Klausur - Server der Fachgruppe Physik der RWTH Aachen

Fortgeschrittene Quantenmechanik
Prof. Dr. R. Harlander
Sommersemester 2008
Klausur
Thorsten Kurth ([email protected])
Martin Matusik ([email protected])
16. Juli 2008, 16.00 Uhr
Name:
Matrikelnummer:
Bearbeitungszeit: 2,5 Stunden
Gesamtpunktzahl: 30 Punkte
100% =
b 20 Punkte
Schein: 10 Punkte
1
2
3
4
5
6
Σ
Hinweise
• Für griechische Indices gilt stets die Summationskonvention, d.h. über doppelt auftretenden Indices wird summiert.
• Pauli-Matrizen:
0 1
σ1 = σx =
,
1 0
σi σj = δij + i
3
X
σ2 = σ y =
0
i
−i
0
,
σ3 = σ z =
exp(i~
α · ~σ ) = cos |~
α| + i
ijk σk ,
k=1
α
~ · ~σ
sin |~
α|
|~
α|
• Dirac-Matrizen:
{γ µ ,γ ν } = g µν 14×4
0
γ =
1 0
0 −1
,
i
γ =
0
−σi
σi
0
,
i ∈ {1,2,3}
1
0
0
−1
Aufgabe 1: Messprozess
(1+2+1=4)
Eine Observable A habe in der Orthonormal-Basis {|1i,|2i} die Matrix-Darstellung
A11 A12
1 1
A=
=
,
Aij ≡ hi|A|ji .
A21 A22
0 −1
Der Zustand des betrachteten Systems sei
|ψi =
4
3
|1i + |2i .
5
5
(a) Kann die Messung von A den Wert + 12 liefern? (Begründung!)
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert eine Messung von A am Zustand |ψi den
Wert −1?
(c) Die Messung liefere den Wert −1. In welchem Zustand befindet sich das System
unmittelbar nach der Messung?
Aufgabe 2: Relativistische Feldgleichungen
(1.5+1+1.5+2=6)
(a) Das Elektron wird beschrieben durch ein Spinor-Feld, das Pion durch ein Skalarfeld, das Photon durch ein Vektorfeld. Welchen relativistischen Gleichungen
genügen diese Felder?
(b) Wie lautet die relativistische Feldgleichung für ein Pion (Ladung e), das mit
Photonen wechselwirken kann?
(c) Leiten Sie folgende Gleichung aus der Dirac-Gleichung für das Feld ψ ab
←
−
ψ(x)(i ∂ + m) = 0 ,
←
−
mit ψ ≡ ψ † γ 0 und ψ(x) ∂ ≡ ∂µ ψ(x)γ µ .
(d) Es sei Λµν die definierende Darstellung der Lorentz-Gruppe, und Λ 21 die SpinorDarstellung. Ein Lorentz-Vektor aµ und ein Spinor ψ transformieren sich also wie
folgt unter Lorentz-Transformationen:
aµ → (a0 )µ = Λµν aν ,
ψ → ψ 0 = Λ 12 ψ .
µ
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke (a
≡ γµ a ):
µ
(i) γµ aγ
µ
(iii) Λ ν {γ ν ,Λ−1
1 γµ Λ 1 }
2
(ii) Λµα Λνβ Λµρ Λνσ aα aβ gρσ
(iv) εµνρα εµνρβ
2
µνρσ
wobei ε
total anti-symmetrisch unter Vertauschung zweier Indizes ist mit
ε0123 = +1. Außerdem ist
εµνρσ εµνρσ = −24 .
Aufgabe 3: Rotationen
(1+2+2+1=6)
Wir betrachten ein Spin- 12 -System. Der Operator Sz = ~2 σ3 misst den Spin bezüglich
der Quantisierungsachse ~ez = (0,0,1). Der Operator Sz,ϕ ist definiert durch
ϕ
ϕ
Sz,ϕ = exp(−iσ2 ) Sz exp(iσ2 )
2
2
und misst den Spin bezüglich der Quantisierungs-Achse ~eϕ .
