Anwesenheitsübungen zur Einführung in die Quantenmechanik und

Prof. Dr. E. Epelbaum
Sommersemester 2015
Anwesenheitsübungen zur
Einführung in die Quantenmechanik und Statistik
Blatt 10
Sphärische Bessel-Funktionen
Beim Betrachten der dreidimensionalen, zentralsymmetrischen Probleme wird zum Lösen der
stationären Schrödingergleichung der Separationsansatz verwendet, mit dessen Hilfe die Eigenwertgleichung in zwei separate Dierentialgleichungen für den Radial- sowie den winkelabhängigen Teil der Wellenfunktion zerlegt wird. Die so erhaltenen Gleichungen lauten wie
folgt:
2
~2
d
~2 l(l + 1)
2 d
−
+
+
+ V (r) Rnl (r) = Enl Rnl (r),
2m dr2 r dr
2mr2
L̂2 Ylm (φ, θ) = ~2 l(l + 1)Ylm (φ, θ).
Die gesamte Eigenfunktion des Hamiltonoperators lässt sich dementsprechend schreiben als
Ψnlm (r) = Rnl (r)Ylm (φ, θ).
Wählt man das Potential V (r) = 0, so erhält man für den Radialteil die sogennante sphärische
Besselsche Dierentialgleichung, die nach Eliminierung aller Konstanten in der obigen Radialgleichung die folgende Form annimmt:
µ(µ + 1)
2 0
00
y = 0.
y + y + 1−
z
z2
Im Allgemeinen ist die angegebene Gleichung auch dann wohldeniert, wenn die Variable z und
der Parameter µ komplexe Zahlen sind.
Die zwei linear unabhängigen Lösungen der sphärischen Besselschen Dierentialgleichung
jµ (z) und nµ (z) lassen sich im Fall, dass µ = n eine natürliche Zahl 0, 1, 2, ... ist, in einer
geschlossenen Form ausdrücken, d.h.
n
n
sin z
1 d
cos z
1 d
n
n
, nn (z) = −(−z)
.
jn (z) = (−z)
z dz
z
z dz
z
Zur Lösung der Radialgleichung für verschiedene, kastenförmige Potentiale muss man das
asymptotische Verhalten der sphärischen Bessel-Funktionen für |z| → 0 und |z| → ∞ kennen.
Die explizite Form der jeweiligen asymptotischen Relationen für jn (z) und nn (z) lautet
zn
(2n − 1)!!
,
nn (z) ∼ −
,
wenn |z| → 0,
(2n + 1)!!
z n+1
nπ
sin z − nπ
cos
z
−
2
2
jn (z) ∼
, nn (z) ∼ −
, wenn |z| → ∞.
z
z
jn (z) ∼
Diese Relationen können ohne groÿen Aufwand explizit hergeleitet werden.
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10.1
Sphärischer Potentialtopf
Betrachten Sie die Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem sphärisch symmetrischen
Potentialtopf, der gegeben ist durch
V (r) = −V0
für 0 < r < a,
V (r) = 0 sonst.
V0 und a sind hier reelle und positive Zahlen.
(a) Konstruieren Sie die Lösung der stationären Schrödingergleichung für einen gebundenen
Zustand.
Hinweis : Verwenden Sie dazu die asymptotischen Relationen für Bessel-Funktionen.
(b) Leiten Sie eine transzendente Gleichung zur Bestimmung der Grundzustandsenergie her.
Für welche V0 existieren gebundene Zustände?
10.2
Wellenfunktion für Bahndrehimpuls
l=1
Sei im dreidimensionalen Raum eine Achse z 0 gegeben, deren Richtung durch den Polarwinkel
θ0 und den Azimutwinkel φ0 deniert ist. Sei Ψlm0 (θ, φ) der winkelabhängige Teil der Wellenfunktion eines Teilchens, dass sich im Eigenzustand von L̂2 und L̂z0 bendet, wobei m0 hier
die Projektion des Bahndrehimpulses auf die Achse z 0 beschreibt. Bestimmen Sie Ψlm0 (θ, φ) für
l = 1 und m0 = 0.
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