombination mit der SRH-Rekombination.
129
Die Auger-Koeffizienten Cn p sind nur solange als unabh¨angig von den
Ladungstr¨agerdichten anzusehen, wie die Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronen und Löchern vernachl¨assigt werden kann. In ElektronLoch-Plasmen, wie z.B. bei starker Injektion in Bipolar-Transistoren,
beobachtet man ein excitonic enhancement der Auger-Rekombination. Die
physikalische Ursache ist eine durch die Anziehung von Elektron und Loch
bedingte Lokalisation der Wellenfunktionen, die zu einer Erhöhung der
quantenmechanischen Übergangswahrscheinlichkeiten führt.
Auger-Lebensdauern
Minorit¨atsladungstr¨ager-Lebensdauern:
τn
type
τp
type
δp
RAu
δn
RAu
δp
Cn p n2
δn
C p p2 n
1
bei Hoch-Injektion Cn n2
1
bei Hoch-Injektion
C p p2
Ambipolare Lebensdauern:
n
p im Plasma
RAu
Cn
C p n3
Ca n3
1
Ca n2
τa
da im Plasma natürlich die Hoch-Injektions-Bedingung gilt. Gemessene Werte
für die Auger-Koeffizienten Cn p kann man der Tabelle entnehmen. Die AbTable 9.1: Auger-Koeffizienten bei verschiedenen Temperaturen (Dziewior und Schmid, 1977).
T
Cn cm6 s
C p cm6 s
1
1
2 3
7 8
77 K
10
10
31
32
300 K
2 8 10
9 9 10
31
32
400 K
2 8 10
1 2 10
31
31
bildung zeigt gemessene ambipolare Auger-Koeffizienten Ca als Funktion der
Dichte der freien Ladungstr¨ager. Die Kurve deutet das erwartete Verhalten aufgrund des excitonic enhancement an.
CHAPTER 9. AUGER-REKOMBINATION
Ambipolar Auger coefficient [ cm 6 s -1 ]
130
1x10-29
2
17 16 15
19 14
10
-30
8
11
1x10
5
13
4
18
7
3
1
auger-mess.epsi
89 79 mm
12
6
9
room temperature
1x10-31
15
10
16
10
17
10
18
10
19
10
10
20
Injection density [ cm- 3 ]
Messungen des ambipolaren Auger-Koeffizienten als Funktion der Plasma-Dichte.
Stossionisation
10
10.1 Ionisations-Schwellenenergien
E
E
E i (k i )
impact.ID.epsi E (k )
c 3
102 53 mm
E c(k2 )
k
E v(k1 ) k
vor dem Stoss
nach dem Stoss
Stossionisation initiiert durch ein “heisses” Elektron der Energie E i ki . Beim Stoss
wird ein Valenzelektron herausgeschlagen und ins Leitungsband gehoben, wodurch
ein Loch im Valenzband zurückbleibt. Das initiierende Elektron verliert dabei die
Ionisations-Schwellenenergie. Nach dem Stoss verbleiben zwei “kalte” Elektronen und
ein “kaltes” Loch.
Energie-Bilanz:
E i ki E c k3 E c k2 E v k1 ∑aj ω ph q j j
Impuls-Bilanz:
ki k3
k2
k1
∑aj qj
a j ganze Zahlen, auch Null
j
Die Ionisations-Schwellenenergie ergibt sich durch Minimierung von E i ki .
Dabei genügt es, Phonon-Absorption zu betrachten, d.h. aj 0 für alle j.
131
132
CHAPTER 10. STOSSIONISATION
dki
dEi
0
0
dk1
dk3
dk2
∑ a j dq j dk1 ∇k1 Ev k1 j
dk3 ∇k3 Ec k3 ∇
∑ a j dq j
j
dk1 v1
dk3 v3
dk2 v2
dk2 ∇k2 Ec k2 qj
ω ph q j Benutzt man die Definition der Gruppengeschwindigkeit vg
w j ∇q ω ph q j , wird aus der letzten Gleichung
0
(10.1)
∑ a j dq j
j
w
j
(10.2)
1∇
kE
k und
Setzt man hier für dk1 die Gleichung (10.1) ein, so erh¨alt man
0
dk3 v3
v1 dk2 v2
v1 w
∑ a j dq j
j
j
v1 Wegen der linearen Unabh¨angigkeit von dk2 , dk3 und dq j folgt
v1
v2
v3
w j für alle j.
(10.3)
Alle resultierenden Teilchen müssen dieselbe Gruppengeschwindigkeit haben!
Prozesse mit Phononen-Beteiligung sind stark erschwert, da die w j klein sind
und die Elektronen bzw. Löcher daher auf eine kleine Umgebung der Bandextrema eingeschr¨ankt werden. Wir betrachten im folgenden nur Stossionisation
ohne Phononen-Beteiligung.
Die Bedingung (10.3), die dann v1 v2 v3 lautet, ist jedoch
noch nicht
hinreichend. Sie sichert die Existenz einer minimalen Energie Emin ki , die aber
nicht automatisch eine erlaubte Energie in irgendeinem Leitungsband zu sein
braucht!
Beispiel:
Zwei direkte, parabolische B¨ander mit effektiven Massen mc und mv
kv
mv
kc2
mc
kc3
mc
Bez kc
mc
da v1
1
∇ k Ev k oder
kv
γ kc
mit γ
mv
mc
kv
mv
10.1. IONISATIONS-SCHWELLENENERGIEN
133
An der Ionisationsschwelle ist dann wegen
des Energie- und Impulserhaltungssatzes (mit dem Energie-Nullpunkt Ec k 0 0)
ki
2 kc
kv
Emin ki Eg
kc 2 γ 2kc2 2 γ
2mc
Emin ki muss ein erlaubter Energiewert im Leitungsband sein
E c ki Aus der Bedingung Emin ki 2 k2
i
2mc
2 k2
c
2mc
2
2 γ
(10.4)
Ec ki erh¨alt man kc :
2 k2
c
Eg 2 γ 1 γ 2mc
Einsetzen in (10.4) ergibt die Schwellenenergie Eth n für den elektroneninduzierten Prozess:
Eth n
2 γ
Eg 1 γ
(10.5)
Bei gleichen Massen (γ 1) ergibt sich Eth n 3Eg 2. Für den löcher-induzierten
Prozess hat man γ durch 1 γ zu ersetzen und erh¨alt Eth p Eg 1 2γ 1 γ .
Unabh¨angig von γ ist Eth n Eth p 3Eg .
Table 10.1: Schwellenenergien (in eV) in Silizium für Stossionisation ohne PhononenBeteiligung, berechnet für verschiedene kristallographische Richtungen auf der Basis einer realistischen Bandstruktur (Anderson, Crowell, 1972). N - Normal-Prozess, U - Umklapp-Prozess,
- initialisierendes Teilchen kommt aus einem höheren Band.
electrons
holes
100 1 1 U
1 5 N
1 6 U
1 8 N
2 1 N
111 3 1 U
3 3 U
3 5 U
2 9 N
4 4 N
4 7 N
110 2 1 U
4 0 N
4 2 U
1 8 N
4 0 N
4 1 N
134
CHAPTER 10. STOSSIONISATION
10.2 Stossionisationsrate und -koeffizienten
Für die Stossionisationsrate macht man folgenden heuristischen Ansatz:
αn n v n
GII
αp p vp
(10.6)
(“II” steht dabei für “Impact Ionization”.) Die Koeffizienten α n p heissen Stossionisations-Koeffizienten (Masseinheit: 1 cm). Anschaulich interpretiert man sie als reziproke mittlere freie Wegl¨angen zwischen zwei
Stössen, die zur Generation eines Elektron-Loch-Paars führen.
Die mikroskopische Definition der Streurate (1 s) lautet für den elektroneninduzierten Prozess
1
τII n
1
n
∞
dE
Eth n
1
τII n E Dc E f c E womit man αn gem¨ass αn 1 τII n vn berechnen kann. Dazu braucht man
neben der Schwellenenergie Eth n die Energie-Abh¨angigkeit der Streurate
1 τII n E und die korrekte Nichtgleichgewichts-Verteilungsfunktion f c E .
Dabei ist die “Vorgeschichte” der Elektronen, bevor sie die Schwellenenergie Eth n erreichen, entscheidend, denn diese bestimmt den hochenergetischen Ausl¨aufer der Verteilungsfunktion.