(a) Bestimmen Sie ~eϕ .
(b) Berechnen Sie Sz,ϕ für infinitesimale ϕ bis zur einschließlich ersten Ordnung in
ϕ durch Entwicklung der Exponentialfunktionen.
(c) Berechnen Sie Sz,ϕ für beliebige ϕ und vergleichen Sie den Grenzfall kleiner ϕ
mit Teilaufgabe 3b.
(d) Überprüfen Sie das Resultat aus Teilaufgabe 3a durch die Wahl ϕ = π/2.
Aufgabe 4: Störungstheorie
(1.5+3+1.5=6)
~ = (0,0,B) werde beschrieben durch
Ein Spin- 12 Teilchen in einem magnetischen Feld B
den Hamilton-Operator
~,
H = µ ~σ · B
µ < 0.
Die Energie-Eigenzustände zu den Eigenwerten E = ±µB seien |±i, und das System
befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand
1
|ψ(t = 0)i = √ (|+i + |−i) .
2
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert eine Messung des Spins in y-Richtung zum
Zeitpunkt t > 0 den Wert −~/2?
~ 1 = λB(cos θ, sin θ,0) angelegt, mit λ 1.
(b) Es sei nun ein zusätzliches Magnetfeld B
Wie lauten jetzt die Energie-Niveaus und die Zustände des Systems zur ersten
nicht-verschwindenden Ordnung in λ?
(c) Der Winkel θ verändere sich nun mit der Zeit: θ = θ(t) = ωt, und das System
befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand |−i. Berechnen Sie die Übergangswahrscheinlichkeit in den Zustand |+i zur ersten nicht-verschwindenden Ordnung
in λ als Funktion der Zeit t.
Aufgabe 5: Tensor-Operatoren
(1+1.5+1.5=4)
Zwei Matrixelemente des Tensorsoperators 3. Stufe T (3) zwischen Drehimpuls-Eigenzuständen
|l,mi seien gegeben als
√
hl = 4,m = 4|Tq(3)
|l = 1,m = 1i = 28α ,
1
√
α > 0.
hl = 4,m = 1|Tq(3)
|l = 1,m = 0i = 15α ,
2
(a) Welche Werte haben q1 und q2 in diesen Gleichungen?
(b) Welche der folgenden Matrixelemente verschwinden?
(3)
i. hl = 0,m = 0|T1 |l = 3,m = 1i
(3)
ii. hl = 7,m = 4|T−2 |l = 8,m = 6i
(3)
iii. hl = 3,m = 3|T0 |l = 4,m = 3i
(3)
iv. hl = 3,m = −1|T−3 |l = 7,m = 3i
(c) Können Sie aus obigen Angaben einen Clebsch-Gordan-Koeffizienten ableiten?
Falls ja, geben Sie ihn an. Falls nein: welche zusätzliche Information bräuchten
Sie?
Aufgabe 6: Feld-Quantisierung
((1+2)+1=4)
Der Feldoperator für ein reelles Skalarfeld lautet
Z
i
h
φ(~x,t) = d3 k a(~k)e−ik·x + a† (~k)eik·x ,
k0 ≡
q
~k 2 + m2 .
Dabei sind a† (~k) und a(~k) Erzeuger und Vernichter eines Teilchens mit Impuls ~k, d.h.
[a(~k),a† (k~0 )] = δ(~k − k~0 ) ,
[a(~k),a(k~0 )] = [a† (~k),a† (k~0 )] = 0 ,
a† (~k)|0i = |~ki ,
a(~k)|0i = 0 ,
h0|0i = 1 .
(a) Berechnen sie die folgenden Matrixelemente:
i. h0|φ(~x,t)|~k1 i
ii. h0|[φ(~x,t)]2 |~k1 ; ~k2 i
mit dem 2-Teilchen-Zustand |~k1 ; ~k2 i.
(b) Für welche Werte von n ist das Matrix-Element
M = h~k2 |[φ(~x,t)]n |~k1 i
von null verschieden?