1. Vorklausur zur Quantenmechanik II im WS 09/10
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Erlangen den 10. Dezember 2009
1. Vorklausur zur Quantenmechanik II im WS 09/10
VK1) Gegeben eine 3×3-Matrix mit den Einträgen A13 = A22 = A31 = 1 und ansonsten
Aij = 0. Berechnen Sie deren Eigenwerte.
VK2) Gegeben ein Hamiltonoperator Ĥ0 mit dem Spektrum Ĥ0 |ni = h̄ωn |ni, n = 0, 1, 2, ....
¡
¢
Es kommt eine Störung V̂ = E0 D̂ cos(Ωt) exp −αt2 hinzu. Das Übergangsmatrixelement
D10 = h1|D̂|0i sei bekannt. Geben Sie die Übergangswahrscheinlichkeit W0→1 für einen
abgeschlossenen Prozess in erster Ordnung zeitabhängiger Störungsrechnung an.
VK3) Gegeben ein Hamiltonoperator Ĥ = Ĥ0 + αD̂δ(t), wobei Ĥ0 und D̂ zeitunabhängig
sind. Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion |ψ(t)i = e−iĤ0 t/h̄ e−iαD̂θ(t)/h̄ |ψ0 i Lösung der
zeitabhängigen Schrödingergleichung ist. (θ(t) ist die ’heavy-side’ Funktion und |ψ0 i zeitunabhängig.)
VK4) Gegeben ein deformierter Oszillator in 2D mit den Einteilchenenergien εnx ny = h̄ωnx +
2h̄ωny , ni = 0, 1, 2, ... Berechnen Sie die Gesamtenergie des Grundzustands für N =4 Spin1
2 -Teilchen.
³
´
(1) (2)
(1) (2)
VK5) Gegeben zwei Spin- 21 -Systeme mit dem Spinor-Zustand Φ = √12 χ+ χ− − χ− χ+
³
´
(1) (2)
(1) (2)
und dem Hamiltonoperator Ĥ = ε ŝ+ ŝ− + ŝ− ŝ+ . Berechnen Sie den Erwartungswert
hΦ|Ĥ|Φi.
P
(n)
VK6) Gegeben der Einteilchenoperator der z-Komponente des Gesamtspins, Ŝz = N
n=1 ŝz .
Das N -Teilchensystem sei aus den Einteilchenspinorwellenfunktionen ϕα (r) = ψkα (r)χµα
zu einem Slaterzustand |Φi zusammengesetzt. Berechnen Sie den Erwartungswert hΦ|Ŝz |Φi.
(Tipp: ermitteln Sie zuerst die Wirkung von ŝz auf |ϕα ).)
VK7) Gegeben ein Teilchen in 3D mit Potential V = 0, aber eingeschränkt auf den Bereich
r ∈ [0, R], d.h. mit der Randbedingung an die Wellenfunktion ψ(r = R) = 0. Zeigen
Sie, dass ψ(r) = j0 (kr) = sin(kr)/(kr) für geignete Wahl von k Lösung der stationären
Schrödingergleichung ist. Bestimmen Sie mögliche Werte für k und die zugehörigen Energien.
VK8) Ein Zustand sei charakterisiert durch die komplexen Entwicklungskoeffizienten cα . Für
P
P
diese gilt die Normierungsbedingung α |cα |2 = 1. Die Energie ist E = αβ c∗α Hαβ cβ ,
wobei Hαβ eine hermitesche Matrix ist. Leiten Sie mit dem Ritz’schen Variationsprinzip
eine Bestimmungsgleichung für die cα her.
VK9) Gegeben zwei Fermionen in 1D mit gleichem Spin. Der Spinfreiheitsgrad kann hier
ignoriert werden. Es interessieren die räumlichen Wellenfunktionen. Die Einteilchenwellenfunktionen sind gegeben als ϕ1 (z) = exp (− 21 z 2 ), ϕ2 (z) = z exp (− 21 z 2 ). Berechnen Sie
die Determinante Φ(z1 , z2 ) = √12 A{ϕ1 (z1 )ϕ2 (z2 )}. Drücken Sie das Ergebnis durch die
Relativkoordinate z = z1 − z2 im Spezialfall z1 = −z2 = 12 z aus.
VK10) Gegeben Fermionenoperatoren â†β , âβ und ein Slaterzustand |Φi = |12...N i. Berechnen
P
Sie β â†β âβ |Φi.
VK11) Gegeben Fermionenoperatoren â†α , âα und â†β . Berechnen Sie [â†α âα , â†β ].
VK12) Berechnen Sie den antisymmetrischen Zustand
Ψ+ (r1 , r2 )
1h
(1) (2)
A{ϕ1 (r1 )ϕ2 (r2 )χ+ χ− }
2
=
+
i
(1) (2)
A{ϕ2 (r1 )ϕ1 (r2 )χ+ χ− }
Stellen Sie dabei die Spinoren in den Basiszuständen
´
1 ³ (1) (2)
(1) (2)
X00 = √ χ+ χ− − χ− χ+
2
(1) (2)
X1,+1 = χ+ χ+
,
´
1 ³ (1) (2)
(1) (2)
X10 = √ χ+ χ− + χ− χ+
,
2
,
X1,−1 = χ− χ−
(1) (2)
der gekoppelten Basis dar. Ist der Zustand Ψ+ (r1 , r2 ) Eigenwert zum Gesamtspin?
Einige Formeln:
Z∞
2
r
dt exp(iωt) exp(−αt ) =
π
ω2
exp(− )
α
4α
−∞
h̄2 ∆ =
ˆl2
h̄2 2
∂r r − 2
r
r
,
∂x θ(x) = δ(x)