Modelle für die Energie-Abh¨angigkeit von II τ 1 E :
τII 1 E τII 1 E 1
τII E τII 1 Eth Θ E Eth E Eth 1
B τII Eth Eth 3
∑Θ E
i
Eth P
i
Stufenfunktion
p
(Keldysh, 1960)
i 1
E
i
Eth
i
Eth
2
(Cartier et al., 1993)
mit folgenden Parametern für Silizium: Eth 1 2 eV 1 8 eV 3 45 eV ; P
6 25 1010 s 1 3 0 1012 s 1 6 8 1014 s 1 .
i
i
10.2. STOSSIONISATIONSRATE UND -KOEFFIZIENTEN
135
15
10
IONIZATION RATE (s -1)
14
10
quyield.epsi
65 71 mm
13
10
12
10
11
10
rate.ID.epsi///PS
53 51 mm
10
10
9
10
1
2
3
4
5
KINETIC ENERGY (eV)
Links: Stossionisationsrate nach dem Modell von Cartier. Rechts: Mit der Technik
der Ladungsträger-Separation gemessener quantum yield für Elektronen ( = Zahl der
generierten Elektronen pro Zahl der Initial-Elektronen).
Ans¨atze für die Verteilungsfunktion cf E :
αi
αi
const
exp
E
2
(Wolff, 1954) Heated Maxwellian für fc E , aber
Annahme, dass Energie-Relaxation nur durch
Stossionisation erfolgt (τII
τ ph ).
(Shockley, 1961) “Lucky Electron”-Modell.
Ge
genteilige Annahme, d.h. zu f c E tragen nur
const exp
solche Elektronen wesentlich bei, die nicht mit
E
Phononen gestossen haben (“lucky”), die also E th
ballistisch erreichen.
Physikalische Erl¨auterung des “Lucky Electron”-Modells
Die Beschleunigungsstrecke LI , die gebraucht wird, um Eth ballistisch zu
erreichen, ergibt sich aus
LI
Eth
0
dx F x F x ist die auf das Elektron einwirkende elektrische Kraft. Im konstanten elektrischen Feld ist dann LI Eth F. Die tats¨achliche freie Wegl¨ange
LI ist grösser, da Elektron-Phonon-Stösse die Ladungstr¨ager st¨andig wieder
zurückwerfen: LI LI P, wobei P die Wahrscheinlichkeit ist, dass auf der
136
CHAPTER 10. STOSSIONISATION
Strecke LI kein Stoss passiert. P ist in Gleichung (2.10) (Monte-Carlo worden:
Methode) schon einmal angegeben
t
P t
exp
dt
0
Mit der Transformation
dt dE ; dE
dt
dE
dt
dE
k̇
dk
Eth
exp
dE
E0
k vg
F
vg F
F und ausserdem dE dk
da nach Newtonschem Grundgesetz k̇
gilt, folgt
P
1
ph
τtot
1
1
ph
F vg τtot E vg
Shockley benutzte E0 0 und eine konstante mittlere freie Wegl¨ange für
ph
Stösse mit optischen Phononen lo p vg τtot , so dass
P
exp
Eth F lop
Zur Startzeit des ballistischen Fluges t 0 ist jedoch k k0 , da k t k0 F t . Daher nimmt man besser an, dass die Teilchen mit einer
mittleren thermischen Energie E0 3kB Tc 2 starten. Setzt man weiterhin das elektrische Feld als r¨aumlich konstant voraus, erh¨alt man für den
Stossionisations-Koeffizienten
1
P
F
Eth 3kB Tc 2 α
(10.7)
exp
LI
LI
Eth
F lop
10.3 Modelle für die Stossionisationskoeffizienten
Lokal-Feld-Modell
Das am meisten benutzte Modell (Chynoweth-Modell) ist die aus Gleichung
(10.7) abgeleitete Fitformel
b
α
α∞ e
E
(10.8)
(Chynoweth, 1958). Parameter für den elektronen-induzierten Prozess: α∞ n
7 105 cm 1 , bn 1 23 106 V cm.
10.4. AVALANCHE-DURCHBRUCH
137
Lokal-Temperatur-Modell
Ersetzt man das lokale elektrische Feld durch die lokale Temperatur der
Ladungstr¨ager, erh¨alt man mit (7.8) für “sehr heisse” Elektronen
Tcrit
Tn TL
α∞ n e
αn
Die Modellierung der Stossionisationsrate mit der ph¨anomenologischen Relation
(10.6) und lokalen Modellen für α ist nur bedingt tauglich. Literatur-Parameter
stammen meist von Dioden mit weiten Raumladungszonen. In KurzkanalMOSFETs sind die Feldst¨arke-Peaks beim Drain so scharf, dass trotz des grossen
Wertes der Feldst¨arke die Beschleunigungsstrecke zu kurz sein kann (der sogenannte “dark space”-Effekt). Dann wird die Rate in der Simulation übersch¨atzt
und der Substratstrom kann u.U. um Grössenordnungen zu gross herauskommen.
10.4 Avalanche-Durchbruch
Betrachten 1D Kontinuit¨atsgleichungen für Elektronen und Löcher mit Stossionisationsrate als einziger Generationsrate:
dJn αn α p Jn α p J ;
dx J Jn J p const
dJ p
dx
α p Jp
αn
αn J
Die formale Lösung lautet (Beweis durch Differentiation)
Jn x Jn0 e
Jp x
J p0
e
x
0 dx
x
W
αn
αp dx αn
αp x
J
0
dx α p e
J
n
mit den Randbedingungen Jn 0 Jn0 und J p W Raumladungszone wird der Gesamtstrom
J 0
J W
Jn0
J p0
e
0
W
Jn0 e
W
0
J p0
dx αn
dx αn
αp αp W
J
x
x dx
dx α e W
x
W
0
αp αn
αp αn
J p0 . An den R¨andern der
dx α e n
0
J
x
x dx
dx α p e
0
x dx
W
x
αn
dx αn
αp αp In der N¨ahe des Durchbruchs kann man in der 1. Gleichung den (thermisch generierten) Sperrstrom J p0 gegen den (stark vervielfachten) Elektronenstrom Jn0 vernachl¨assigen, in der 2. Gleichung den (thermisch generierten) Sperrstrom Jn0
138
CHAPTER 10. STOSSIONISATION
p
RLZ
avalanche.ID.epsi
91 52 mm
n
0
W
x
gegenüber dem (stark vervielfachten) Löcherstrom pJ0 . Man definiert Multiplikationsfaktoren
J
Jn0
Mn
so dass
1
1
W
1
Mn
1
Mp
0
W
0
J
J p0
Mp
dx αn e
dx α p e
x
0
αp dx αn
W
x
αp dx αn
(10.9)
(10.10)
Der Avalanche-Durchbruch ist durch den Limes Mn p
∞ definiert. Aus den
Gleichungen (10.9) und (10.10) folgt die Durchbruch-Bedingung
1
Falls αn
γ α p mit γ
W
1
ln αn α p 0
αp dx αn
const, wird daraus
γ 1
ln γ
W
0
dx α p
1
Diese Bedingung bedeutet im wesentlichen, dass α 1 W , d.h. die mittlere freie
Wegl¨ange zwischen zwei ionisierenden Stössen muss kleiner sein als die Weite
der Raumladungszone.
10.4. AVALANCHE-DURCHBRUCH
1e−02
139
x
x
4
3
1e−04
current (A)
1e−06
1e−08
1e−10
1e−12
durchbr.eps
74 67 mm
1e−14
1e−16
x 2
1e−18
1e−20
−20
1
x
−15
−10
−5
0
voltage (V)
Strom-Spannungs-Kennlinie einer pn-Diode mit Avalanche-Durchbruch.
1e+20
12
4
band edge energy (eV)
−3
density (cm )
10
3
1e+15
electrons
holes
1e+10
1e+05
densities.eps
62 56 mm
2
1
1e+00
4
8
6
3
4
2
2
bandedges.eps
57 57 mm
0
−2
1
−4
1e−05
0.1
0.2
position (µm)
0.3
−6
0.1
0.2
0.3
position (µm)
Links: Elektronen- und Löcherverteilung für die in obigem Bild markierten Spannungen. Rechts: Verlauf der Bandkanten bei diesen Spannungen.
11 Metall-Halbleiter (MS)-Kontakt
11.1 Energieniveau-Schema vor Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts
M
a)
HL
E0
χ
Φ
b)
HL
E0
E FM
Ec
E FS
ΦB
M
Ec
E FS
E FM
Ev
Ev
0
c)
M
x
0
MSequ.ID.epsi
124 88 mm
HL
E0
d)
M
x
HL
E0
Ec
Ec
E FM
ΦB
E FS
Ev
E FS
Ev
0
E FM
0
x
x
Räumlicher Verlauf der Fermi-Niveaus von Metall und Halbleiter sowie der Bandkanten
des Halbleiters in einem Metall-Halbleiter-Übergang unmittelbar nach seiner Herstellung, also vor der Einstellung des Gleichgewichts. Fall a): n-Halbleiter mit E FS EFM ,
Fall b): n-Halbleiter mit EFS EFM , Fall c): p-Halbleiter mit EFS EFM , Fall d):
p-Halbleiter mit EFS EFM . χ ist die Elektronen-Affinität, Φ die Austrittsarbeit der
Elektronen im Metall.
