Blatt 9: Kohärente Zustände

Prof. U. Mosel, Dr. H. van Hees
Sommersemester 2009
Übungen zur Quantenmechanik I
Blatt 9
22.06.2009, Abgabetermin für Hausübungen: 29.06.2009
Präsenzaufgabe 12 (Kohärente Zustände)
Wir betrachten wieder den eindimensionalen harmonischen Oszillator mit dem Hamiltonoperator
Ĥ =
p̂2
mω 2 x̂2
+
.
2m
2
(1)
Zur Zeit t = 0 sei das Teilchen in dem folgenden Zustand präpariert:
|β|2
Ψ0,β (x) = exp −
2
!
∞
X
βn
√ un (x),
n!
n=0
(2)
wobei die un die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators sind (s. voriges Übungsblatt);
β ist ein beliebiger komplexer Parameter. Solche Zustände nennt man kohärente Zustände.
(a) Was ist die Wahrscheinlichkeit Wn , bei der Messung der Energie den Energieeigenwert En zu
finden? Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung korrekt auf 1 normiert? Berechnen Sie den Erwartungswert der Energie.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die erzeugende Funktion der Wahrscheinlichkeitsfunktion
G(z) =
∞
X
Wn z n .
(3)
n=0
(b) Berechnen Sie die Zeitentwicklung des Zustandes, also Ψ(x, t), für den gegebenen Anfangszustand.
(c) Berechnen Sie die Erwartungswerte für Ort und Impuls sowie deren Standardabweichungen als
Funktionen der Zeit.
(d) In welcher Relation stehen die Erwartungswerte für Ort und Impuls zur klassischen Bewegung
des Teilchens im harmonischen Oszillatorpotential?
(e) Prüfen Sie die Heisenbergsche Orts-Impuls-Unschärferelation. Vergleichen Sie das Verhalten dieses Zustandes mit dem Gaußschen Wellenpaket eines freien Teilchens.
Hausübung 12 (Dipolmoment des Wasserstoffatoms)
In der Vorlesung haben Sie die Energieeigenfunktionen des Wasserstoffatoms
ψnlm (r, ϑ, ϕ) = Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ)
(4)
mit den Kugelflächenfunktionen Ylm und den Radialwellenfunktionen Rnl kennengelernt. Die dazugehörigen Energieniveaus sind
En = −
e2 1
µe4 1
=
−
2~2 n2
2a n2
mit
a=
~2
,
µe2
(5)
Für jedes n ∈ {1, 2, 3, . . .} kann l ∈ {0, 1, . . . , (n − 1)} sein und zu jedem l liegt m ∈ {−l, −l + 1, . . . , l}.
Zu jedem Energieniveau n gehören daher n2 Eigenfunktionen (n2 -fache Entartung); e ist die Ladung
eines Elektrons, µ = me mp /(me + mp ) die reduzierte Masse des Elektron-Protonsystems, und a ist
der Bohrsche Radius.
Der Grundzustand ist durch
r
2
ψ100 (r, ϑ, ϕ) = √ exp −
Y00 (ϑ, ϕ)
a
a3
(6)
gegeben.
Die vier Zustände zum ersten angeregten Niveau (n = 2) lauten
r
r
1
2−
exp −
Y00 (ϑ, ϕ),
u1 (r, ϑ, ϕ) = ψ200 (r, ϑ, ϕ) = √
a
2a
2 2a3
r
1 r
exp −
Y10 (ϑ, ϕ),
u2 (r, ϑ, ϕ) = ψ210 (r, ϑ, ϕ) = √
2a
2 6a3 a
r
1
r
2 r
u3,4 (r, ϑ, ϕ) = ψ21,±1 (r, ϑ, ϕ) =
exp
−
Y1,±1 (ϑ, ϕ).
4 3a3 a
2a
(7)
Alle diese Wellenfunktionen sind auf 1 normiert.
Der Operator für die z-Komponente des (permanenten) elektrischen Dipolmoments des Wasserstoffatoms ist
P̂z = −eẑ.
(8)
(a) Berechnen Sie Pz für den Grundzustand des Wasserstoffatoms.
(b) Die allgemeine Wellenfunktion für ein Wasserstoffatom im ersten angeregten Zustand ist eine
beliebige Superposition der vier Wellenfunktionen (7):
Ψ2 =
4
X
ck uk
mit
k=1
4
X
k=1
|ck |2 = 1.
(9)
Drücken Sie den Erwartungswert des elektrischen Dipolmoments mit Hilfe der Matrixelemente
Wk1 k2 = −e
aus.
Z
R3
d3 xu∗k1 (r, ϑ, ϕ)zuk2 (r, ϑ, ϕ)
(10)
∗ sind.
(c) Zeigen Sie, daß die einzigen nichtverschwindenden Matrixelemente W12 und W21 = W12
Hinweis: Sie können diese Teilaufgabe (fast) ohne Rechnungh lösen,
i wenn Sie über die Parität
der Funktionen uk nachdenken und die Kommutatorrelation ẑ, L̂z verwenden.
(d) Berechnen Sie dieses Matrixelement konkret. Was ist dann hPz i für die allgemeine Wellenfunktion
(9)?
Hinweis: Nützliche Integrale:
Z
0
∞
dxr n exp(−Ar) =
n!
An−1
n ∈ N, A > 0.
Homepage zu Vorlesung und Übungen:
http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/qm1-ss09/
(11)