¨Ubungen zur Vorlesung: Quantenmechanik

Prof. Dr. R. Egger
Msc. A. Kundu
SS 2012
Blatt 3
Übungen zur Vorlesung: Quantenmechanik
Abgabe bis Mi, 2. Mai 2012, 12:00 Uhr
Übungstermine:
Gruppe 1: Do 3.05, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M
Gruppe 2: Do 3.05, 10:30 - 12:30, Raum 25.32.O2.51
Gruppe 3: Fr 4.05, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M
(S . Weiß)
(A. Hütten)
(D. Klöpfer)
Aufgabe 6: Deltapotentialtopf
3 Punkte
Betrachten Sie den nachstehenden Deltapotentialtopf:
V (x) = −αδ(x) ,
α > 0.
Benutzen Sie als Ansatz für einen möglichen gebundenen Zustand (E < 0) die Wellenfunktion
r
−2mE
Aeκx
x<0
.
, κ=
ψ(x) =
−κx
Be
x>0
~2
Finden Sie hiermit unter Beachtung der Anschlussbedingungen der Wellenfunktion und des Sprungs
ihrer Ableitung bei x = 0 (vgl. Aufgabe 3) mögliche Energien gebundener Zustände und die zugehörigen
normierten Wellenfunktionen.
Aufgabe 7:
Doppel-Deltapotentialtopf
5 Punkte
Betrachten Sie nun einen Doppel-Deltapotentialtopf:
V (x) = −α(δ(x + d) + δ(x − d)) ,
d, α > 0.
a) Für einen möglichen gebundenen Zustand (E < 0) machen Sie den Ansatz:

r
x < −d
 Aeκx
−2mE
κx
−κx
Be + Ce
−d<x<d ,
ψ(x) =
κ=
.

~2
De−κx
x>d
Setzen Sie nun in Analogie zur vorherigen Aufgabe ein Gleichungssystem auf und beachten Sie
hierbei wiederum die Anschlussbedingungen und den Sprung der Ableitung bei x = ±d. Stellen
1
Übungen zur Vorlesung: Quantenmechanik, Blatt 3
Sie das Gleichungssystem in Matrixschreibweise dar (M(κ)v = 0). Hierbei enthält v die gesuchten
Koeffizienten: v = (A, B, C, D)T . Wann hat das Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung für κ?
Zeigen Sie, dass dies der Bedingung
~2 κ
−2κd
(1)
e
=± 1−
mα
entspricht.
(3 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass die transzendente Gleichung (1) nur eine Lösung (gebundener Zustand) für α ≤
~2 /2md und zwei für α > ~2 /2md besitzt.
(2 Punkte)
Aufgabe 8: Rechnen mit Kommutatoren
5 Punkte
Gegeben seien zwei Operatoren A und B, deren Kommutator eine komplexe Zahl ergibt:
[A, B] = c.
a) Zeigen Sie, dass für diese Operatoren die Beziehung [An , B] = ncAn−1 gilt. Beweisen Sie dazu zunächst
die Kommutatorrelation [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B.
(1 Punkt)
b) Was erhalten Sie für den Kommutator [f (A), B]? Die Funktion eines Operators ist dabei über die
Potenzreihe von f (z) definiert
f (z) =
∞
X
fn z n
=⇒
n=0
f (A) =
∞
X
fn An .
n=0
Berechnen Sie die folgenden Kommutatoren
1) [x, f (p)] ,
2) [p, f (x)]
für die eindimensionalen Orts- (x) und Impulsoperatoren (p) mit [x, p] = i~.
(2 Punkte)
c) Zeigen Sie eA Be−A = B + [A, B]. Zum Beweis differenzieren Sie den Ausdruck eτ A Be−τ A nach τ und
integrieren diesen anschließend wieder.
(2 Punkte)
2