140
11.2. MS-KONTAKT IM GLEICHGEWICHT, SCHOTTKY- UND BARDEEN-MODELL 141
EFM
EFS ist der typische Fall für Metall-n-HL-Übergang (Fall a))
EFM
EFS ist der typische Fall für Metall-p-HL-Übergang (Fall c))
ΦB
Φ
χ heisst Schottky-Barriere
11.2 MS-Kontakt im Gleichgewicht, Schottky- und BardeenModell
Energieniveau-Schema (Potentialverlauf)
Zur Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts müssen Elektronen
(Löcher) aus dem Halbleiter ins Metall (und umgekehrt) diffundieren.
An der Grenzfl¨ache entsteht eine Raumladung und damit ein ver¨anderliches
elektrostatisches Potential ϕ x .
ρ(x)
M
HL
x
rhox.ID.epsi
79 50 mm
Wie gross ist die Ausdehnung der Raumladungsschicht im Metall? Eine
Absch¨atzung liefert die Abschirml¨ange L
s , die in Kap. 6 im Zusammenhang
mit der Abschirmung des Coulomb-Potentials flacher Störstellen diskutiert
wurde. Man erh¨alt
Ls
π aB e f f
2
kF
0 5 Å
mit dem effektiven Bohrradius aB e f f und dem Fermi-Impuls kF im Metall.
(Dazu muss man den Thomas-Fermi-Ausdruck
Ls 2
4πe2 d n
εs d EFM
142
CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT
für die Abschirmung und die Dichteformel im Grenzfall vollst¨andiger Entartung der Elektronen
n
1
3π2
2m
2
E
FM
3 2
benutzen.) Die Eindringtiefe der Raumladung ins Metall ist also extrem
klein, so dass man das Potential ϕ x im Metall praktisch als konstant ansehen kann.
Wenn sich an der Grenzfl¨ache eine Dipolschicht
ausbildet, dann erleidet das
Potential dort einen Sprung ϕ 0 ϕ 0 . Wir nehmen zun¨achst an, dass
keine Dipolschicht existiert. In diesem Fall bleibt die Höhe der SchottkyBarriere Φ
B Φ χ unver¨andert, weil EFM und Ec um denselben Energiebetrag eϕ 0 angehoben werden.
Die Konsequenz daraus, dass bei x 0 der energetische Abstand E FM Ec
“festgepinnt” bleibt, ist die Ausbildung einer
Potentialbarriere im Halbleiter.
EFS EFM e.
Es entsteht eine Kontaktspannung UK
Wie gross ist die Ausdehnung der Raumladungsschicht im Halbleiter? Der
Potentialverlauf kann leicht berechnet werden, wenn die Schottky-N¨aherung
eUK
kB T (depletion approximation) gilt, was wir hier annehmen
wollen. Für einen n-Halbleiter lautet die zu lösende Poisson-Gleichung
(n p 0 in der Verarmungsschicht, d.h. im Intervall x
0 xB mit xB
als Rand der Barriere)
ε0 εs
mit der Lösung
ϕ x
d2ϕ
dx2
eND
e
ND x2 C1 x C2
2ε0 εs
Die Randbedingungen im Unendlichen
lauten ϕ ∞ 0 und
C2
UK .
dϕ x dx x ∞ 0. Weil UK ϕ ∞ ϕ 0 ist, folgt ϕ 0 Das Verschwinden der ersten Ableitung von ϕ am Rand der Barriere ergibt
die zweite Integrationskonstante: C1 eND xB ε0 εs . Führt man noch
eine quadratische Erg¨anzung durch, folgt für das Potential im Intervall
x
0 xB :
ϕ x
UK
e
ND x
2ε0 εs
xB 2
e
N x2
2ε0 εs D B
11.2. MS-KONTAKT IM GLEICHGEWICHT, SCHOTTKY- UND BARDEEN-MODELL 143
E 0 - e ϕ(x)
M
a)
HL
b)
E 0 - e ϕ(x)
Φ
E c - e ϕ(x)
ΦB
M
E c - e ϕ(x)
EF
HL
EF
E v - e ϕ(x)
E v - e ϕ(x)
0
x
0
MSnonequ.ID.epsi
115 98 mm
x
E 0 - e ϕ(x)
c)
E c - e ϕ(x)
M
d)
M
HL
E 0 - e ϕ(x)
HL
E c - e ϕ(x)
EF
ΦB
E v - e ϕ(x)
0
EF
E v - e ϕ(x)
0
x
x
Räumlicher Verlauf der Bandkanten des Halbleiters und des Vakuum-Niveaus in einem
Metall-Halbleiter-Übergang nach Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts.
Die Fälle a) und c) bezeichnet man als Schottky-Kontakt, die Fälle b) und d) als Ohmschen Kontakt.
Das Verschwinden des Potentials am Rand der Barriere ergibt den Zusammenhang zwischen Kontaktpotential und Barrierenweite:
UK
e
ND x2B
2ε0 εs
Die charakteristische L¨angenskale des Problems ist die sogenannte DebyeLänge
LD
ε0 εsUT
eND
Mit ihrer Hilfe kann man den Ausdruck für das elektrostatische Potential
144
CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT
kompakt in der Form
UT x
2L2D
ϕ x
xB 2
2LD xB
UK UT
schreiben. Weil die Schottky-Approximation
muss auch xB LD sein.
UK
UT
(11.1)
1 gelten muss,
Schottky- und Bardeen-Modell des MS-Kontakts
1.0
Pt
barrier height (eV)
0.8
Pb
0.6
Pd
Ag
Au
Al
W Mo
Cu
0.4
Mg
Ni
phiBvsPhi.eps
69 68 mm
0.2
0.0
3
4
5
6
metal work function (eV)
Barrierenhöhe als Funktion der Austrittsarbeit für verschiedene Metall-n-Si-Kontakte.
Die Gerade entspricht der Mott’schen Beziehung ΦB
Φ χ mit dem Wert der
Elektronen-Affinität in Si (χ 4 05 eV ).
In der Abbildung ist die Barrierenhöhe ΦB als Funktion der Austrittsarbeit im
Metall für verschiedene Metall-n-Si-Kontakte dargestellt. Die Gerade entspricht
der Mott’schen Beziehung ΦB Φ χ mit dem Wert der Elektronen-Affinit¨at
in Si (χ 4 05 eV ). Das Schottky-Modell des MS-Kontaktes ist also so gut wie
nicht erfüllt, eher ist ΦB noch unabh¨angig von Φ (etwa gleich 0.6 - 0.8 eV für die
meisten Metalle).
Um dieses Verhalten zu verstehen, lassen wir jetzt einen Potentialsprung
and der Grenzfl¨ache zu, dann
¨andert
sich die Barrierenhöhe um diesen Sprung,
d.h. ΦB Φ χ e ϕ 0 ϕ 0 . Ursache dafür ist eine Dipolschicht,
die von geladenen Grenzfl¨achen-Zust¨anden herrührt. Wir nehmen an, dass die
Dichte dieser Grenzfl¨achen-Zust¨anden so gross ist, dass praktisch alle Elektronen
11.2. MS-KONTAKT IM GLEICHGEWICHT, SCHOTTKY- UND BARDEEN-MODELL 145
aufgenommen werden können. Als Modell benutzen wir eine δ-Funktion, wie sie
auch schon bei den tiefen Störstellen verwendet wurde,
Dit E D0it δ E
Es die Zust¨ande sind also bei der Energie E Es in der Energielücke des Halbleiters
konzentriert. Für die Elektronendichte in diesen Zust¨anden folgt dann
n
0
∞
∞
dE Dit E f E D0it f Es In Wirklichkeit ist die δ-Funktion zu einer Glockenkurve verbreitert. Die Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts im MS-Kontakt zerlegen wir in
Gedanken in zwei Teilschritte, erstens die Einstellung des Gleichgewichts im Halbleiter, nachdem die glockenförmige Grenzfl¨achen-Zustandsdichte “eingeschaltet” wurde, zweitens die Einstellung des Gleichgewichts über die Grenzfl¨ache
M
E FM
∆E S
HL
bardeen.ID.epsi
72 57 mm
E S ≈ E FS
x
hinweg zwischen Metall und Halbleiter, nachdem beide in Kontakt gebracht wurden. Im ersten Teilschritt gehen Elektronen aus dem Innern des Halbleiters in
die Grenzfl¨achen-Niveaus über, wobei diese von unten her bis zu einer gewissen Energiegrenze aufgefüllt werden. Diese Grenze ist per definitionem gleich
dem Fermi-Niveau im Halbleiter (bei T 0). Nach obiger Voraussetzung (weil
praktisch alle Elektronen aufgenommen werden können), f¨allt diese Grenze letztendlich mit dem Niveau Es zusammen. Eine Vergrösserung oder Verkleinerung
der Elektronenkonzentration im Halbleiter durch Änderung der Dotierung erhöht
oder verkleinert zwar die Zahl der Elektronen in den Grenzfl¨achen-Niveaus, wegen der grossen Zustandsdichte bleibt aber die Lage des Fermi-Niveaus praktisch
unver¨andert (pinning des Fermi-Niveaus).
