Aufgabe 6 Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten Aufgabe 7

Übungsaufgaben zur Vorlesung E3 - E3p – WS 2009/2010 – W. Zinth – Blatt 2
05.11.2009
Aufgabe 6
wird am 09.-13.11.2009 besprochen
Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten
Der Brechungsindex eines Mediums sei n = 1, 46. Ein Lichtpuls, λ = 600 nm, bewege sich eine Strecke
von 65 cm durch dieses Medium, ein zweiter Lichtpuls bewege sich parallel dazu in Luft. Die Dispersion
des Mediums sei
∂n
|λ=600nm = −3 · 10−5 nm−1 .
∂λ
a) Wie groß ist der Laufzeitunterschied nach 65 cm, der sich aus den Phasengeschwindigkeiten
ergeben würde?
b) Wie groß ist der Laufzeitunterschied nach 65 cm, der sich aus der Differenz der Gruppengeschwindigkeiten ergibt?
Aufgabe 7
Gruppengeschwindigkeit (*)
Leiten Sie folgenden Zusammenhang her:
1
λ
1
=
1−
vgr
vph
n
Aufgabe 8
dn
dλ
dabei gilt: vgr =
dω
dk
.
ω0
Modell für die Licht - Materie - Wechselwirkung
Ein Atom sei beschrieben durch eine homogene, kugelförmige Elektronenwolke (Radius a0 und Gesamtladung -e) und einer positiven Punktladung (+e) als Kern. Ein externes elektrisches Feld regt die
Elektronenwolke zu Schwingungen relativ zum Kern an. Die erreichten Auslenkungen seien dabei
klein gegen den Atomradius. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz des Atoms für den Fall
a) eines Wasserstoffatoms: a0 = 0,53·10−10 m.
b) eines Natriumatoms: a0 = 4,53·10−10 m.
c) Zeigen Sie, dass selbst für E-Felder der Größe 108 V/m die Auslenkung der Ladungswolke aus
der Gleichgewichtslage klein gegenüber dem Atomradius ist.
(*) d) Zusatzaufgabe für Interessierte: Berechnen Sie die Resonanzfrequenzen aus den Teilaufgaben a)
und b) für den Fall einer realistischen Ladungsverteilung der Form: ρ(r) = C · exp (−2r/a0 ) .
Hinweis: Leiten Sie zunächst einen Ausdruck für das elektrische Feld ab, das auf die Kernladung
wirkt, wenn die Ladungswolke um r0 aus der Gleichgewichtslage verschoben wurde (Volumenintegral).
Aufgabe 9
Fouriertransformation
Die Fouriertransformierte F(ω) einer Funktion f(t) ist definiert durch die Beziehung
1
F (ω) = √
2π
+∞
Z
f (t)exp(iωt)dt
−∞
Wiederholen Sie den Faltungs- und Differentiationssatz der Fouriertransformation.
h
i
a) Berechnen Sie die Fouriertransformierten einer Gaußfunktion g(t) = exp − (t/τ )2 und einer
Rechteckfunktion r(t) der Breite T. Bestimmen Sie das Produkt der Halbwertsbreiten von G(ω)
und g(t) bzw. R(ω) und r(t).
(*) b) Berechnen Sie die Halbwertsbreite der hFunktion ia(t), die Sie durch Falten der beiden Gaußfunktionen g1 (t) und g2 (t) mit gi (t) = exp − (t/τi )2 erhalten.
(*) c) Welche Beziehung muss für F(ω) gelten, wenn f(t) eine reelle Funktion ist?
(*) Aufgaben nur für Studenten der E3. Es ist auch Studenten der E3p erlaubt diese Aufgaben zu
lösen.
c
BioMolekulare
Optik der LMU, München 2009