Im zweiten Teilschritt werden Elektronen über die Grenzfl¨ache hinweg,
zwischen den Grenzfl¨achen-Zust¨anden des Halbleiters und einer dünnen Randschicht des Metalls, ausgetauscht. Dadurch entsteht an der Grenzfl¨ache eine
146
CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT
Dipolschicht, die einen Potentialsprung ϕ 0 ϕ 0 zwischen Metall und
Halbleiter erzeugt, der im Gleichgewicht gerade so gross ist, dass das FermiNiveau des Metalls auf das des Halbleiters angehoben oder abgesenkt wird. Es
gilt also
EFM
eϕ
Es
Damit wird die Barrierenhöhe
Φ
ΦB
χ
0
ϕ
EFM
0
Es
(11.2)
Wir beziehen jetzt alle Energien auf die Valenzbandkante des Halbleiters. Wegen
E0 χ Eg Ev und Es Ev ∆Es (sh. Abb.) ist (man eliminiere Ev )
χ
Es
Eg
∆Es
E0
was nach Einsetzen in Gl. (11.2) auf den Zusammenhang
führt, weil ja Φ
ΦB
EFM
Φ
EFM
Eg
E0
∆Es
!
Eg
∆Es
E0 ist. Also
ΦB
Eg
∆Es
(11.3)
(Bardeen’sches Modell). ΦB ist im Bardeen’schen Modell unabh¨angig von der
Austrittsarbeit im Metall! Dieses Modell trifft für Silizium besser zu als das
Schottky-Modell.
Man kann nun beide Modelle zu einem verallgemeinerten Modell kombinieren. Mit zwei Parametern, S und Φ0 , schreibt man
ΦB
S Φ
EFS
E0 Φ0
Der Grenzfall des
Schottky-Modells ergibt sich mit S 1 und Φ0 0, da E0
Ec χ EFS χ für einen n-Halbleiter. Der Grenzfall des Bardeen-Modells
ergibt sich mit S 0 und Φ0 Eg ∆Es . Der Abbildung kann man entnehmen,
dass S mit steigender Elektronegativit¨atsdifferenz des Halbleiters w¨achst. Bei
den kovalenten Halbleitern dominieren die Grenzfl¨achen-Eigenschaften (S sehr
klein).
11.3 MS-Kontakt im Nichtgleichgewicht
Betrachten Schottky-Übergang im n-Halbleiter. Legt man eine Spannung U an,
UK U , und damit z.B. die
so ver¨andert sich das Kontaktpotential gem¨ass U
K
11.3. MS-KONTAKT IM NICHTGLEICHGEWICHT
147
S
1.1
AlN ZnO SrTiO 3
1.0
ZnS
SiO2 Al2O3
0.9
GaS
KTaO 3
0.8
0.7
CdS
0.6
GaSe
SvsAff.ID.epsi
ZnSe
0.5
77 67 mm
0.4
SiC
GaTe
CdSe
0.3
CdTe GaP
0.2
Ge GaAs
0.1
Si InSbInP
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
electronegativity difference (eV)
Weite der Barriere: xB
2LD UK U UT . Der Strom im Bahngebiet des
Halbleiters wird durch die Majorit¨atsladungstr¨ager getragen (hier Elektronen).
Die Netto-Stromdichte über die Schottky-Barriere hinweg ist
jn U jMS U jSM U mit der Konvention
“MS” = Metall
HL, “SM” = HL
Metall. Es gilt
jMS U jMS 0 , weil für alle Spannungen U die Schottky-Barriere thermisch
überwunden werden muss. Also
jn U jMS 0 jSM U Berechnen zuerst jMS 0 . Nach der Definition des 1. Moments der BoltzmannGleichung kann man schreiben:
jMS 0 2e
2π 3
1 BZ
d 3 k Θ kx 1 ∂
Ec k f M Ec k ∂kx
(11.4)
In dieser Gleichung berücksichtigt der Faktor 2 die Spin-Entartung und die
Theta-Funktion den Umstand, dass nur Elektronen, die vom Metall in den Halbleiter fliessen, gez¨ahlt werden dürfen. Die restlichen Faktoren sind die Gruppengeschwindigkeit und die Fermi-Dirac-Verteilung der Elektronen im Metall.
Letztere bestimmt die Zahl der vorhandenen Elektronen, die über die Barriere
hinweg in den Halbleiter übertreten können. Die Integrationsgrenzen kann man
ins Unendliche verschieben. Als Energie-Nullpunkt w¨ahlen wir
die Energie des
Vakuum-Niveaus: E0 0. Dann ist EFM
Φ. Wegen Ec k Φ kB T kann
148
CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT
a) U = 0
M
n-HL
ΦB
Ec
E FM
E FS
xB
0
x
MSvsU.ID.epsi
123 93 mm
c) U < 0
b) U > 0
M
M
n-HL
ΦB
x
E FM
0
x
x
n-HL
ΦB
Ec
E FS
x
x x
E FM
xB
x
x
x
x
x
x x x
0
x
Ec
E FS
x
xB
x
Veranschaulichung des Stromflusses in einem Schottky-Übergang. a) ohne Spannung,
b) Durchlassrichtung, c) Sperrrichtung. Die Kreuze in b) und c) deuten an, dass das
Fermi-Niveau im Raumladungsgebiet nicht definiert ist.
man Boltzmann-Statistik benutzen,
f M Ec k e
Φ
kB T
e
Ec k
kB T
In Effektivmassen-N¨aherung für E
alt man dann
c k erh¨
jMS 0 e
e
4π3
Φ Ec
kB T
0
∞
∞
∞
dky
∞
∞
dkz
0
0
dkx
kx
e
mc
2 k2
2m c kB T
χ, also ist Φ
0
Aufgrund der Wahl des Energie-Nullpunkts ist Ec
Ec
Φ χ ΦB gleich der Schottky-Barriere. Die Berechnung der Integrale ist trivial,
man erh¨alt endgültig
jMS 0 e
vth n Nc e
4
ΦB
kB T
(11.5)
11.4. KONTAKT-RANDBEDINGUNGEN IN DER BAUELEMENTE-SIMULATION
149
mit der mittleren thermischen Geschwindigkeit vth n
8kB T πmc der
Elektronen und der Leitungsbandkanten-Zustandsdichte
N
.
Die berechnete
c
Stromdichte jMS 0 kann benutzt werden, um auf jSM U zu schliessen. Im
Gle
0
ichgewicht gilt jMS 0 jSM 0 . Legt man eine Spannung U an, geht Ec in die
0
eU über, also jSM U jSM 0 exp U UT . Damit ergibt sich
neue Lage Ec
für die Netto-Stromdichte
jn U jMS 0 U
1
e UT
Der Schottky-Kontakt wirkt
demnach, genau wie die Diode, als Gleichrichter.
Wegen des Faktors exp ΦB kB T kann die Sperrwirkung jedoch grösser sein,
n¨amlich dann, wenn die Barrierenhöhe Φ
B grösser ist als die built-in-Spannung
der Diode.
Noch zwei abschliessende Bemerkungen: Da in der Raumladungszone praktisch keine Elektronen vorhanden sind, müssen sie aus dem Bahngebiet (bulk)
kommen. Ungehinderte Emission kann nur stattfinden, wenn sie beim Durchfliegen der Raumladungszone keine Stösse erleiden. Deshalb muss die mittlere
freie Wegl¨ange l grösser als die Barrierenweite Bx sein. l xB bedeutet aber, das
sich in der Raumladungszone kein auch nur angen¨ahertes thermodynamisches
Gleichgewicht ausbilden kann. Deshalb ist ein Fermi-Niveau auch nicht mehr im
lokalen Sinne definiert. Der Fall l xB kann mit der sogenannten Diffusionstheorie behandelt werden (sh. Übungen zu den Bipolar-Bauelementen) und liefert
qualitativ dasselbe.
Wird die Potential-Barriere sehr schmal, kann sie durchtunnelt werden. Dann
hat man einen Ohmschen Kontakt. In der Mikroelektronik werden Ohmsche Kontakte durch eine hohe Dotierung des Siliziums im Kontaktgebiet erreicht.
11.4 Kontakt-Randbedingungen in der Bauelemente-Simulation
Idealer Ohmscher Kontakt
thermodynamisches Gleichgewicht: n p
Zwei Annahmen:
Ladungsneutralit¨at: n
p
NA
ND
n2i e f f
C.
Die erste Bedingung entspricht einer unendlich grossen Oberfl¨achenRekombinationsgeschwindigkeit. Setzt man beide Bedingungen ineinander
150
CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT
ein, ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen für die Dichten:
1
2
1
2
n
p
C2
C2
4 n2i e f f
C
C
4 n2i e f f
Schottky-Kontakt
Die Formel (11.5) für die Netto-Stromdichte wird umgeschrieben. Es ist
Nc exp
ΦB
kB T
Nc exp
U UT
ΦB kB T
n xB !
0
nx
neq xB !
neq x
0
wegen der Voraussetzung der Emissionstheorie (keine Stösse in der RLZ). Als
Strom-Randbedingung bei x 0 erh¨alt man also
e
vth n n
4
jn U neq x 0
Das Auftreten der mittleren thermischen Geschwindigkeit ist das Ergebnis der
Emissionstheorie. In der Diffusionstheorie erh¨alt man stattdessen
jn U e vrec n n
oder allgemein in der Bauelemente-Simulation
neq j n en
e vrec n n
1
2
C2
x 0
4 n2i e f f
C
wobei vrec n die Oberfl¨achen-Rekombinationsgeschwindigkeit ist.
Nicht-idealer MS-Kontakt
Das Argument, dass dünne Potentialbarrieren durchtunnelt werden und
Ohmsche Kontakte liefern, kann benutzt werden, um ein Modell des nichtidealen MS-Kontakts aufzustellen.
Bei xT gilt: jDD
jtunnel
Der Bereich 0 xT wird in der BE-Simualtion zu Null “geschrumpft”.
11.4. KONTAKT-RANDBEDINGUNGEN IN DER BAUELEMENTE-SIMULATION
151
Die Wahl von xT erfolgt nach einem Tunnel-Kriterium.
Die Gleichung jDD jtunnel x
quasi-Fermi-Niveau bei xT .
xT
wird iteriert und liefert den Wert für das
Die Grenzf¨alle des Ohmschen und Schottky-Kontakts werden über die
dotierungsabh¨angige Barrierenweite reproduziert. Hohe Dotierung
1018 cm 3 schmale Barriere = Ohmscher Kontakt. Schwache
Dotierung
1016 cm 3 breite Barriere = Schottky-Kontakt.
Anschluss-Punkt zwischen
diffusivem und ballistischem
Transport
E F,M
qUappl
xT.ID.epsi
97 46 mm
Ec
-q ϕn(x T)
xT
xB
12 Metall-Isolator-Halbleiter (MIS) Struktur
12.1 Isolator-Halbleiter (IS)-Übergang im Gleichgewicht
a)
Isolator
HL
b)
Isolator
HL
E cI
E FI
EISequ.ID.epsi
cS
E120
FS 65 mm
EF
E vS
E cS
E vS
E vI
Räumlicher Verlauf der Bandkanten und der Fermi-Niveaus an einem IsolatorHalbleiter-Übergang vor (a) und nach (b) Einstellung des Gleichgewichts.
Der in der Abbildung dargestellte IS-Übergang entspricht einem pn-Übergang
aus zwei unterschiedlichen Materialien mit einer sehr kleinen AkzeptorKonzentration NAI im Isolator. Da EFS
EFI ist, gehen Elektronen vom
Halbleiter in den Isolator über, der sich dadurch negativ aufl¨adt. Wegen des
grossen Dotierungsunterschieds reichen bereits wenige Elektronen aus, um die
Fermi-Niveaus anzugleichen. Die Raumladungszonenweite im Isolator wird sehr
gross, w¨ahrend im Halbleiter die Raumladung vernachl¨assigbar bleibt.
Ist der Isolator nicht dick genug, kann der Sprung des chemischen Potentials
nicht vollst¨andig elektrisch abgeschirmt werden (man erh¨alt andere Randbedin152
12.1. ISOLATOR-HALBLEITER (IS)-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT
153
gungen). Aufgrund der geringen Raumladung im Halbleiter ist die Feldst¨arke
dort praktisch Null und EF EFS . Dies bedeutet, dass der Halbleiter vom Isolator praktisch überhaupt nicht beeinflusst wird. Auch das Feld im (hinreichend
dicken) Isolator ist klein und kann vernachl¨assigt werden. Somit erh¨alt man im
Schottky-Modell des IS-Übergangs einen horizontalen Bandkanten-Verlauf.
In Wirklichkeit existieren jedoch Grenzfl¨achenzust¨ande. Ist die Grenzfl¨achenLadungsdichte negativ (eingefangene Elektronen), entsteht im Halbleiter unter
der Grenzfl¨ache ein Verarmungsgebiet (positive Raumladung). In SchottkyN¨aherung ist wegen der Erhaltung der Elektronenzahl
ns
NDS xB
(ns
Grenzfl¨achen-Zustandsdichte cm 2 , xB
Barrierendicke). Die Grenzfl¨achen-Zustandsdichte ns ist mit einem Sprung der Feldst¨arke verbunden:
e s
εs E 0 ε I E 0 n
ε0 Da man E 0 vernachl¨assigen kann, ergibt sich auf der Halbleiterseite der
Grenzfl¨ache
e s
Es
n
ε0 εs Der Wert des Potentials an der Grenzfl¨ache ist ϕ 0 Us . In völliger Analogie zum MS-Kontakt erh¨alt man als Lösung der Poisson-Gleichung in SchottkyIsolator
HL
E cI
EF
ISinterface.ID.epsi
58 64 mm
E cS
E vS
E vI
Räumlicher Verlauf der Bandkanten an einem Isolator-Halbleiter-Übergang im Gleichgewicht bei Vorhandensein von Grenzflächen-Zuständen.
154
CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR
N¨aherung
ϕ x 0
UT
2L2D
xB x
2
in 0 xB
sonst
mit
xB
Setzt man xB
2LD
Us UT
ε0 εsUT
eNDS
LD
ns NDS ein, folgt für die Grenzfl¨achen-Zustandsdichte
ns
2ε0 εs NDS U s e
(12.1)
und die Grenzfl¨achen-Feldst¨arke Es wird
e N xB
ε0 εs DS
Es
2e N Us ε0 εs DS
Für eine Absch¨atzung der Grössen betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:
e U s 1 eV , NDS 1016 cm 3 , εs 10. Dann wird
3 1011 cm 2
6 104 V cm
0 3 µm
ns
Es
xB
(12.2)
Damit es zum Fermi level pinning kommen kann, muss die Grenzfl¨achenZustandsdichte grösser sein als das berechnete ns (etwa 1012 cm 2 ), was an der
Si-SiO2 -Grenzfl¨ache aber gerade nicht der Fall ist! Dies macht die Funktionsweise von MOSFETs möglich, denn w¨are dem nicht so, könnte man durch Variation der Gate-Spannung die Lage des Fermi-Niveaus unter der Grenzfl¨ache nicht
¨andern und damit auch nicht die Leitf¨ahigkeit im Kanal. Die heutige Mikroelektronik basiert also im wesentlichen auf den guten Eigenschaften der Si-SiO 2 Grenzfl¨ache.
12.2 MIS-Struktur bei angelegter Spannung
Der Isolator sei bei x
ϕ ∞
ϕ
d kontaktiert, der Halbleiter bei x
d
U
∞.
U = angelegte Spannung.
12.2. MIS-STRUKTUR BEI ANGELEGTER SPANNUNG
155
U<0
n
p
ISnonequ.ID.epsi
75 88 mm
U>0
p
n
Bildung von Verarmungs- bzw. Anreicherungsschichten an einem Isolator-HalbleiterÜbergang bei angelegter Spannung.
Die Randbedingungen lauten: ϕ ∞ 0 und dϕ dx x ∞ 0. Im Halbleiter
wird Ladung influenziert. Diesen Effekt nennt man Feldeffekt, der dem Transistor seinen Namen gibt (FET). Die influenzierte Ladungsmenge ist der ε I εs -te
Teil der Ladungsmenge, die auf den Isolator aufgebracht werden muss (ε I ist
die Dielektrizit¨atskonstante des Isolators). Voraussetzung für das Funktionieren
des Feldeffekt-Transistors ist die Kleinheit der Grenzfl¨achen-Zustandsdichte. Wir
vernachl¨assigen sie im folgenden völlig und betrachten einen p-Halbleiter
bei
0
U 0. Die Leitungsbandkante an der Grenzfl¨ache zum Isolator Ec
eϕ 0 wird
heruntergezogen, bis sie bei einer bestimmten Spannung U0 das Fermi-Niveau
trifft
1 0
U0 Ec
EF
e
Erhöht man die Spannung U weiter (U U0 ), so ergibt sich ein Punkt xi , an dem
gilt
Ec
0
eϕ xi EF
(xi ist die Breite der Inversionsschicht). Die Elektronenkonzentration ist hier von
156
CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR
E
eU0
EF
inversion.ID.epsi eUs
105
0 xi
-d
xp
71 mm
x
der Grössenordnung der effektiven Zustandsdichte Nc (1019 cm 3 ). Wir wollen
annehmen, dass die Dotierung des p-Halbleiters nicht zu gross ist, so dass noch
Nc gilt. Im Inversionsgebiet wird die Verteilungsfunktion der Elektronen
NAS
als Stufenfunktion gen¨ahert:
f E
Θ EF
E 0
x
xi
Für das Gebiet zwischen xi und der Raumladungszonen-Grenze x p nehmen wir
an, dass die Schottky-N¨aherung möglich ist, also eUs
kB T gilt. Damit erh¨alt
man ein einfaches Modell für die Elektronendichte im Halbleiter.
∞
eϕ x E 0 x xi
0 dE Dc E Θ EF
Ec
n x
0
xi x ∞
Die Löcher werden in Schottky-N¨aherung behandelt:
p x
0 x xp
x p x ∞ (vollst¨andige Ionisation) .
0
NAS
Eine analytische Lösung der
Poisson-Gleichung wird nur dann möglich, wenn
man den Ausdruck
für
n
x noch weiter vereinfacht. Dazu wird die Zus
tandsdichte
Dc E durch einen Mittelwert Dc ersetzt, der im Energie-Intervall
0
s
Ec
eU EF gebildet wird:
Dc
1
2π2
2mc 2
γ
3 2
EF
0 E
c
EF
eU s
Ec
0
eU s
dE E
Ec
0
eU s 12.2. MIS-STRUKTUR BEI ANGELEGTER SPANNUNG
(Mittlung bei x
0). Da eU0
de f
γ
3π2
Dc
Ec
0
157
EF ist, erh¨alt man
2mc 3 2
eU s
2
eU0
(12.3)
Der Korrekturfaktor γ 1 berücksichtigt, dass das bei x 0 berechnete Dc zu
einer Übersch¨atzung der mittleren Elektronenkonzentration
in der gesamten Inversionsschicht führt. Benutzt man Gleichung (12.3) in n x , so folgt
Nc
ϕ
x
U s U0
n x
U0
mit
γ 2mc eU s
3π2 2
Nc
3 2
eU0 Die Elektronenkonzentration
nimmt also im Inversionsgebiet vom Wert N c auf
den Wert 0 ab (da ϕ xi U0 ). Das Modell (12.3) führt zur Untersch¨atzung von n
im linken Teil und zur Übersch¨atzung von n im rechten Teil der Inversionsschicht.
Die Poisson-Gleichung vereinfacht sich zu
d2ϕ
dx2
e
ε0 εs
0
Nc U s
NAS
0
U0 1
ϕ x
U0
d
x
0
0 x xi
xi x x p
xp x ∞ .
Die Randbedingungen lauten ϕ ∞ ϕ d U und ϕ ∞ 0. Wegen der
Wahl
des Energie-Nullpunkts in der Form ϕ ∞ 0 folgt auch
ϕ x p 0 und
0. Im Isolator ist die Feldst¨arke konstant EI ϕ d . Also hat man
ϕ xp folgende Randbedingungen:
ϕ
ϕ
d
d
U
EI
ϕ xp ϕ xp 0
0
Man erh¨alt als Lösung der Poisson-Gleichung
ϕ x
U EI x d U0 Lu E s sinh UT
2L2D
xp x
mit
x
Lu U0 cosh d
x
Lu 0
2
xi
L2u
Us
ε0 εs U s U0 eN c
L2D
ε0 εsUT
eNAS
x
x
x
0
xi
xp
158
CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR
Wegen ϕ 0 U s folgt U s
Funktion von E s :
εI EI εs ist, wird U s folgende
EI d. Weil E s
U
Us
εs s
E d
εI
U
Es bleiben drei Grössen zu bestimmen: xi , x p und E s .
1.) Aus der Stetigkeit von ϕ x bei x
xi folgt
xi Lu
E cosh
2.) Aus dem Wert von ϕ x bei x
xi (ϕ xi Us
U0
Lu
sinh
U s U0
Lu E s
UT xi
2L2D
xp U0 !) folgt
xi Lu
3.) Aus dem Wert von ϕ x bei x
U0
tanh
UT xi
L2D
xi Lu
s
xi folgt
xp 2
xp
xi
2U0
UT
LD 1) und 2) sind implizite Gleichungen zur Bestimmung von xi und E s . Setzt man
2) in 1) ein, so folgt
cosh
U
xi Lu
s
U0 2
Lu E
s 2
UT E
s
Lu LD
2
xp xi
Unter der Voraussetzung L2u
L2D , d.h. NAS
N c kann man die rechte Seite der
letzten Gleichung n¨aherungsweise Null setzen und erh¨alt mit
Us
Es
U0
Lu
eine implizite Gleichung für Es
Die in der Inversionsschicht gespeicherte Ladung wird wegen
n x
Nc
ϕ x
s
U U0
U0
N c cosh
x Lu
(12.4)
Lu E s
sinh
U s U0
x Lu
12.3. LADUNGSTRANSPORT DURCH DÜNNE OXIDE
gleich
n
xi
s
0
dx n x x Lu
N c Lu sinh
1
N c Lu N c Lu
cosh 159
tanh 1
xi
Lu xi cosh
Lu
x Lu
xi
0
xi
Lu sinh Einsetzen der expliziten
Ausdrücke ergibt
n
s
γ 2mc eU s
3π2 2
eU0 also
ns
U
εI
Lu
εs
U0
U
U
d
ε0 εs
e
U0 α Us
Setzt man Gleichung (12.4) in U s E s s
1 2
3 2
5 4
Us
U0
(12.5)
εs E s d εI ein, so folgt
Us U
1
U0
εs d
ε I Lu
Damit wird die gespeicherte Ladung als
Funktion der ¨ausseren Spannung U :
n U
s
α
U
U0
1
εs d
ε I Lu
5 4
Um die gespeicherte Ladung über U möglichst wirksam steuern zu können, muss
d Lu sein. Lu ist von der Grössenordnung 500Å (für Us U0 1V ), also muss
gelten: d 50 nm!
12.3 Ladungstransport durch dünne Oxide
Die Stromdichte für den Mechanismus des direkten Tunnelns durch dünne Oxide
wird auf ¨ahnliche Weise berechnet wie beim Metall-Halbleiter-Übergang. Bei
dünnen Oxiden (d 3 nm), die durchtunnelt werden, kann kein lokales quasiFermi-Niveau innerhalb der Oxidbarriere definiert werden. Im Falle extrem
160
CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR
Tunneling mechanisms
Fowler-Nordheim
direct
(multi)phonon-assisted
resonant
"cavity"
defects
E (x )
t
Typical characteristics
tunnelmech.ID.epsi
121 94 mm
-10
single oxide, tox= 2.5 nm
direct
Fowler-Nordheim
Log [J (Acm )]
-15
-20
-2
–2
Log [J (Acm )]
0
single oxide, tox = 10 nm
multiphonon-assisted
resonant
direct
–5
-25
-30
-35
–10
-40
0
2
4
6
8
gate voltage (V)
10
E FM
0
1
2
3
E (MV/cm)
4
x
x
x
dirtun.ID.epsi
x
74 x48xmm
x
x
E FS
x = -d
x=0
dünner Oxide (d 1 nm, “native oxides”) stellt sich zwischen Metall und Halbleiter ein n¨aherungsweises thermodynamisches Gleichgewicht ein. Der MISÜbergang wird dann quasi-Ohmsch.
Die Elektronen-Stromdichte kann nach der Formel
jn
emc kB T
2π2 3
∞
0
dE T E ln
exp
exp
k ET 0 E 0 E 0 E k T EFS 0
1
c
1
B
EFM
B
c
12.3. LADUNGSTRANSPORT DURCH DÜNNE OXIDE
161
berechnet werden. Dabei ist T E die Transmissionswahrscheinlichkeit (auch
Durchgangskoeffizient genannt, sh. Kap.5) für die Oxidbarriere. Die Abbildung
zeigt gemessene und simulierte Tunnelstrom-Kennlinien von MOS-Kapazit¨aten
mit SiO2 -Dicken von 15 Å bzw. 30 Å.
1E0
Gate Currents of MOS capacitor
Cu r r en t (A )
1E-5
1E -10
1E -15
iv15-30-comp.ID.epsi
80 77 mm
ex p 15A
ex p 30A
sim 30A
sim 15A
1E -20
-4
-2
0
Vo l t ag e (V)
2
4
13 Hetero-Überg¨ange
13.1 Banddiskontinuit¨
aten
Material 1
Material 2
E c2
∆E c
E c1
E F1
E g1
E g2
hetero1.ID.epsi
81 55 mm
E v1
E F2
∆E v
E v2
x
0
Die Abbildung zeigt die Situation vor Einstellung des Gleichgewichts. Auch
wenn keine freien Ladungstr¨ager vorhanden sind, fliesst Valenzladung aus dem
Material 1 mit der höher liegenden Valenzbandkante ins Material 2. Es bildet sich
eine Dipolschicht aus. Wegen des damit verbundenen Potentialsprungs ergibt sich
für die tats¨achliche Lage der Valenzbandkanten am HeteroÜbergang:
Ev1
0
Ev1
eϕ ;
0
Ev2
Ev2
eϕ Damit folgt für die Valenzband-Diskontinuit¨at:
∆Ev
Ev1
Ev2
0
0
Ev1 Ev2
Volumenbeitrag
162
e ϕ ϕ Dipolbeitrag
13.2. POTENTIALVERLAUF NACH EINSTELLUNG DES GLEICHGEWICHTS
163
Der Dipolbeitrag h¨angt allerdings auch von den Eigenschaften der Grenzfl¨ache
ab. Für die Leitungsband-Diskontinuit¨at erh¨alt man:
∆Ec
Ec2
Ec1
Ev2
Eg2
Ev1
∆Ev
Eg1
∆Eg
∆Eg kann experimentell leicht bestimmt werden, ∆Ev ist dagegen schwierig zu
messen.
13.2 Potentialverlauf nach Einstellung des Gleichgewichts
E c2
E F2
a)
E c1
E F1
b)
hetero2.ID.epsi
84 72 mm
c)
-e ϕ(x)
Ec -e ϕ(x)
EF
x
0
Verlauf der Leitungsbandkante an einem Hetero-Übergang vom n-Typ vor Einstellung
des Gleichgewichts a) und danach c). Der Verlauf des Potentials ist in b) dargestellt.
Wir beziehen jetzt auch die freien Ladungstr¨ager mit in die Betrachtung ein.
Durch Umverteilung an der Hetero-Grenze bildet sich eine Raumladungszone
aus. Zum Zwecke einer vereinfachten Analyse beschr¨anken wir uns auf das
System GaAs-AlAs, für das Ec2 Ec1 gilt, und machen folgende Annahmen:
Nc1 Nc2 , n-Dotierung mit p NA 0, gleiche Dielektrizit¨atskonstanten ε1 ε2 .
Dann lautet die Poisson-Gleichung
d2ϕ
dx2
e
ND x ε0 εs
n x
Nimmt man noch an, dass die n-Dotierung in beiden Materialien identisch ist,
so gilt EF2 EF1 Ec2 Ec1 . Aufgrund der Voraussetzung Ec2 Ec1 muss
164
CHAPTER 13. HETERO-ÜBERGÄNGE
auch EF2 EF1 sein. Deshalb diffundieren Elektronen aus dem Material 2 in
das Material 1. Es entsteht eine Anreicherungsschicht in Material 1 und eine
Verarmungsschicht in Material 2. In Material 2 kann man die Schottky-N¨aherung
anwenden, in Material 1 dagegen nicht.
Nach dem Schottky-Modell des Kontakts muss die Differenz der FermiNiveaus gerade durch die Bandverbiegung kompensiert werden, d.h.
1
EF2 EF1 ϕ ∞ ϕ ∞
e
In Material 1 kann man folgendermassen vorgehen: Die Elektronendichte ist
n x
Nc exp
Ec
eϕ x kB T
0
EF
wenn man Boltzmann-Statistik voraussetzt. Führt man die GleichgewichtsKonzentration n01 im unendlichen Volumen des Materials 1 ein, folgt
ϕ x
ϕ ∞
n x
n01 exp
UT
Die Poisson-Gleichung im Gebiet von Material 1 lautet dann
e
ND x ε0 εs
d2ϕ
dx2
n01
ϕ x
exp
ϕ
UT
∞
Das erste Integral kann
mit der Randbedingung dϕ dx x ∞ 0 und für konND const exakt angegeben werden:
stante Dotierung ND x dϕ dx
2
2e
ε0 εs
ND ϕ x ϕ
∞
ϕx
UT n01 e
Uϕ T
∞
1
Im Sinne einer qualitativen Diskussion setzen wir ND 0 (bzw. machen die
Annahme ND
n in der Anreicherungsschicht). Der Potentialsprung ist von
der Grössenordnung der Banddiskontinuit¨at und wird durch ∆E
c ersetzt. Mit
e dϕ dx ∆Ec wA , wobei wA die Dicke der Anreicherungsschicht bezeichnet,
erh¨alt man
LD ∆Ec 12 k∆ETc
B
wA
e
2 kB T
LD ist die Debye-L¨ange in Material 1: LD
ε0 εsUT e n01 . Hier ist also
wA
LD ! Mit ∆Ec 0 4 eV ist wA 0 14 LD . Die Debye-L¨ange betr¨agt für
n01 1018 cm 3 und εs 12 etwa 0.2 µm, somit wird wA etwa 20 nm. Dieser
Wert wird durch numerische Rechnungen best¨atigt. Im Potentialtrichter bildet
sich ein 2D-Elektronengas aus.
13.3. SUPERGITTER UND QUANTUM WELLS
165
13.3 Supergitter und Quantum Wells
In Kap. 5 hatten wir zur Veranschaulichung der Entstehung von B¨andern ein
eindimensionales Modell aus einer unendlichen Abfolge von Quantentöpfen und
Barrieren betrachtet (Kronig-Penney-Modell). In der Realit¨at werden solche
Systeme als Supergitter realisiert. Auf ein Substrat werden dazu epitaktisch
Halbleiterschichten aus abwechselndem Material aufgewachsen. Mittels MBE
oder MOCVD gelingt die Herstellung von nahezu idealen Hetero-Grenzfl¨achen.
Liegen die Schichtdicken im Nanometer-Bereich, ergeben sich neuartige elektronische Eigenschaften, die denen ¨ahnlich sind, die durch die natürliche Kristallstruktur verursacht werden (Energie-Lücken, negative effektive Massen, etc.).
Im folgenden wird die elektronische Struktur von Supergittern noch einmal
a)
d
d1
Substrat
b)
superlatt1.ID.epsi
64 mm
d2 92
Supergitter
y
x
z
E c (z)
z
Halbleiter-Supergitter (a) und zugehöriger Verlauf der Leitungsbandkante (b).
genauer betrachtet, wobei eine etwas andere Methode als in Kap. 5 benutzt
wird (hier jetzt das eigentliche “Kronig-Penney-Modell” ohne WKB-N¨aherung).
Wir beschr¨anken uns wieder auf die Elektronen im Leitungsband, die Löcher
können analog behandelt werden. Die Schichtdicke von Material 1 (z.B. GaAs)
sei d1 , die von Material 2 (z.B. Ga1 x Alx As sei d2 und die Gitterkonstante des
Supergitters in z-Richtung (Wachstumsrichtung) sei d d1 d2 . Parallel zu den
Schichten in x- und y-Richtung liegt die natürliche Gitterperiodizit¨at vor. Die
elektronische Struktur von Supergittern kann bereits mittels der EffektivmassenMethode recht gut beschrieben werden. Voraussetzung dafür ist insbesondere,
dass die Leitungsband-Minima der beiden Materialien im selben Punkt des
k-Raumes liegen. Bei der Kombination GaAs/Ga1 x Alx As ist das im direk Bandkanten liegen im
ten Bereich der Legierung (x 0 42) der Fall, beide
Punkt Γ. Die Gesamt-Wellenfunktion eines Elektrons im Supergitter wird in
166
CHAPTER 13. HETERO-ÜBERGÄNGE
der Effektivmassen-N¨aherung als Produkt aus einem Blochfaktor uc0 r und
einer Enveloppen-Funktion
Fc r dargestellt. Wir schreiben die Effektivmassen
Gleichung für Fc r in den beiden Materialien einzeln auf:
2
2mc1
2
2mc2
∆
∆
Ec1 Fc r r in Material 1
r in Material 2
E Fc r Ec2 Fc r E Fc r Der Einfachheit halber seien die effektiven Massen gleich (mc1 mc2 mc ), was
für das System GaAs/Ga1 x Alx As n¨aherungsweise
erfüllt ist. Durch Einführung
einer ortsabh¨angigen Leitungsbandkante
Ec z lassen sich beide Gleichungen zu
einer zusammenfassen:
2
2mc
mit
Ec z 0
∆Ec
∆
Ec z Fc r Ec2
Ec1
Ec1 Fc r E
(13.1)
n d d1
z
n 1 d
für n d z
für n d d1
und n als Nummer der Supergitter-Einheitszelle ( ∞ n ∞). Die Funktion
Ec z l¨asst sich als ¨ausseres Potential interpretieren
und Gleichung (13.1) als
Schrödinger-Gleichung in diesem Potential. Ec z besitzt die Periodizit¨at des Supergitters, d.h.
d
Ec z
Ec z Da das Potential Ec z nur von z, aber nicht von x y abh¨angt, kann die Lösung
der Schrödinger-Gleichung als Produkt aus einer parallel zu den Schichten
laufenden ebenen Welle mit
einem gewissen Wellenvektor k , und einer nur von
z abh¨angigen Funktion χc z geschrieben werden:
Fc r 1 ik x
χ
z
e
c
Ω1 3
Fck r Für χc z ergibt sich die Schrödinger-Gleichung
2
d2
2mc dz2
E c z χc z E χc z mit E
E
Ec1
2
2mc
k2
(13.2)
Diese Gleichung gilt für alle z mit Ausnahme der Sprungstellen n d und n d
d1 zwischen den beiden Materialien. Um die Grenzfl¨achen zu überbrücken,
13.3. SUPERGITTER UND QUANTUM WELLS
167
benötigt man Anschlussbedingungen für χ
c z und dχc z dz. Normalerweise
sind
Wellenfunktionen
und
deren
erste
Ableitung
überall im Raum stetig. Bei
χc z handelt es sich aber nicht um eine vollst¨andige Wellenfunktion, sondern
nur um deren langsam ver¨anderliche Enveloppe, die noch mit dem Blochfaktor
uc0 r multipliziert werden muss. Der Blochfaktor h¨angt vom Material ab und
hat i.a. links und rechts von der Grenzfl¨ache unterschiedliche Werte. Das gleiche
gilt für die Ableitungen. Wir nehmen diese Grössen im Sinne einer N¨aherung als
gleich an (gilt für GaAs/AlAs-Supergitter tats¨achlich n¨aherungsweise). Dann ist
also
χc z
χc z
0
χc z
0
χc
z
0
für z
0
n d und z
nd
d1
(13.3)
Als weitere Bedingung fordern wir die Periodizit¨at und Normierung von χc z bezüglich des 1-dimensionalen Grundgebietes Ω1 3 M d (M bezeichnet die Anzahl der Supergitter-Einheitszellen
pro Grundgebiet). Gem¨ass Bloch-Theorem
kann dann χc z als gitterperiodische modulierte ebene Welle
χc z χck z 1 ikz e Uck z Ω1 6
geschrieben werden mit k als Komponente des Gesamtwellenvektors
des
Fck k r in z-Richtung und Uck z als SupergitterBloch-Zustandes Fck r Blochfaktor. Letzterer ist von den Blochfaktoren uc0 r der beiden Volumenkristalle zu unterscheiden. Das Auftreten von zwei verschiedenen BlochFaktoren spiegelt den Umstand wieder, dass bei einem Supergitter zwei verschiedene periodische Potentiale vorliegen, n¨amlich das der natürlichen Kristallstruktur
und das der künstlichen Überstruktur. Die Gesamtwellenfunktion
ψc r ψck r enth¨alt das Produkt der beiden Bloch-Faktoren. Sie lautet
ψck r 1
uc0 r Uck z ei k r
Ω
Die
z-Komponente k des Wellenvektors k muss von der Form 2π M d 0 1 2 sein, damit die geforderte Grundgebietsperiodizit¨at vorliegt. Der
Variationsbereich
von k ist die (1-dimensionale) erste BZ des Supergitters zwischen π d und π d. Zur Lösung der Schrödinger-Gleichung (13.2) beschr¨anken
wir uns auf Energien 0 E
∆Ec , d.h. auf Energien, die unterhalb der niedrigsten erlaubten Energie eines Elektrons
in Material 2 liegen. Der Blochfaktor
Uck z der Wellenfunktion χck z wird in den beiden Materialschichten durch
unterschiedliche Ausdrücke beschrieben. Für die Quantum Wells folgt aus der
168
CHAPTER 13. HETERO-ÜBERGÄNGE
Schrödinger-Gleichung
Uck z k z b e i K
1
a 1 ei K
k z
0
z
d1
mit K als reeller Zahl, die mit der Energie E durch die Beziehung
E
2
2mc
K2
(13.4)
verknüpft ist, und a1 , b1 als noch zu bestimmenden Koeffizienten. In den Barrieren gilt dagegen
ik z b e
2
Uck z a2 e κ
κ
ik z
d1
z
d
wobei
κ2
2mc
2
∆Ec
E
(13.5)
gesetzt wurde. Für die vier Koeffizienten a1 , b1 , a2 , b2 ergibt sich aus den vier
Anschlussbedingungen (13.3) das homogene Gleichungssystem
eiKd1
eikd
iK eiKd1
iK eikd
e iKd1
e ikd
iK e iKd1
iK e ikd
eκd1
eκd
κ eκd1
κ eκd
e
e
κe
κe
κd1 κd
κd1 κd
a1
b1
a2 b2
0
0
0 0
Damit dieses Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung besitzt, muss seine Determinante verschwinden. Die Bedingung dafür lautet
κ2 K 2
sin Kd1 sinh κd2 cos kd (13.6)
2κK
Nur solche K und κ sind erlaubt, die dieser Beziehung genügen. Dabei sind K
und κ aber nicht unabh¨angig voneinander, sondern durch die Energie E über Gleichungen (13.4) und (13.5) miteinander verknüpft. Die Gleichung (13.6) stellt
also letztlich eine Bedingung für die Energie E dar. Sie ist identisch mit der
des Kronig-Penney-Problems. Man erh¨alt eine bestimmte
Anzahl diskreter Energieeigenwerte En , die, wenn k variiert, zu B¨andern En k auff¨achern, die durch
Energielücken voneinander getrennt sind. Um die
Energieeigenwerte
2 E des2 Su
pergitters zu erhalten, muss gem¨ass (13.2) zu En k noch Ec1
2mc k addiert werden:
cos Kd1 cosh κd2 En k En k Ec1
2
2mc
k2
13.3. SUPERGITTER UND QUANTUM WELLS
169
Im Unterschied zum Kronig-Penney-Problem besitzen die Energieb¨ander des Supergitters also eine zus¨atzliche Dispersion bzgl. der Wellenvektor-Komponente
k parallel zu den Schichten. Die B¨ander und Lücken, die sich bei festem k und
Variation von k ergeben, bezeichnet man als Minibänder und Minilücken. Die bei
festem k und variablem k entstehenden B¨ander bezeichnet man als Subbänder.
Die Subband-Dispersion resultiert aus der natürlichen Kristallstruktur, w¨ahrend
die Miniband-Dispersion die Folge der künstlichen periodischenÜberstruktur ist.
In der Abbildung sind auch die Grenzf¨alle sehr dicker Barrieren (links) und
sehr dünner Barrieren (rechts) dargestellt. Im ersten Fall dominieren die hyper
bolischen Terme in (13.6) und der die Dispersion verursachende Term cos kd auf der rechten Seite kann vernachl¨assigt werden. Die Minib¨ander entarten zu
den diskreten Niveaus des isolierten Quantentopfes. Das Supergitter zerf¨allt
in einzelne Quantum Wells, die untereinander nicht gekoppelt sind (MultiQuantum-Well-Struktur). Im zweiten Fall liefert die S¨akulargleichung (13.6) in
nullter N¨aherung k K. Damit verschwinden die Minilücken überhaupt, und die
Überstruktur ist unwirksam.
π
a
superlatt2.ID.epsi
95 82 mm
k ||
π
d
k
π
d
z
Mini- und Subbänder eines Supergitters. Dargestellt sind auch die beiden Grenzfälle
sehr dünner und sehr dicker Barrieren. Der untere Bildteil veranschaulicht die Wellenfunktionen.
Die bisherigen Betrachtungen gelten mit gewissen Modifikationen auch für
Löcher. Die Löcher-Wells können sich im selben Material befinden wie die
Elektronen-Wells, aber auch im andern Material. Im ersten Fall spricht man
170
CHAPTER 13. HETERO-ÜBERGÄNGE
von Typ-I-Supergittern, im zweiten Fall von Typ-II-Supergittern. In TypII-Supergittern halten sich Elektronen und Löcher in verschiedenen Materialschichten auf, sind also r¨aumlich separiert, was zu ungewöhnlichen Eigenschaften führt. Es kommt sogar vor, dass die Löcher-Niveaus in dem einen Material höher liegen als die Elektronen-Niveaus in dem andern. Sie sind dann nicht
mehr durch eine Energielücke voneinander getrennt, und das Supergitter ist ein
Metall.
Typ I
Typ II
Ec
∆Ec
superlattTyp.ID.epsi
123 41 mm
E g1
Ev
E g2
∆Ev
Supergitter vom Typ I und Typ II.